自动控制原理课后题答案

1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；

受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程

扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。

给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值

参考输入即为给定值。

反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。

2 请说明自动控制系统的基本组成部分。

解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：

①被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；

②执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元

件有阀、电动机、液压马达等。

③给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；

④比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，

求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电

桥等。

⑤测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，

一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、

各种传感器等；

⑥放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如

电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放

大器和功率放大级加以放大。

⑦校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连

接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的

无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。

3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？

解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；

开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；

闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。

4 请说明自动控制系统的基本性能要求。

解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。

（2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。

（3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。

2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f 为黏性摩擦系数，k 为弹簧系数，系统的输入量为力()p t ，系统的输出量为质量m 的位移()x t 。试列出系统的输入输出微分方程。 解：显然，系统的摩擦力为dt

t dx f )(，弹簧力为)(t kx ，根据牛顿第二运动定律有 2

2)()()()(dt t x d m t kx dt t dx f t p =-- 移项整理，得系统的微分方程为

)()()()(22t p t kx dt

t dx f dt t x d m =++

2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。

解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得

2112211112[()()]d y dy k y t y t M k y f F dt dt

-+=-+ 整理得

图2-1 习题2-1 质量－弹簧－摩擦系统示意图

图2-2 习题2-2 机械系统示意图

2111121222()()()d y dy M f k k y t F k y t dt dt

+-+=- 2-3 求下列函数的拉氏变换。

（1）)sin 1(3)(t t f -=

（2）at te t f =)(

（3）)43cos()(π

-=t t f

解：（1）[()][3(1sin )]L f t L t =-

2223([1][sin ])

113()1

3(1)(1)

L L t s s s s s s =-=-+-+=+

（2）at te t f =)( 21[]L t s

= 21[()][]()

at L f t L te s a ==- （3

）()cos(3))cos(3)]4f t t t t π

=-=+

[()])cos(3)]2

L f t t t =+

222[sin(3)][cos(3)])2

3()29939L t L t s s s s s =

+=++++=

+

2-4 求下列函数的拉氏反变换

（1）)5)(2(1)(++-=s s s s F

（2）)

3(6)(2+-=s s s s F

（3）)

1(152)(22++-=s s s s s F 解：（1）112()(2)(5)25

s F s s s s s --==+++++ 1112[()][

]25L F s L s s ---=+++ 112512[

]2[]252t

t L L s s e e ----=-+++=-+ （2）226211()(3)3

s F s s s s s s --==++++ 112211[()][

]3L F s L s s s ---=+++ 111231112[

][][]321t L L L s s s t e ----=+-+=+-

（3）22225115()(1)1

s s s F s s s s s -+-==+++ 11215[()][]1

s L F s L s s ---=++ 11215[][]11cos 5sin s L L s s t t

---=++=+-

2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容C 上的电压为)(t u c ，电容1C 上的电压为)(1t u c ，以此类推）。

o

(a)+

－

u c (t)

(b)

+

－

u c1(t)

(c)

+

－u R1(t)

图2-3 习题2-5 无源网络示意图

解：（a ）设电容C 上电压为)(t u c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

2

1)()()()()()(R t u R t u dt t du C

t u t u t u o c c o i c =+-=

整理得输入输出关系的微分方程为

1

21)()()()1

1()(R t u dt t du C t u R R dt t du C

i i o o +=++ （b ）设电容1C 、2C 上电压为)(),(21t u t u c c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

dt

t du RC t u t u dt

t du C R t u t u R t u t u t u t u t u c c o c c o c i o i c )

()()()

()()()()()

()()(1

1222221=-=-+--=

整理得输入输出关系的微分方程为

R

t u dt t du C dt t u d C RC R t u dt t du C C dt t u d C RC i i i o o o )()(2)()()()2()(12

221212221++=+++ （c ）设电阻2R 上电压为2()R u t ，两电容上电压为)(),(21t u t u c c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为

)()()(21t u t u t u R i c -= （1） )()()(22t u t u t u R o c -= （2）

2

221)

()()(R t u dt t du C dt t du C

R c c =+ （3） dt

t du C R t u t u c o i )

()()(21=- （4）

（2）代入（4）并整理得

C

R t u t u dt t du dt t du o i o R 12)()()()(--= （5） （1）、（2）代入（3）并整理得

2

22)()(2)()(R t u dt t du C dt t du C dt t du C R R o i =-+ 两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为

