最全二次函数中考应用题及答案

二次函数中考应用题及答案

二、例题

例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

简解：

(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2

+3.5。又由于抛物线过(1.5，

3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2

+3.5。

(2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。

评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；

(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；

(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式

y=ax2

+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式

y=a(x-k)2

+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；

(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。

例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．

(1)试求y与x之间的关系式；

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

解：(1)依题意设y=kx+b，则有

所以y=-30x+960(16≤x≤32)．

(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32)(x-16) =30(+48x-512)

=-30

+1920．

所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．

例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米， 解：(1) 设二次函数的解析式为

，顶点坐标为 (6，5)

)

A(0，2)在抛物线上

(2) 当

时，

(不合题意，舍去) （米）

答：该同学把铅球抛出13.75米.

例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系：

1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定。 在这个问题中，每件服装的利润为（

），而销售的件数是（

+204），那

么就能得到一个 与之间的函数关系，这个函数是二次函数. 要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.

解：（1）由题意，销售利润 与每件的销售价之间的函数关系为 =（ －42）（－3＋204），即 =－3 （2）配方，得 =－3（－55）+507

∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元.

例5、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动

2

2

+ 8568

作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，

运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空

中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 并通过计算说明理由

米，问此次跳水会不会失误？

分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个

点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.

（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距

池边水平距离为米. 时，该运动员是不是距水面高度为5米.

解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为

.

由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为.

解得 或

∵抛物线对称轴在轴右侧，∴ 又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0

∴抛物线的解析式为

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，

即 时，

∴此时运动员距水面的高为 因此，此次跳水会失误.

例6、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前

有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系： 转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；

方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问：

①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？ 解：经销商甲的进货成本是=

=480000（元）

①若选方案1，则获利1200600-480000=240000（元）

若选方案2，得转让款1200 240=288000元，可进购B品牌服装 一年内刚好卖空可获利1440500-480000=240000（元）。

套，

②设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套 元，可进购B品牌服装

套，全部售出B品牌服装后得款 元，此时还剩A品牌服装

（1200-x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利

，故当x=600套时，

可的最大利润330000元。

三、练习题： 1、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的销售价

（元）满足一次函数：

与每件的销售价间的函数数关系式.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大

销售利润为多少？

2、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边

米，面积为

与

平方米.

米2时，

的值；

即矩形成黄金

（1）求： 之间的函数关系式，并求当

米，如果

满足关系式

（2）设矩形的边

矩形，求此黄金矩形的长和宽.

练习1答案：

当定价为42元时，最大销售利润为432元. 练习2答案：（1） 当

则 ②

，

不合题意，舍去，

，长为

.

①

时，

（2）当 又

由①、②解得 其中20

当矩形成黄金矩形时，宽为

3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流

喷出的高度 与水平距离之间的关系式是 .

请回答下列问题：

1.柱子OA的高度为多少米？

2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能喷出的水流不至于落在池外？

练习3答案：

（1）OA高度为米.

（2）当时， ，即水流距水平面的最大高为 米.

（3）

其中 不合题意，

答：水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外. 第1题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为S?10t?t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米 Ｃ．123米 答案：Ｂ

Ｄ．6米

第2题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地

用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z（元）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示． z(元) y (天) 160 60 140 50 120 （180，92） 40 100 85 80 360 20 40 10 20 100 120 140 160

O 20 40 60 80 100 120 图(1)

150 180 t(天)

O 20 40 60 80 110 140 160 180 （1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y（元）与上市时间t（天）（t?0）的函数图(2)

t(天)

关系式；

（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t（天）（t?0）的函数关系式；

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？

（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

?2??3t?160 (0?t?120)，?y??80 (120≤t?150)，

?2?t?20 (150≤t≤180)．?5（2）由题目已知条件可设z?a(t?110)?20． 图象过点(60，)，

2853?851?a(60?110)2?20．?a?． 33001?z?(t?110)2?20 (t?0)．

300（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价?成本单价．

1?22?t?160?(t?110)?20 (0?t?120)，?3300?1?(t?110)2?20 (120≤t?150)， 故W??80?300?1?22t?20?(t?110)?20 (150≤t≤180)．?5300?化简得

?12?(t?10)?100 (0?t?120)，?300??1W??(t?110)2?60 (120≤t?150)，

?300?12??300(t?170)?56 (150≤t≤180)．?1(t?10)2?100(0?t?120)时，有t?10时，W最大，最大值为100； 3001(t?110)2?60(120≤t?150)时，由图象知，有t?120时，W最大，最②当W??3002大值为59；

31(t?170)2?56(150≤t≤180)时，有t?170时，W最大，最大值为56．③当W?? 300综上所述，在t?10时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．

①当W??

