利用HHT实现信号去噪的方法研究

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年 月 日

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本科生毕业设计（论文）任务书

学生姓名： 李威 专业班级：电信0706 指导教师： 唐静波、李景松 工作单位：信息工程学院 设计（论文）题目: 利用HHT实现信号去噪的方法研究 设计（论文）主要内容：

1．综述：信号去噪方法的发展历程及其发展趋势相关文献综述 2．熟悉HHT的基本原理和主要理论依据

3．剖析HHT中的关键技术：经验模态分解（EMD）方法、瞬态频率和HT

谱、Hilbert变换等算法的特点

4．学习HHT在信号去噪方面的具体应用，讨论特点和优势。

要求完成的主要任务:

1．了解提取噪声信号特征的常用方法

2．学习HHT的基本方法，并对其中关键方法进行比较研究

3．了解经验模态分解方法、瞬态频率和HT谱、HHT变换等算法的特点。

用HHT分析方法对信号仿真和实例研究，总结其优点和指明需改进的地方

4．提交文献综述若干，外文参考文献的摘要和不少于20000印刷符号（原

文）的译文，并提交字数不少于1.2万字的论文。其中参考文献不少于15篇，英文参考文献不少于2篇，设计图纸不少于12幅。

必读参考资料：

[1] Norden E Huang, Zheng Shen, Steven R Long, et al. The empirical mode

decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis [J]. Proc. R. Soc. Lond. A, 1998: 903～ 995.

[2] N. E. Huang, Z. Shen, S. R. Long. A new view of nonlinear water waves: the

hilbert spectrum. Ann Rev Fluid Mech, 31:417–457, 1999.

[3] 胡广书.数字信号处理、理论、算法与实现[M] .北京:清华大学出版社,1997.

指导教师签名： 系主任签名： 院长签名（章）____________ _

武汉理工大学本科学生毕业设计

（论文）开题报告

1、 目的及意义（含国内外的研究现状分析） 在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节，但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。 因此，如何消除实际信号中的噪声，从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信心学科研究的焦点之一。传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。 历史上还出现过不少信号处理方法，然而它们不是受线性束缚，就是受平稳性束缚，并不能完全意义上处理非线性非平稳信号。HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。这点不同于傅立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。 傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。 傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出的

瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的。 从目前的文献看，HHT方法是一种处理非平稳信号的有效的时频分析方法，具有广阔的应用前景。尽管此方法得到了越来越多学者的关注和研究兴趣，从方法的提出至今发表了大量的学术文章和研究成果，但此方法存在以下两个主要问题未能得到很好的解决： （1）边界处理问题。在HHT方法中，边界处理问题是EMD过程的核心问题，在边界常常出现数据端部的“飞冀”，使得边界一定区域的数据分解后精度很差。目前尚未见到完美解决这一问题的文章公开发表。 （2）HHT方法的理论完备性。尽管对于HHT的研究表明，此方法在处理非平稳信号中，表现出明显的优越性，但对其理论基础方面的研究明显滞后与对其应用方面的研究，这包括对EMD和Hilbert变换的数学解释和数学证明。 终上所述，HHT与与传统的信号或数据处理方法相，具有能分析非线性非平稳信号、完全自适应性、不受Heisenberg测不准原理制约——适合突变信号、采用求导得到瞬时频率等特点。 2、 基本内容和技术方案 希尔伯特一黄变换是一种自适应的信号处理方法，适用于分析非线性非平稳信号，其最大的特色是通过信号的EMD分解，使非平稳信号平稳化，从而使瞬时频率有意义，进而导出有意义的希尔伯特时频谱。经验模态分解（EMD）特别适合处理非线性、非平稳信号。它可以把复杂的信号分解为一组按频率高低排列的固有模态函数（Intrinsic mode function， IMF）之和，每一个IMF所包含的频率成分不仅与采样频率有关，更重要的是它随信号本身的变化而变化，因而EMD是一种自适应的信号处理方法。 在介绍Hilbert-Huang变换理论的基础上，提出了一种基于HHT变换的去噪算法。首先对带噪语音信号做EMD分解，得到各阶IMF分量，然后对高频的IMF分量用小波去噪中的阀值方法进行处理，然后把经过阀值处理的高频IMF分量

和低频的IMF进行叠加，得到重构后的信号，即去噪信号。 最后的目的要让仿真实验表明基于Hilbert-Huang变换的去噪优势很明显，显示了Hilbert-Huang变换在处理非平稳信号中的优越性。 3、 进度安排 第1－2周：查找50篇论文研究学习，了解HHT的相关知识。 第3－4周：着手于开题报告并清晰自己的研究方向。 第5－8周：完成5000字的翻译，熟悉毕业设计所需要的各种软件。 第9－12周：写程序，正式撰写论文，并分析仿真结果，总结其特点。 第13－14周：完善毕业设计报告并答辩。 4、指导教师意见 指导教师签名： 年 月 日

