2010年春九年级数学竞赛决赛试题（含答案）

2010年春季九年级数学竞赛(决赛)试题

题 号 得 分 一 二 三 17 18 19 总 分 考生注意：全卷共三大题，考试时间120分钟，满分120分。

得 分 评卷人

一、填空题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。)

1． 函数y?1?2x的自变量x的取值范围是________。 1?x2． 已知a?5,b??2,且ab?0,则a?b?___________。

3． 若三个不同的质数m,n,p满足m?n?p,则mnp的最小值是_________。 4． 如果x2?x?2m是一个完全平方式，那么m?___________。

90?，则n? ． 5． 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =n·

A

O ?

B

C

第7题 第5题

6． 一个袋子装有2个白球和n个黑球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随

机摸出一球，摸到黑球的概率是

4，则n?_________. 57． 如图，?ACB?60?,半径为 1cm的?O切BC于点C,若将?O在CB上向右滚动，

则当滚动到?O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是___________cm。

a,b,c分别是?A、?B、?C的对边。已知a?10,b?3?2, 8． 在?ABC中， c?3?则bsinB?csinC的值等于____________。 2,九年级数学竞赛（决赛）试题第1页（共9页）

得 分 评卷人 二、选择题：(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个

9．已知点M(3a?9，1?a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．若a?1，则(1?a)3化简后为（ ） A． （a?1)a?1 C．（a?1)1?a

B．(1?a)1?a

符合题意的答案)

D．（1?a)a?1 11．若?为锐角，且cos?=0.6，则（ ） A．0????30? B．30????45? C．45????60? D．60????90?

212．如图，直线x＝1是二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴， y

则有（ ） A． a＋b＋c＞0 C． abc＜0

B． b＞a＋c D． c＞2b

1 x ?1 13．已知a＝2－１,b＝23?3,c＝6－２,

则的a、b、c大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 第12题 14．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙

超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 15．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，

统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到.

鞋码 人数 38 5 39 40 41 3 42 2 下列说法中正确的是（ ）

A．这组数据的中位数是40，众数是39 B．这组数据的中位数与众数一定相等 C．这组数据的平均数P满足39＜P＜40 D．以上说法都不对

九年级数学竞赛（决赛）试题第2页（共9页）

16．观察下列三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … …

则第50行的最后一个数是（ ）

A．1225 B．1260 C．1270 D．1275 得 分 评卷人

三、解答题:（本题有3小题，共40分）

17．(10分) 在Rt?ABC中,?ACB?90?,D是AB边上一点,以BD为直径的?O与边

AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F.

(1)求证：BD?BF

(2)若BC?6,AD?4，求?O的面积。

A D O? E B C F

九年级数学竞赛（决赛）试题第3页（共9页）

18．(10分) 已知关于x的方程x?3x?a?0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x2k2?1的方程(k?1)x?3x?2a?0有实数根，又k为正整数，求代数式2的值．

k?k?62

19．(20分)如图，抛物线y?x2?2x?k与x轴交于A,B两点，于y轴交于点C(0,?3)。 (1)求出抛物线的解析式以及A,B两点的坐标；

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？ 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)在抛物线y?x2?2x?k上求点Q，使?BCQ是以BC为直角边的直角三角形。

y

x B 0 A C

九年级数学竞赛（决赛）试题第4页（共9页）

参考答案

一、填空题 1．x?1,且x??1 2. -7 3. 30 4. 1/8 5. 6 6. 8 7. 3 8. 10 2

二、选择题

9-16 C B C D D B C D

三、解答题 17、证明：

?OE?AC又?ACB=90即BC?AC (1)连接OE，?AC切?O于E，??OED=?F 又OD=OE，??ODE=?OED，

??ODE=?F,?BD=BF………………5分

(2)设?O半径为r，由OE//BC得?AOE??ABC,

OD ?A ?E C F

?AOOEr?4r?,即?， ABBC2r?46B ?r2?r?12?0,解得r1?4,r2??3(舍)，?S?O??r2?16? …………10分 ?x1?x2??3?218、解：设方程x?3x?a?0①的两个根为x1、x2，则?x1?x2?a

???9?4a?0?由条件知

11x1?x2=3 ??x1x2x1?x2即

?39?3且a?，故a??1．…………………………5分 a422则方程(k?1)x?3x?2a?0②为(k?1)x?3x+2?0

k2?1当k?1=0即k?1时，2=0；

k?k?6当k?1?0时，??9?8(k?1)=17?8k?0，∴k?17． 8k2?1又∵k是正数，且k?1?0，∴k=2，但使2无意义．

k?k?6九年级数学竞赛（决赛）试题第5页（共9页）

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