C

R t u dt t du C R dt t u d C R C R t u dt t du C R dt t u d C R i i i o o o 1122211222)()(1)()()()11()(++=+++

2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。

(a)(b)

(c)+－

U c (s)+－U c1(s) 图2-4 习题2-6示意图 解：（a ）由图得

2

1)()()(R s U R s U s CsU o C C =+ （1） )()()(s U s U s U o i C -= （2）

（2）代入（1），整理得传递函数为

2

1212212

11

111)()(R R Cs R R R Cs R R R R Cs R Cs s U s U i o +++=+++= （b ）由图得 )()()(1s U s U s U o i C -= （1） )()()()()(2222s sU C R

s U s U R s U s U C C o C i =-+- （2） )()()(211s U s U s sU RC C o C -=

整理得传递函数为

1

)2(122121

)()(2122121221222121+++++=+++++

=C C Rs s C C R s RC s C C R s RC s RC s RC s RC s RC s U s U i o （c ）由图得

)()()(21s U s U s U R i C -= （1） )()()(22s U s U s U R o C -= （2） 2

221)

()()(R s U

s CsU s CsU R C C =+

（3） )()

()(21

s CsU R s U s U C o i =- （4） 整理得传递函数为

1

)2(1121

)()(212221122

2121212++++=++++=Cs R R s C R R Cs

R s C R R Cs

R R R R Cs R Cs s U s U i o

2-7 求图2-5中无源网络的传递函数。

解：由图得

12212()()

1()()U s U s Cs U s R R Ls

-=++

整理得

图2-5 习题2-7 无源网络示意图

21

22

111212121

()11()()U s R R Ls

U s R CLs R R C L s R R Cs R R Ls

+==+++++++

2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数)(/)(s R s C 和)(/)(s N s C 。 解：（a ）

⑴求传递函数)(/)(s R s C ，按下列步骤简化结构图：

① 令0)(=s N ，利用反馈运算简化如图2-8a 所示

②串联等效如图2-8b 所示

图2-6 习题2-8 系统结构图示意图

③根据反馈运算可得传递函数

3212211213

2

221112

22

111)1)(1(11111)()(H G G H G H G G G H H G G H G G H G G H G G s R s C +-+=-+--+=

3

21221122112

11H G G H G H G H G H G G G +--+=

⑵求传递函数)(/)(s N s C ，按下列步骤简化结构图： ①令0)(=s R ，重画系统结构图如图2-8c 所示

② 将3H 输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d 所示

③1G 和1H -串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e 所示

④串并联合并如图2-8f 所示

⑤根据反馈和串联运算，得传递函数

1

3

22121221

2111111)11()()(H H H G H G G H G H G G H G s N s C -----?-= 3

2122121111111H G G H G H G G H G H

G +--?-= 321221

2121H G G H G H G G G +--=

（b ）求传递函数)(/)(s R s C ，按下列步骤简化结构图： ①将2H 的引出端前移如图2-8g 所示

②合并反馈、串联如图2-8h 所示

③ 将1H 的引出端前移如图2-8i 所示

④ 合并反馈及串联如图2-8j 所示

⑤根据反馈运算得传递函数

13

233332232133223

211111)()(H G G H G H G H G G G G H G H G G G G s R s C ?+?+++++= 3311332213211H G H G H G H G H G G G G ++++=

2-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数)(/)(s R s C 。 解：求传递函数)(/)(s R s C ，按下列步骤简化结构图：

① 将1H 的引出端前移如图2-9a 所示

② 合并反馈及串联如图2-9b 所示

③ 合并反馈、串联如图2-9c 所示

习题2-4 无源网络示意图

图2-7 习题2-9 系统结构图示意图

④根据反馈运算，得传递函数

3

4321243132432132

4313243212431324

3211111)()(H G G G G H G G H G G G G G G H H G G H G G G G G G H G G H G G G G G G s R s C +++=?+++++= 3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：()()()()T c t c t t r t r t ??