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目 录

摘 要 ................................................................................. I Abstract .............................................................................. II 第1章 绪论 ............................................................................ 1 1.1 课题提出的背景 ................................................................... 1 1.2 国内外发展现状 ................................................................... 2 1.3 论文的主要内容及结构 ............................................................. 3 第2章 HHT的基本理论 .................................................................. 4 2.1 瞬时频率的概念 ................................................................... 4 2.2 本征模态函数（IMF）的概念 ........................................................ 5 2.3 时间特征尺度 ..................................................................... 5 2.4 EMD分解方法 ...................................................................... 7 2.5 HILBERT谱和边际谱 ................................................................ 8 2.6 HHT的特点 ....................................................................... 12 2.7 小结 ............................................................................ 13 第3章 利用HHT实现信号去噪的方法研究 ................................................. 14 3.1 语音信号的EMD去噪算法 .......................................................... 14 3.2利用MATLAB进行语音仿真综合分析 ................................................. 16 3.3仿真实验 ........................................................................ 20 3.4本章小结 ........................................................................ 24 第4章 总结及展望 .................................................................... 25 参考文献 .............................................................................. 26 致 谢 ................................................................................ 27 附 录 ................................................................................ 28

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摘 要

具有重要理论价值和广阔应用前景的希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，简称HHT），是NE. Huang于1988年提出的一种新的非线性、非平稳信号分析方法。其关键部分是经验模态分解方法（Empirical Mode Decomposition，简称为EMD），任何复杂信号都可以由EMD方法分解成有限个本征模态函数（Intrinsic Mode Function，简称为IMF）,再利用Hilbert变换，求解各IMF的瞬时频率等参数，从而获得信号的时频分布。

HHT作为一种新的信号分析理论，已逐步应用到地震信号分析、机械故障诊断、流体力学、医学信号处理和语音信号处理等领域。但由于HHT尚处在初步发展阶段，因而还存在着一些问题需要研究和改进。为此，本文对HHT理论存在的问题进行了分析讨论，并对HHT理论的应用进行了研究，所取得的成果如下：

1 对HHT采样频率、终止准则、曲线拟合、边界处理以及模态混叠等问题进行了分析，并基于HHT的时间特征尺度概念，分析了一种新的边界处理方法：边界局部特征尺度延拓法，较好地改善了边界效应对EMD分解的影响。

2 将HHT用于电力系统的信号处理，并根据HHT的信号突变检测性能，与小波变换对比，反应出HHT良好的去噪功能。

关键词：HHT；EMD；IMF； 边界效应；瞬时频率；信号处理

I

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Abstract

The Hilbert-Huang Transform（HHT）with important theoretical value and broad prospects for application, is a new nonlinear and non-stationary signal analysis method developed by NE. Huang 1998.The key part of this method is the empirical mode decomposition（EMD）method with which any complicated signal can be decomposed into a finite and often small number of intrinsic mode function（IMF）.Using Hilbert transform to those IMF components can yield instaneous frequency; the final presentation of this result is an energy-frequency-time distribution, designated as the Hilbert spectrum.

As a new signal analysis theory, HHT has gradually to seismic signal analysis，mechanical failure diagnosis, hydrodynamics, medical signal processing, voice signal processing, and so on. Since HHT is still in the preliminary stages of development. Thus there are a number of issues need to be studied and improved. Therefore, this paper analyzed and discusses the problems of the HHT, and study on the application of HHT, the results are as follows:

1. This paper analysis HHT with the sampling frequency, termination guidelines, curve fitting, border processing, mode mixed, and so on, And based on the concept of time characteristic scale, a new approach to border processing named extension method based on boundary local characteristic scale is proposed. The approach improves better the compact of boundary effect on EMD.

2. HHT is used for the signal processing of power system. And based on the performance of signal break detection under HHT, a fault location method for EHV transmission lines is proposed. Stimulation experiments showed that the approach can do better to achieve good positioning and ranging.

