九年级《三角函数》知识点、经典例题(1)

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2

22c b a =+

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

定 义

表达式

取值范围

关 系

正弦 斜边的对边A A ∠=sin c a

A =sin

1sin 0<

B A sin cos = 1cos sin 22=+A A

余弦

斜边的邻边A A ∠=cos c b

A =cos

1cos 0<

的邻边的对边A tan ∠∠=A A b a

A =tan

0tan >A (∠A 为锐角) B A cot tan = B A tan cot =

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4 0°、30°、45. 60 90 特殊角的三角函数值(重要)

三角函数

0° 30°

45°

60°

90° αsin

2

1

2

2 2

3

1 αcos 1 23 2

2

2

1

αtan 0 3

3

1 3

- αcot

- 3

1

3

3

0 5、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，

7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

8、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

)90cos(sin A A -?=)

90sin(cos A A -?=

B

A cos sin =B

A sin cos =A

90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A

对边

邻边

斜边 A

C

B

b

a c

仰角

铅垂线

水平线视线视线俯角

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =

。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l

α=

=。 10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

12、解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)

① 正弦定理： SinC

c SinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理： c 2=a 2+b 2－2abCosC ； b 2=c 2+a 2－2ca CosB ； a 2=c 2+b 2－2cbCosA.

③ 互补的两个角的三角函数的关系：

Sin(180 －A)= sinA ， Cos(180 －A)= － cosA ，

tan(180 －A)=－cotA ，

④ S △ABC ＝

21absinC=21bcsinA=21casinB.

三角函数中考试题分类例题解说

一、三角函数的定义

例1：（滨州市） 如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐

角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确

的是（ ）

A ．sin A 的值越大，梯子越陡

B ．cos A 的值越大，梯子越陡

C ．tan A 的值越小，梯子越陡

D ．陡缓程度与A ∠的函数值:i h l =

h l α图1

无关

分析：由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知：锐角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此选A 。

二、利用特殊角的三角函数值计算

例4：（辽宁省十二市） 计算：24

2(2cos 45sin 60)4

?-?+ 解：23262(2)2

2

4

=?-+原式

66

222

=-

+

2=

点评：熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。

三、求线段的长度

例5：（云南省） 已知：如图3，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6。

求BC 的长（结果保留根号）．

分析：解决此类问题需要根据题意构造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如图4，过点A 作AD ⊥BC 于点D 。 在Rt △ABD 中，∠B =45°，则AD = BD 。不妨设AD = x ，又AB = 6，所以有x 2 ＋ x 2 = 62，解得x =32，即AD = BD =32。在Rt △ACD 中，由∠ACD = 60°得∠CAD = 30°而tan30°=

CD AD ，即32

CD

3=3，解得CD =6。

因此BC = BD + DC =32+6。

下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题，请自己完成。 1、（江西省） 如图5，在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．

2、（大连市）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝5

4

，则BC 的长为___cm 。

3、（丽水市） 如图6，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3

cos 4

BAC ∠=，则梯子AB 的

长度为 米。

4、（天津市） 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 2

B.

2

1

3+ C. 3 D. 1

5、（连云港市）计算：02122sin 45--+

6、（岳阳市）计算：10)2

1()13(---＋|2-3|＋sin 245°

图

3

图4 A

C

B

c

b a 图5

图6

A

B

C

7、（眉山市） 计算： 2sin450＋cos300·tan600—2)3(- 8、（中山市） 如图7，Rt △ABC 的斜边AB ＝5，cosA ＝5

3。 (1)用尺规作图作线段AC 的垂直平分线l(保留作图痕迹，不

要求写作法、证明)； (2)若直线l 与AB 、AC 分别相交于D 、E 两点，求DE 的长。 答案：1、12

。 2、8。 3、4。 4、A 。 5、2。 6、 12。 7、- 12

。 8、2。

中考真题选编

要点一：锐角三角函数的基本概念

一、选择题

1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）

A ．35

B ．43

C ．34

D ．45

2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13

，则sin B ＝（ ） A ．1010 B ．23 C ．34 D ． 31010

3.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）

A ．3sin 2A =

B ．1tan 2A =

C ．3cos 2

B = D ．tan 3B =

3 题 4题 5题

4.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值

是（ ）

A ．23

B ．32

C ．34

D ．43

5（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则t

a n B C D ∠A

C B D

图7 A C

B

的值为（ ）

（A ）2 （B ）

22 （C ）63 （D ）33

二、填空题

6.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ．

7.（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），

则 sin α= ．

7题 8题 8.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =

，则这个菱形的面积= cm 2． 三、解答题

9.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =5

4，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．

10.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，

(1) 求证：AC=BD ；

(2)若12sin 13

C =，BC =12，求A

D 的长． 要点二、特殊角的三角函数值

一、选择题

2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°

，，则点B 的坐标为（ ）

A ．(21)，

B ．(12)，

C ．(211)+，

D ．(121)+，

3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，

否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）

A ．8米

B ．83米

C ．833

米 D ．433米 4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且2

3)10sin(=?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80

5.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）

A ．1323??- ? ???，

B ．3323??- ? ???，

C ．1323??-- ? ???，

D ．1322??- ? ???

， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+

等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3

二、填空题

7. （2009·荆门中考）104cos30sin60(2)(20092008)-??+---=______．

8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢

缆与地面的夹角为60o，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．

10.（2007·济宁中考）计算

sin 60tan 45cos30?-??的值是 。 三、解答题

11.（2009·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－3

3tan30°－tan45° 12.（2009·崇左中考）计算：0200912sin 603tan30(1)3??-++- ???

°°． 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用

一、选择题

1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，

否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）

A ．8米

B ．83米

C ．833

米 D ．433米 2.（2009·衢州中考）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道

倾斜角α的正切值是（ ）

A ．1

4 B ．4 C ．117 D ．4

17

3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，

那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）

A. αcos 5

B. αcos 5

C. αsin 5

D. α

sin 5

1题 2题 3题

4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度

为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）

A ．5m

B ．6m

C ．7m

D ．8m

4题 5题 5.(2009·潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测

得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．

A ．25

B ．253

C ．10033

D ．25253+ 二、填空题

6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹

角∠ACB 的正弦值为 3 5

，则坡面AC 的长度为 m ． 7. （2009·南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A 处，它沿正南方向

α

5米

A

B

航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_____________海里（结果保留根号）．

6题 7题 8题 9题8.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，

3

cos

4

BAC

∠=，则梯子长AB = 米.

9.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们

的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道_______________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）

三、解答题

10.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为

1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取

2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/71lq.html