第一章+随机事件及其概率
更新时间:2023-09-13 13:07:01 阅读量: 教学研究 文档下载
第一章 随机事件及其概率
§1.1 样本空间与随机事件
一、
计算下列各题
1.写出下列随机实验样本空间:
(1) 同时掷出三颗骰子,记录三只骰子总数之和;
(2) 10只产品中有3次产品,每次从中取一只(取出后不放回),直到将3只次品都取出,记录抽取的次数;
(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球,在其中抽取4只,观察它们具有哪种颜色;
(4) 有A,B,C三只盒子,a,b,c三只球,将三只球,装入三只盒子中,使每只盒子装一只球,观察装球情况;
(5) 将一尺之棰折成三段,观察各段的长度。 解 1(1){3,4,5,?,18}; (2){3,4,5,?,10};
};其中R,W,B分别表示红色,白色和蓝色; (3){R,W,B,RW,RB,WB,RWB(4){Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放在盒子A中,可类推;
(5){(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件,用A,B,C运算关系表示下列事件:
(1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生, 而C不发生; (3)A,B,C均发生; (4)A,B,C至少一个不发生; (5)A,B,C都不发生; (6)A,B,C最多一个发生; (7)A,B,C中不多于二个发生; (8)A,B,C中至少二个发生。 解 (1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)A?B?C;(5)ABC; (6)ABC?ABC?ABC?ABC;(7)ABC;(8)AB?AC?BC
3.下面各式说明什么包含关系?
(1) AB?A ; (2) A?B?A; (3) A?B?C?A 解 (1)A?B; (2)A?B; (3)A?B?C
4. 设??{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A?{2,3,4}, B?{3,4,5}, C?{5,6,7}具体写出下列各事件: (1) AB, (2) A?B, (3) A B, (4) ABC, (5)A(B?C). 解 (1){5}; (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}; (3) {2,3,4,5};
(4) {1,5,6,7,8,9,10}; (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。
5.如下图,令Ai表示“第i个开关闭合”, i?1,2,3,4,5,6,试用A1, A2, ?,A6表示下列事件,(1)系统Ⅰ为通路,(2)系统Ⅱ为通路。
系统Ⅰ 系统 Ⅱ
1 5 2 3 1 2 3 4 L1 4 R1 L2 6 R2
解 (1) A1?A2A3?A4 (2) A1A5?A1A2A3A4?A6A3A4?A6A2A5。
§1.2 事件的频率与概率
一.填空题
1.设事件A,B的概率分别为0.5,0.6,且互不相容,则积事件AB的概率P(AB)? 0 ; 2.设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B对立事件,那么积事件AB 的概率P(AB)? 0.3 ;
3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,
(1) 当A,B互不相容时, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B?A时, P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ; 4. 若P(A)??,P(B)??,P(AB)??,P(A?B)?1??;P(AB)????;
P(A?B)=
1????。
二、选择题
49
1. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则(C) (A)A和B不相容; (B)AB是不可能事件; (C)AB未必是不可能事件; (D)P(A)=0或P(B)=0. 2. 对于任意二事件A和B有P(A?B)? (C ) (A) P(A)?P(B); (B)P(A)?P(B)?P(AB); (C)P(A)?P(AB); (D)P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).
3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的(D) (A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 当事件A、B同时发生时,事件C必发生则(B)
(A)P(C)?P(A)?P(B)?1;(B)P(C)?P(A)?P(B)?1;
(C)P(C)?P(AB); (D)P(C)?P(A?B).三、计算下列各题
1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率。
解P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?31?3 ?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?1??????48?8
11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,求事件A,B,C全不发4162 某地有甲、乙、丙三种报纸,该地成年人中有20%读甲报,16%读乙报,14%读丙报,其中8%兼读甲和乙报,5%兼读甲和丙报,4%兼读乙和丙报,又有2%兼读所有报纸,问成年人至少读一种报纸的概率。
解 设A,B,C分别表示读甲,乙,丙报纸
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?0.2?0.16?0.14?0.08?0.05?0.04?0.02?0.35
3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试,方可结业. 某学生通过口试概率为80%,通过笔试的概率为65%,至少通过两者之一的概率为75%,问该学生这门课结业的可能性有多大?
解 A=“他通过口试”,B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70
即该学生这门课结业的可能性为70%。
50
4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余二个各为0.1. 只要炸中一个,另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。
解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,D表示军火库爆炸这个事件,则
P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.
四、证明题
?P(A)?P(B)?2P(AB)试证P(AB?AB).
证 P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(A?B)?P(B?A) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 。
§1.3 古典概型与几何概型
一、填空题
1.一部四卷的文集,按任意次序放在书架上,各卷自左向右,或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为
1 ; 122.一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个,其中恰有个m个次品的概
mn?mnCn率是 CM?M/CN ;
3.某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站,乘客到达车站的时刻是任意的,则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ;
4.在区间(0, 1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于
6 ”的概率为 0.68 ; 55. 将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260 ;
6.在区间?0,1?中随机取两个数,则这两个数之差的绝对值小于二、选择题
31的概率为。
421. n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率
51
是(B)
k1k?1CnCmCnm?m?m (A) k; (B) 1?k; (C) ; (D) kCnCnCnrCm. ?kCr?1nk2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是(B)
(A)
1113; B ( () C;) ; ( D). 3244三、计算下列各题
1.已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
(1)两只都是正品 ;(2)两只都是次品 ;(3)一只是正品,一只是次品;(4)至少一只是正品。
解 (1) p1?C822C1028?; (2)452C21p2?2?
C1045 (3)11C8C216144p3??; (4) p?1?p?1??. 422454545C102. 把10本书任意放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 所求概率p?6!?5!1?. 10!42 3. 某学生宿舍有8名学生,问(1)8人生日都在星期天的概率是多少?(2)8人生日都不在星期天的概率是多少?(3)8人生日不都在星期天的概率是多少?
解 (1)1?1?p1?8???;
7?7?68?6?p2?8???; (3)7?7?88 (2)1?1?p3?1?8?1???。
7?7?84.从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码(可重复取)求: (1)有2个电话号码相同,另2个电话号码不同的概率p; (2)取的至少有3个电话号码相同的概率q。 解 (1)p?12C10C4A92104104?0.432;
?0.03.7
(2)q?1311C10C4A9?C105. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,
52
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