Key Words: HHT; EMD; IMF; boundary effect; instaneous frequency; mode mixed

II

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第1章 绪论

1.1 课题提出的背景

非线性非平稳信号的HHT处理技术的研究是由美国华裔科学家Norden E. Huang在1988年提出。信号处理一直是许多科学研究和应用领域的关键步骤。而自然界中的信号几乎都是各种信号的叠加，这里既有平稳的线性信号，也有大量的非线性非平稳信号。传统的基于傅里叶变换的信号处理技术在处理信号时，把信号从整个时域变换到频域，用信号所包含的全部频率成分来描述信号在频域内的变化，不能够反应出局部信号频率的瞬时变化，这在处理非线性信号时具有难以避免的局限性。并且传统方法受到测不准原理的限制，不能同时在时间和频率上同时达到很高的精度。后来人们提出的加窗傅里叶变换在某种程度上克服了傅里叶变换的缺点，实现了分析信号的局部性质，但它仍然存在一些不足。首先，一旦窗口大小选定，如果信号在时间或频率上的变化区间小于窗口的话，窗口内信号平稳的假设就不能成立，这时再用加窗傅里叶变换分析非平稳信号时，信号局部特征就难以反映。并且加窗傅里叶变换在时频面上依然要满足测不准原理，而窗函数一旦选定，就不能任意调整，所以加窗傅里叶变换不能在时间和频率两方面同 时达到很高的分辨率。

目前应用非常广泛的小波变换虽然在处理非线性非平稳信号的能力上有了进一步提高，但其本质上还是一种窗口可调的傅里叶变换，不可避免的具有窗函数的局限性，仍受测不准理限制，无法精确描述频率随时间的变化；且小波变换存在着众多的小波函数，而各小波基函数的使用范围很不一致，这就造成了小波基选择问题，这也是一直困扰着小波变换研究和应用者的问题；另一个问题就是不具有良好的自适应性，一旦小波基被选定后，必须用它来分析所有的数据。为了分析和处理非平稳（时变）信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析与处理理论，即非平稳（时变）信号分析与处理。变信号处理的研究让我们能分析和处理各种时变信号，并使我们在此基础上构建的系统模型更贴近实际，能适用于更多的应用领域，有效地服务于实际的工程实践。

因此，我们对时变信号处理新技术进行研究有助于更好地分析处理各种时变信号，促进时变信号处理理论的发展，使其得到更为广泛的应用，更好地服务于各科学技术领域，从而促进各学科领域的发展。时变信号处理研究已成为现代信号处理研究的热点之一。1998 年，美国华裔科学家Huang提出了一种新型的非线性非稳态信号处理方法：希尔伯特-黄变换（HHT）。HHT方法从信号自身特

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征出发，用经验模态分解（EMD）方法把信号分解成一系列的本征模态函数（IMF），然后对这些IMF分量进行Hilbert变换，从而得到时频平面上能量分布的Hilbert 谱图，打破了测不准原理的限制，可以准确地表达信号在时频面上的各类信息。

1.2 国内外发展现状

目前的时变信号处理方法大多属于时频分析方法范畴。时频分析的基本思想是设计时间和频率的联合函数，分析信号频率随时间变化的规律，同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度。公认的时频分析开端，是1946年Gabor提出了Gabor变换。Gabor变换为此后的许多时频分析方法奠定了思路。在此基础上，为了分析人的语音，1947年P．K Potter等首次提出了一种实用的时频分析方法一短时Fourier变换，其绝对值的平方就是谱图。随后，J．Vi11e将WigIler分布引入到信号处理领域，发明了有名的Winger-Ville分布，并在许多领域得到实际应用，紧随其后诞生了以其为基础的一系列新的时频分布。到60年代中期，Cohen总结了这些时频分布，提出了基于核函数的一类时频分布一Cohen类时频分布。1980年，Namias在t=f直角坐标的思想上，提出了分数阶Fourier变换，它相当于Fourier变换的推广形式。1984年，Morlet在研究地球物理信号敏锐地预感到了小波分析在信号分析中的远大发展潜力，首次提出了小波变换的概念，并以积极地推动其发展。目前，小波变换已成为非线性、非平稳信号的通用方法之一，并在基础上相继出现了基于小波变换的多种时频分析方法，如小波包分解、线调频小波变换、匹配追踪法等。

人们经过几十年的研究与努力，提出了各式各样的时频分析方法，但几乎所有的这些时频分析方法都是以傅里叶变换为最终理论依据，不论是基于窗函数的线性变换法（如短时Fourier变换、小波变换），还是Cohen类的双线性时频分析法（如Winger-Ville分布），甚至基于信号特征匹配的参数化时频分析方法（如匹配追踪法）等，都难以在时频分析的方法中取得突破，有着种种自身难以克服的局限性，使应用者难以取舍。例如线性变换法不能解决时频聚焦的问题：STFT可使用固定的短时窗函数，是一种单一分辨率的信号分析方法，不能很好地解决时．频局部化的问题；Gabor变换的时间--频率窗的宽度和高度是不变的，限制了在非平稳高频和低频信号上的应用：小波变换虽然有多分辨率性质，但不可避免地具有窗函数的局限性。而双线性变换则大多存在有着严重的交叉项干扰，改进过的降低干扰的方法也大多是以降低分辨率为代价的。匹配追踪法复杂且计算量大，这些问题的存在使得时频分析的最终结果难以解释、物理意义模糊或者需借助大量的数学推理才能说明问题。