第3题如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴

上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43?7）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取26?5）

y 4 2 1 A O M B D x

C

答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为y?a(x?6)2?4．

y ．由已知：当x?0时y?1 ?a??即1?36a?4，1． 12M 1 ?表达式为y??(x?6)2?4．1212x?x?1） （或y??121?(x?6)2?4?0．（2）（3分）令y?0， 124 2 E 1 A O FB ND x

C ． ?(x?6)2?48．x1?43?6≈13，x2??43?6?0（舍去）

?足球第一次落地距守门员约13米．

（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD

根据题意：CD?EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）

?2??1(x?6)2?4解得x1?6?26，x2?6?26． 12 ?CD?x1?x2?46≈10．?BD?13?6?10?17（米）．

12解法二：令?(x?6)?4?0．

12解得x1?6?43（舍），x2?6?43≈13 ．． ?点C坐标为（13，0）

12设抛物线CND为y??(x?k)?2．

1212将C点坐标代入得：?(13?k)?2?0．

12解得：k1?13?26?13（舍去）， k2?6?43?26≈6?7?5?18．1(x?18)2?2 1212令y?0，0??(x?18)?2．

12y??，x2?18?26≈23 x1?18?26（舍去）．?BD?23?6?17（米）．

解法三：由解法二知，k?18， 所以CD?2(18?13)?10， 所以BD?(13?6)?10?17． 答：他应再向前跑17米．

第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元），写出y关于x的函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项

大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

22答案：（1）y?7.5x?2.7x?0.9x?0.3x??0.9x?4.5x．

??22（2）当?0.9x?4.5x?5时，即9x?45x?50?0，x1?105，x2?

33从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建（3）设3年内每年的平均收益为Z（万元）

5公顷大棚． 32Z?7.5x??0.9x?0.3x2?0.3x???0.3x2?6.3x??0.3?x?10.5??33.075（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当?0.3x?6.3x?0时，x1?0，x2?21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）

2第15题某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元．销售量相应减少10个．

（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月的销售量是_________个．（用含x的代数式表示）（4分）

（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请

求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）

答案：（1）10?x，500?10x；

（2）设月销售利润为y元， 由题意y??10?x??500?10x?， 整理，得y??10?x?20??9000． 当x?20时，y的最大值为9000，

220?50?70．

答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元．

第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

y

P A B O C x 答案：（1）由题意可知抛物线经过点A?0，2?，P?4，6?，B?8，2?

设抛物线的方程为y?ax?bx?c 将A，P，D三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为y??（2）令y?4，则有?212x?2x?2 412x?2x?2?4 4解得x1?4?22，x2?4?22

x2?x1?42?2

?货车可以通过．

1（3）由（2）可知x2?x1?22?2

2?货车可以通过．

第17题如图，在矩形ABCD中，AB?2AD，线段

D H E

A N C

B G F

M

EF?10．在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩

形MFGN∽矩形ABCD．令MN?x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

答案：解：矩形MFGN∽矩形ABCD，

?MNMF． ?ADABAB?2AD，MN?x，

?MF?2x．

?EM?EF?MF?10?2x． ?S?x(10?2x)

??2x2?10x 5?25? ??2?x???．

22??2?当x?

525时，S有最大值为． 22第18题某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA?kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB?ax2?bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

答案：解：（1）当x?5时，y1?2，2?5k，k?0.4，

?yA?0.4x，当x?2时，yB?2.4；当x?4时，yB?3.2．

?2.4?4a?2b ???3.2?16a?4b解得??a??0.2

?b?1.6?yB??0.2x2?1.6x．

（2）设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10?x)万元，获得利润W万元，根据题意可得

W??0.2x2?1.6x?0.4(10?x)??0.2x2?1.2x?4 ?W??0.2(x?3)2?5.8

当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/71c6.html