18.2 勾股定理的逆定理(1)

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18.2 勾股定理的逆定理

从容说课

本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，?引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路，用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．

命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立． 本节的重点是，如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形．难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，在学生学会自主学习．

18．2 勾股定理的逆定理（一）

教学时间 第5课时 三维目标 一、知识与技能

1．掌握直角三角形的判别条件． 2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法． 二、过程与方法

1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，?培养学生数形结合的思想．

2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神． 三、情态度与价值观

1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．

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2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神． 教学重点

探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系． 教学难点 归纳、猜想出命题2的结论． 教具准备 多媒体课件． 教学过程

一、创设问题情境，引入新课 活动1

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？ 设计意图：

通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力． 师生行为：

学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆． 本活动，教师应重点关注学生：

①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识； ②能否“温故知新”． 生：直角三角形有如下性质：

（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3）?两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半． 师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？ 生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形． 师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，?斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是

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否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？ 二、讲授新课 活动2

问题：据说古埃及人用下图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，?其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，?有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，?“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，?再试一试． 设计意图：

由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法． 师生行为：

让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．

教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生： ①能否积极动手参与．

②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论． ③学生是否有克服困难的勇气．

生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即AC=3；? 同理BC=4，AB=5，因为32+42=52．我们围成的三角形是直角三角形．

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm，?我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52．

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再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm?的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52．

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？ 活动3

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c． 5，12，13；7，24，25；8，15，17． （1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，?它们都是直角三角形吗？ 设计意图：

本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件． 师生行为：

学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论．

教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明． 本活动教师应重点关注学生： ①对猜想出的结论是否还有疑虑． ②能否积极主动的操作，并且很有耐心． 生：（1）这三组数都满足a+b=c．

（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形． 师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论． 命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 那么，这个三角形是直角三角形．

同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天──人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师

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傅们仍然离不开“三四五放线法”．

“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？

如右图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：?一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，?再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？ 生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．

据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角． 活动4

问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足 a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形． 它们的题设和结论各有何关系？ 设计意图：

认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？ 师生行为：

学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题． 教师认真倾听学生的分析． 教师在本活动中应重点关注学生：

①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．

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②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．

生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．

生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．

生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题． ??

三、课时小结 活动5

问题：你对本节内容有哪些认识？ 设计意图：

这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化学习的需要． 师生行为：

教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．

在活动5中，教师应重点关注学生： （1）不同层次的学生对本节的认知程度． （2）学生再谈收获是对不同方面的感受． （3）学生独立面对困难和克服困难的能力．

板书设计

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活动与探究

Tom和Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗？ 过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形．

结果：可在背包带上打结，在背包带上打13个等距离的结，把第5?个结固定在地上，Tom拿住第1个和第13个结，而Jerry拿住第8个结，拉直背包带，第5?个结处即为直角．（图略）

备课资料 费尔马

费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭．由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明．费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学．

费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著．他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会，由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多．他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉．微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作．不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者．

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说起数论，费尔马还是由于读了丢番图的《算术》一书，才开始产生兴趣．在这本书中．丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数（z2），拆成两个平方数（x2与y2）?之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程．费尔马非常善于联想，?他读了丢番图的这段文章后，??由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数（z3）表示为两个立方数（x3与y3）之和；将一个四次方数（z4）表示为两个四次方数（x4与y4）之和；??这一连串问题归结起来就是：方程xn+yn=zn是否存在正整数解，其中n?是大于或等于2的正整数．当n=2时，方程z2=x2+y2，?这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程．十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论．显然这都是特殊情况．一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决． 费尔马在丢番图著作的空白处写道：”我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”．

费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注．他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它．1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/71c5.html