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美籍华人NE．Huang于1996年提出了能把复杂信号分解成一种称为本征模态函数（Intrinsic Mode Function，简称为IMF）的单分量信号的算法一经验模态分解（Empirical Mode decomposition，简称为EMD）算法。在此基础上，1998年N E Huang及其同事提出了较为完整的Hilbert-Huang变换信号分析方法。并在1999年对分解后Hilbert频谱的分布做了进一步说明。希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，简称HHT）方法是一种全新的信号处理方法，对于处理非线性、非平稳信号有清晰的物理意义，能够得到信号的时间．频率．能量分布特征，且是一种自适应性信号处理方法。经验模态分解法是NE．Huang等研究非线性问题和希尔伯特变换时提出的，它既能使信号分解具有唯一性又能在时域和频域同时具有良好的局部化性质。信号一旦分解完毕，又可根据工程问题的要求灵活实现重构。

Hlibert谱分析的产生对于突破时域分析发展具有重要意义。时频分析的主要任务是描述信号的频谱分量是怎样随时间变化的，研究并了解时变频率在数学和物理上的概念和含义。时频分析的最终目的是要建立一种分布，以便能在时间和频率上同时表示信号的能量或者强度，使在时间域内难以观察到的信号的特征在频率域内能十分清楚地显示出来，得到这种分布后我们就可以对各种信号进行分析、处理，提取信号中所包含的特征信息，或者综合得到具有期望的时频分布特征的信号。

由于HHT方法的种种特点，很快地，HHT在生物医学、故障诊断、海洋学科、地震工程学以及经济学等各学科得到广泛应用。不论在国际或国内，对这种在信号分析处理中取得突破的方法，各领域学者专家纷纷展开了不同角度的研究。在应用的同时，研究者也不断提出各方面的改进方法，例如对曲线拟合以及对边界问题等所做的研究。N E．Huang本人除了继续致力于HHT更深入的研究外，还积极地将HHT方法引入二维数据处理中，近来研究内容集中在语音分析和声乐信号研究，同时还投入对气候变化起影响的各种自然作用的研究，期望通过分析各种不同但又互有联系数据资料，找到各种影响因素之间内在联系。

1.3 论文的主要内容及结构

本文通过阐述利用HHT方法实现信号去噪的研究现状，分析了传统去噪方法存在的问题及局限性，引出了HHT这一新的去噪方法，分析其原理及实现，介绍其各方面的突破，列出HHT的特点，分析其存在的问题及解决方法。研究HHT在语音去噪中的应用。

论文的主要内容如下：（1）分析HHT的发展和研究现状（2）介绍HHT的方法（3）HHT在信号去噪方面的应用（4）结论。

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第2章 HHT的基本理论

2.1 瞬时频率的概念

信号的瞬时能量与瞬时包络的概念已被广泛接受；然而瞬时频率的概念却一直具有争议性。接受瞬时频率这一概念主要有两个基本困难：首先是受到了傅立叶分析根深蒂固的影响。在传统的傅立叶分析中，频率定义在整个数据长度中具有恒定幅度的正弦或余弦函数。作为这一定义的扩展，瞬时频率的概念也必须与正弦或余弦函数相关。因此，至少需要一个完整周期的正弦与余弦波动来定义局部频率值。根据这个逻辑，少于一个波长的长度将无法给出频率定义，这样的定义对于频率时刻变化的非平稳信号将没有意义。第二个困难在于定义瞬时频率的方法不统一。然而，当可以使数据解析化的Hilbert变换方法产生后，尽管仍存在问题，但困难减轻了。

对任意的时间序列X(t)，Hilbert变换Y(t)定义为：

Y(t)?1?P?m?mX(?)d? （1） t??这里P表示柯西主值，变换对所有Lp成立。根据这一定义，当X(t)形成一个复共轭时，就可得到一个解析信号Z(t) 其中

a(t)?X(t)?Y(t),?(t)?arctan22 Z(t)?X(t)?iY(t)?a(t)ei?(t) （2）

Y(t)X(t) （3）

这样，Hilbert变换提供了一个独特的定义幅度与相位的函数。式（定义Hilbert变换为X(t)与I/t的卷积；因此它强调了X(t)的局部特性，在式（中，极坐标表达式进一步表明了它的局部特性：它是一个幅度与相位变化的三角函数X(t)的最好局部近似。即使是Hilbert变换，用下式定义瞬时频率时仍有很大的争议。