+=+，其中1()0T τ>->。试证明系统的动态性能指标为[0.693ln(

)]d T t T T τ-=+， 2.2r t T =，[3ln(

)]s T t T T τ-=+ 解：

由系统的微分方程可得其传递函数()1()1

C s s R s Ts τ+=+，在单位阶跃输入作用下，由于1()R s s =，所以有111()11

s T C s Ts s s Ts ττ+-==-++ ()1t T T h t e T

τ--=- 当d t t =时，显然有()10.5d t T d T h t e T

τ--=-= 解之得[ln 2ln()][0.693ln()]d T T t T T T T ττ--=+=+ 由于r t 为()h t 从0.1上升到0.9这个过程所需要得时间，所以有 21r t t t =-

其中 11()10.1t T T h t e T

τ--=-= 22()10.9t T T h t e T

τ--=-= 由上式易解出 1[l n ()l n 0.9]T t T T τ-=-

2[ln(

)ln 0.1]T t T T τ-=- 则 210.9ln 2.270.1

r t t t T =-==，当s t t =时，显然有 ()10.95s t T s T h t e T

τ--=-= 解之得 [l n l n 0.05][3l n ]s T T t T T T T

ττ--=-=+

3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：

（1） 1.25()0.0125t k t e -=；

（2）()510sin(445)k t t t =++；

（3）()0.1(1)t k t e -=-。

解：

（1）0.0125()[()] 1.25

s L k t s Φ==+ （2

）()[()][54cos 4)]s L k t L t t t Φ==++ 22222

542()44s s s s =++++

322211)1616(1)16

s s s s +++=+ （3）111()[()]0.1[]110(31)

3

s L k t s s s s Φ==-=++ 3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为 1.2()1012.5sin(1.653.1)t h t e

t -=-+，试求系统的超调量%σ，峰值时间p t 和调节时间s t 。

解：

1.2()101

2.5

s i n (1.653.1)t h t e t -=-+ ＝ 1.210[1 1.25sin(1.653.1)]t

e t --+ 由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。

由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为()1sin()

n

t

h tζωωβ

-

=+

所以有

1.2

1.25

1.6

n

ζω

ω

=

?

??

=

?

?

=

??

解上述方程组，得

0.6

2

n

ζ

ω

=

?

?

=

?

所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下

超调量

0.61.25

%100%100%9.5%

e eπ

σ--?

=?=?≈

峰值时间

1.96

20.8

p

t s

π

==≈

?

调节时间

3.5 3.5

2.92

20.6

s

n

t

ζω

===

?

3-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为

0.41

()

(0.6)

s

G s

s s

+

=

+

，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。

解题过程：

由题意可得系统得闭环传递函数为

2

222

()0.41

()

1()12

n

d n n

G s s s a

s

G s s s a s s

ω

ζωω

++

Φ===

+++++

其中2,1,0.5, 2.5

2

n

n d

a z

z

ω

ωζζ

===+==。这是一个比例－微分控制二阶系统。

比例－微分控制二阶系统的单位阶跃响应为

()1s i n)

d n

t

h t reζωωφ

-

=+

故显然有

r==

1.686

d n d

φπ

=-++=-

arctan

1.0473d d πβ=== 此系统得动态性能指标为

峰值时间

3.155p t == 超调量

%16.2%d t ζσ-==

调节时间 222113ln(2)ln ln(1)22 5.134n n n d s d n

z z t ζωωζζω+-+---==

3-5 已知控制系统的单位阶跃响应为6010()10.2 1.2t t h t e e --=+-，试确定系统的阻尼比ζ

和自然频率n ω。

解：

系统的单位脉冲响应为60101060()()121212()t t t t k t h t e

e e e ?----==-+=- 系统的闭环传递函数为211600()[()]12(

)106010600

s L k t s s s s Φ==-=++++ 自然频率

24.5n ω== 阻尼比

1.429ζ=

= 3-6 已知系统特征方程为432

310520s s s s ++++=，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判

据确定系统的稳定性。

解：

先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下 43210 3 5 2

10 1

47 2 10

153 47

2s s s s s -

显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s 右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。

再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然，特征方程的各项系数均为正，则

2120310531470a a a a ?=-=?-?=>

2214231022001

a a a ?==>? 显然，此系统不稳定。

3-7 设单位负反馈系统的开环传递函数为2()(2)(4)(625)

K G s s s s s =++++，试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。

解：

由题得，特征方程是432

12691982000s s s s K +++++=

列劳斯表 43210 1 69 200+K

12 198

52.5 200+K

7995-12K

200+K

s s s s s

由题意，令1s 所在行为零得666.25K = 由2s 行得 2

52.5200666.250s ++= 解之得 4.062s i =±，所以振荡角频率为 4.062

/r a d s ω=

3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数为2(0.51)()(1)(0.51)

K s G s s s s s +=

+++，试确定系统稳定时的K 值范围。

解：

由题可知系统的特征方程为 432()34(2)20D s s s s K s K =+++++=

列劳斯表如下

43210 1 4

3 2+K

10-K

2K 3

(10-K)(2+K)63 10-K

3

2K s s s K s s - 由劳斯稳定判据可得

100

3[(10)(2)/3]60(10)/320K K K K K K -?>??-+-?>?-??>??