??d?(t)dt （4）

它必须满足一些限制条件，才能得到有意义的瞬时频率。例如：傅立叶变换的实部必须只有正的频率。这个限制条件可以在数学上被证明，但仍是一个全局性的定义。对于数据分析，必须把这些条件转换成物理上可以实现的步骤，用简

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单的方法来实现。因此把这些限制条件由基于全局修改为基于局部。

用一个简单的例子来说明这个限制条件的物理意义。函数

X(t)?sint （5）

它的Hilbert变换是cos(t)

2.2 本征模态函数（IMF）的概念

由于大多数信号或数据不是本征模态函数，在任意时刻数据可能包含多个振荡模式，这也解释了为什么简单的Hilbert变换不能给出一个普通信号的频率内容的完整描述。所以必须把数据分解成本征模态函数，从物理上定义一个有意义的瞬时频率的必要条件是：函数对称于局部零均值，且有相同的极值和过零点。据此，Huang提出了本征模态函数的定义。一个本征模态函数是满足如下两个条件的函数：

（1）在整个数据序列中，极值点的数量与过零点的数量必须相等，或最多相差不能多于一个。

（2）在任一时间点上。信号的局部极大值和局部极小值定义的包络平均值为零。

第一个限定条件是非常明显的；它近似于传统的平稳高斯过程关于窄带的定义。第二个条件是一个新的想法：它把传统的全局限定变为局部限定。这种限定是必须的，它可去除由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动。

采用本征模态函数（以下简称IMF）这个名称是因为它代表了信号数据中的振荡模式。IMF在按过零点定义的每一个周期中，只包括一个本征模态的振荡，没有复杂的叠加波存在。如此定义，一个基本的IMF并不限定为窄带信号，也可以是幅度调制和频率调制的。事实上，它可以是非平稳的。

本征模态函数（IMF）概念的提出使得用Hilbert变换定义的瞬时频率具有实际的物理意义，而提出IMF分量的EMD分解方法的出现则使瞬时频率可用于复杂的非平稳信号的分析。

2.3 时间特征尺度

频率与尺度是紧密联系的。各个本征模态函数的特征时间尺度是不同的，Huang等人对信号的时间特征尺度作了如下的研究。

正如Drazin指出的那样，分析数据的首先方法就是用眼观察。这种方法当然是主观的。但一个受过训练的眼睛能够检测数据中难以定量确定的一些趋势和

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模式。即使没受过训练的眼睛，也很容易看出数据的某些特性。例如平稳性、周期性、总体趋势及各种特殊点间时间间隔的尺度。尽管这观察是有效的，但仅凭眼来观察的方法太主观，也不严谨。只是在眼可观察到的信号的各种特征量中，时间尺度是最容易确定的一种。

在解释任何物理数据中，最重要的参数是时间尺度和能量分布。定义局部能量密度并不困难，但至今为止，还没有给出明确的局部时间尺度的定义。在傅立叶分析中，时间尺度被定义为连续的和等幅的三角函数分量的周期。这种定义仅仅给出了时间和能量尺度的全局均值。因此，这些尺度无论在幅度还是在频率上都完全脱离了它们随时间变化的这一事实。

Rice曾用统计的方法对时间尺度进行定义。他假设数据是线性平稳和正态分布的，并计算过零点和极值点的数目。在数学上，对任何数据X(t)，时间尺度定义如下，即满足

X(t)?0 （6） 的所有t的时间位置为过零点。相邻两个过零点的时间间隔就是过零点的时间尺度。同理，满足

X(t)?0 （7） 定义的所有t时刻为函数极值点的时间位置。相邻的极值点的时间间隔就是极值点的时间尺度。

此外，还有一种时间尺度，称为曲率极值点时间尺度，即

??X （8） ?)2/3(1?X的极值点间的时间长度。它是一种隐含的尺度，反映的是一种轻微振荡产生的局部变化的尺度。

我们现在有三种测量时间尺度的方法：相邻两过零点间隔的时间尺度，相邻两极值点间隔的时间尺度，相邻两曲率极值点间隔的时间尺度。三种情况中，时间间隔都是用来局部测量事物时间变化的。局部极值时间间隔和曲率时间间隔尺度代表了整个波形，无论波形是否穿过零线。

Huang等人分析认为，时间尺度代表了信号的局部震荡尺度，并且仅表示一种震荡模式。这种震荡从一个极值点到另一个相反的极值点，因此时间尺度是震荡本身所隐含的尺度，称为特征时间尺度。

EMD方法使用的时间尺度是极值点间隔，它当然提供了一个很好的对时间尺度测量的方法。因为该方法可测量具有多个叠加波的宽带数据。当然它也与我们对数据随时间变化的直觉相一致。

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过零点的定义是数据的一个非常不完善的量度。除非该数据是真正窄带的，也许在两个连续的过零点间有许多极值点。我们的眼对极值点间隔变化很敏感，这些变化对给定的现象提供了更细的量度。当然，极值点间的时间间隔还是有问题。许多现象的四阶矩是不收敛的，所以所希望的极值点数目不可能计算出来，尽管它也许会很容易被数出来。这种矛盾也许是因为傅立叶功率谱是人定义的，许多高频分量是来自非线性非平稳信号中的虚假谐波。极值点间的时间尺度是很重要的，它可用来做分解信号的时间尺度。

2.4 EMD分解方法

EMD是Empirical Mode Decomposition的简写，通常被称为经验模态分解法，是美籍华人NE．Huang在1996年提出的信号分解算法，这主要是从复杂信号里分离出IMF的过程，也称为筛选过程（The Sifting Process）。在此基础上，1998年NE．Huang及其同事提出了较为完整的Hilbert-Huang变换法。EMD是HHT方法中至关重要的一部分。

EMD方法假设任何信号都由不同的本征模态函数（IMF）组成，每个IMF可以是线性的，也可以是非线性的，IMF分量必须满足下面两个条件：一是其极值点个数和过零点数相同或最多相差一个，二是其上下包络关于时间轴局部对称。这样任何一个信号就可以分解为有限个IMF之和。

分解过程基于以下假设：（1）信号最少有一个极大值和一个极小值；（2）时域特性由极值间隔决定；（3）如果数据序列完全缺乏极值但是仅包含拐点，那么它也可通过求导一次或多次来揭示极值点，而最终结果可以由这些成分求积分来获得。具体方法是由一个“筛选”过程完成的：

（1）首先找出s(t)所有的极大值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的上包络线：以及所有的极小值点并将其用三次样条函数拟合成原数据序列的下包络线；

（2）计算上下包络线的均值，记为m2(t)；将原数据序列s(t)减去该均值即可得到一个去掉低频的新数据序列h1：

s(t)?m1(t)?h1(t)

（9）

（3）因为h1(t)一般仍不是一个IMF分量序列，为此需要对它重复进行上述处理过程。重复进行上述处理过程七次，直到h2(t)符合IMF的定义要求，所得

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到的均值趋于零为止，这样就得到了第1个IMF分量c1(t)，它代表信号s(t)中最高频率的分量：

h1(k?1)(t)?m1k(t)?h2k(t) （10）

c1(t)?h1k(t) （11）

（4）将c1(t)从s(t)中分离出来，即得到一个去掉高频分量的差值信号r1(t)，即有

r1(t)?c2(t)?r2(t)

（12）

将r1(t)作为原始数据，重复步骤（1）、（2）（3），得到第二个IMF分量c2(t)，重复n次，得到n个IMF分量。这样就有：

r1(t)?c2(t)?r2(t)???（13） ? rn?1(t)?cn(t)?rn(t)??2.5 Hilbert谱和边际谱

在IMF定义和EMD的基础上，Huang等人系统地提出了一种分析信号的新理论或新方法，命名为希尔伯特一黄变换（Hilbert-Huang Transform简称HHT）它包括两个大组成部分，EMD和与之相应的Hilbeer谱分析方法。即首先用EMD将任意信号s(t)分解成有限个IMF的和。

ns(t)??cj?1j(t)?rn(t) （14）

然后分别对每一个IMF分量用Hilbert变换进行谱分析。最后得到信号的瞬时频率表示

ns(t)?Re?at(t)ei?1j?1(t)j?1(t)dt?Re?ai(t)e?i?1n （15）

这里省略了残余函数rn(t)，Re表示取实部。称式（12）右边为Hilbert时频谱，简称Hilbert谱，记作

nH(?,t)?Re?i?1j?1(t)dtai(t)e? （16）

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它是瞬时振幅在频率．时间平面上的分布。

在式（12）中省略残余函数rn(t)是因为它或者是一个常数，或者是一个单调函数。虽然可以把rn(t)看作一个长周期波的一部分，但考虑到长周期的不确定性，及信号所包含的信息主要在高频分量中，因此做了省略处理。

展开式（12）中，每个分量的幅值和相位都是随时间可变的，而同样信号s(t)的Fourier变换展开式为

?s(t)?Re?aeii?1j?1t （17）

其中ai,?i为常数。这清楚地表明：HHT对信号的瞬时频率表示是Fourier展开的一般化，它不仅提高了信号的效率，而且能够表示可变的频率。因此，新方法突破了傅立叶变换的束缚。

用Hilbert谱可以进一步定义边际谱为

H(?)????? H(?,t)dt （18）

这里由HHT得到的边际谱与Fourier频谱有相似之处，从统计观点上来看，它表示了该频率上振幅（能量）在时间上的累加，能够反映各频率上的能量分布，但因为瞬时频率定义为时间的函数，不同以往Fourier等需要完整的振荡波周期来定义局部的频率值，而且求取的能量值不是全局定义的。因此对信号的局部特征反映更准确，在这方面优于Fourier谱。尤其是在分析非平稳信号时，这种定义对于频率随时间随时变化的信号特征来说，能够反映真实地振动特点。

为了直观的说明Hilbert谱和边际谱，下面给出一个仿真信号来加以说明： 给出的信号是正弦叠加信号，分别是y1?3*sin(2*pi*280*t)和

y2?5*sin(2*pi*93*t)，通过EMD分解程序包emd、hhspectrum和toimage可

以得到信号的Hilbert谱，分析给定的信号我们可以知道其频率分布在280HZ和93HZ处，经过HHT我们观察其Hilbert谱，可以得出同样的结论即280HZ和93HZ处分布着信号的主要能量。

>> clear; >> fs=1000; >> tspan=2; >> t=1/fs:1/fs:tspan; >> N=length（t）;

>> y1=3*sin（2*pi*280*t）;

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>> y2=5*sin（2*pi*93*t）; >> y=y1+y2; >> imf=emd（y）;

>> [A, fa, tt] = hhspectrum（imf）; >> if size（imf,1） > 1

[A,fa,tt] = hhspectrum（imf（1:end-1, :））; else

[A,fa,tt] = hhspectrum（imf）; end

>> [E, tt1] = toimage（A,fa,tt,length（tt））; >> for k = 1:size（E,1）

bjp（k） = sum（E（k,:））*1/fs*1/0.05; end

>> f = （0:N-3）/N*（fs/2）; >> figure（1） >> plot（y）; >> figure（2）

>> imagesc（tt1,[0,0.5*fs],E）; >> set（gca,'YDir','normal'） >> colormap（flipud（gray）） >> xlabel（'时间 T/s'）; >> ylabel（'频率 f/HZ'）;

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50045040035030025020015010050020040060080010001200时间 T/s140016001800频率 f/HZ

图2.1 仿真信号的Hilbert谱图

上例中给出的是仿真信号的Hilbert谱，由于Hilbert谱具有良好的时频聚集性，通过分析信号的Hilbert谱我们可以方便的看出信号的频率变化分布情况。下面给出的信号同样是正弦叠加信号，分别是y1?3*sin(2*pi*241*t)和

y2?5*sin(2*pi*73*t)，通过EMD分解程序包hhspectrum和toimage我们按

照以下程序代码可以得到信号的边际谱，如上图2.2所示。

>> fs=1000; >> tspan=2; >> t=1/fs:1/fs:tspan; >> N=length（t）;

>> y1=3*sin（3*pi*250*t）; >> y2=5*sin（3*pi*95*t）; >> y=[y1;y2;zeros（size（y1））]; >> [A,fa,tt]=hhspectrum（y）;

>> [E,tt1]=toimage（A,fa,tt,length（tt））; >> E=flipud（E）; >> for k=1:size（E,1）

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bjp（k）=sum（E（k,:））*1/fs*1/tspan; end

>> f=（0:N-3）/N*（fs/2）; >> plot（f,bjp）; >> xlabel（'频率 / Hz'）; >> ylabel（'幅值'）;

54.543.53幅值2.521.510.50050100150200250300频率 / Hz350400450500

图2.2 仿真信号的Hilbert边际谱图

注意在程序中E=flipud（E）语句是实现图谱的翻转，这里flipud是一个使矩阵上下翻转的函数，通过翻转，可以使得到的边际谱的频率按从左到右递增。

我们分析信号的边际谱，即为得到个频率分量的能量分布，从而为我们对信号的分析提供帮助。

2.6 HHT的特点

与传统的信号或数据处理方法相比，HHT具有如下特点： （1） HHT能分析非线性非平稳信号。

传统的数据处理方法，如傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非

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抽取后的信号0.50-0.5012345678x 10944321000.511.522.5x 104

图3.4 抽样点数N=500点后的信号

由于采样点数过少，导致频谱图出现了混叠现象。 （3）设计数字滤波器和画出频率响应

根据语音信号的特点给出有关滤波器的性能指标：

低通滤波器性能指标，fp=1000Hz，fc=1200 Hz， As=100dB，Ap=1dB； 用双线性变换法设计的低通滤波器的程序如下： fp=1000;fc=1200;As=100;Ap=1;fs1=22050; wc=2*fc/fs1;wp=2*fp/fs1; [n,wn]=ellipord（wp,wc,Ap,As）; [b,a]=ellip（n,Ap,As,wn）; freqz（b,a,512,fs1）; 滤波器的频率响应

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50Magnitude (dB)0-50-100-1500200040006000Frequency (Hz)8000100000Phase (degrees)-500-10000200040006000Frequency (Hz)800010000

图3.5 双线性低通滤波器的频率响应图

（4）进行低通滤波后的时域和频谱图；

低通滤波后信号波形0.50-0.5012345678x 1094低通滤波后信号频谱80604020000.511.522.533.5x 1044

图3.6 进行低通滤波后信号的时域和频谱图

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3.3仿真实验

为了验证上述理论与算法的有效期，我录制了一段名为“MOMO”的音乐，大小为0.2M，并加入了噪声。图3.7是清晰的语音波形。图3.8是加噪后的语音波形。图3.9是去噪后的语音波形。图3.10和3.12是对未加噪信号进行EMD分解得到的IMF分量以及提取的其中一个IMF的分量，图3.11和图3.13是对加噪信号进行EMD分解后得到的IMF分量以及提取的其中一个IMF分量。经过比较可知，噪声得到了有效的消除。

处理结果如下：

the sound10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10.511.522.5x33.544.555.5x 104y

图3.7 未加噪的语音信号

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the sound10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10.511.522.5x33.544.555.5x 104y

图3.8 加噪的语音信号

the sound10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10.511.522.5x33.544.555.5x 104y

图3.9 去噪后的语音信号

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0.511.522.5x33.544.555.5x 104

图3.10 未加噪的语音信号进行EMD分解的IMF分量

0.511.522.5x33.544.555.5x 104

图3.11 加噪后的语音信号的EMD分解的IMF分量

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IMF C3210-1-20.511.522.533.544.555.5x 10instantaneous frequency210-1-20.511.522.5x33.544.555.5x 1044yy

图3.12 未加噪信号中提取的IMFC3

IMF C3210-1-20.511.522.533.544.555.5x 10instantaneous frequency210-1-20.511.522.5x33.544.555.5x 1044yy

图3.13 加噪后提取的IMFC3

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3.4本章小结

本章先介绍了EMD的算法以及其分解，然后介绍了语音信号怎么利用

MATLAB软件进行分析，最后通过实验证明了HHT的去噪功能。

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第4章 总结及展望

Hilbert-Huang变换是一种新的非线性非平稳信号分析方法，运用经验模态分解方法和Hilbert谱分析，可以把复杂信号分解为有限数目的本征模态函数（IMF），并求取各IMF分量的瞬时频率，从而可以获得信号的时频表示。本论文主要研究的是：

1、HHT变换的一些基本理论、算法实现等；

2、在此基础上研究了EMD去噪的方法、原理及实现步骤；

3、着重对HHT变换去噪进行了深入研究，并做出了仿真研究，实验结果表明了该方法理论上是可行的、效果上是明显的。

Hilbert-Huang变换作为一种新的信号分析方法，有许多更深层次的问题有待于今后作进一步的研究：

1、 对HHT分析方法做进一步的研究，不断完善其理论结构，如从理论上验证IMF的定义：这对现代信号处理来说，是一项意义重大的工作；

2、 可以对HHT中的EMD分解方法、曲线拟合方式、边界效应等问题作进一步研究及改进，提高包络线拟合的精度，改善边界效应对分解效果的影响，以达到HHT理论所预期的处理效果；

3、 本文运用HHT方法实现信号去噪，并取得一定的成果，因为HHT的应用很广，希望以后能在更多方面对HHT进行研究。

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致 谢

经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。

在这里首先要感谢我的导师唐静波和李景松老师。两位老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从外出实习到查阅资料，设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计，装配草图等整个过程中都给予了我悉心的指导。我的设计较为复杂烦琐，但是他们仍然细心地纠正图纸中的错误。除了两位老师的专业水平外，他们的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。

其次要感谢武汉理工大学07级的所有同学所给的热心帮助，与他们的学术探讨和交流，使我受益匪浅。感谢所有关心我的同学和朋友在学习上的指导、在生活中的帮助。正是因为有了你们的支持和鼓励。此次毕业设计才会顺利完成。

然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下专业知识的基础。 最后感谢信息学院和我的母校——武汉理工大学四年来对我的大力栽培。 感谢我的父母在生活和学习中给我的无私的关怀和鼓励。

李威

2011年5月24日

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