解上述方程组可得 0 1.705K <<

3-9系统结构如图3-1所示，)

1()(+=Ts s K s G ，定义误差)()()(t c t r t e -=， (1) 若希望图a 中，系统所有的特征根位于s 平面上2-=s 的左侧，且阻尼比为0.5，

求满足条件的T K ,的取值范围。

(2) 求图a 系统的单位斜坡输入下的稳态误差。

(3) 为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b 所示，试求出合适的0K 值。

解：（1）闭环传递函数为T K s T s T K K s Ts K s ++=++=1/)(22φ

(a) (b)

图3-1 习题3-9 示意图

即T

K T T T K n n n 1,15.0,12,==?===ωζζωω 2',)(2+=++=s s K s Ts s D 令，代入上式得，

02/14')14('2')2'()('22=-++--=+-+-=T T s T Ts K s s T s D 列出劳斯表，

210 T 4T+12

1-4T

4T+12

s T s s T --

4/1002/14,041,0<-+>->T T T T T

无解或?<-+<-<02/14,041,0T T T T ∞<<<<∴K T 4,4/10

(2) t t R =)(，系统为I 型系统 ∴K e ss /1=

(3) K

s Ts K s KK K Ts s K s K s G +++=+++=200)1()1()(' )

(1)1(1)]('1)[()()()(202022K s Ts s KK Ts K s Ts s KK Ts s s G s R s C s R s E ++-+=++-+=-=-=∴ K K K

KK K s Ts KK Ts s sE e s s ss /1011lim )(lim 002000=?=-=++-+==→→令 0K 并没有改变系统的稳定性。

3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数：

（1）100()(0.11)(5)

G s s s =++； （2）50()(0.11)(5)

G s s s s =++ 试求输入分别为()2r t t =和2()22r t t t =++时，系统的稳态误差。

解：

（1）10020()(0.11)(5)(0.11)(0.21)

G s s s s s ==++++ 由上式可知，该系统是0型系统，且20K =。

0型系统在211(),,2t t t 信号作用下的稳态误差分别为：1,,1K

∞∞+。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r t t =时的稳态误差为22ss e =?∞=∞，该系统在输入为2()22r t t t =++时的稳态误差为21221ss e K =?

+?∞+∞=∞+ （2） 5010()(0.11)(5)(0.11)(0.21)

G s s s s s s s ==++++ 由上式可知，该系统是I 型系统，且10K =。 I 型系统在21

1(),,2t t t 信号作用下的稳态误差分别为：10,

,K ∞。根据线性叠加原理有该系统在输入为()2r t t =时的稳态误差为2120.2ss e K

=?=，该系统在输入为2()22r t t t =++时的稳态误差为21202

ss e K =+=∞+∞

3-11已知闭环传递函数的一般形式为 0

1110111)()(1)()(a s a s a s b s b s b s b s H s G s G s n n n m m m m +??+++??++=+----φ 误差定义为)()()(t c t r t e -=。试证，

（1） 系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

1110)(a s a s a s a s n n n ++??++=--φ （2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为

11101)(a s a s a s a s a s n n n ++??+++=--φ （3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件

（4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系

解：（1）0

1110)(a s a s a s a s n n n ++??++=--φ )](1)[()()()(s s R s C s R s E φ-=-=∴

1111111a s a s a s s a s a s s n n n n n n ++??+++??++?=---- 0

1111211a s a s a s a s a s n n n n n n ++??+++??++=----- 满足终值定理的条件，

0l i m )(l i m )(011111100=++??+++??++==∞----→→a s a s

a s s a s a s s sE e n n n n n n s s 即证

（2）011101)(a s a s a s a s a s n n n ++??+++=--φ )](1)[()()()(s s R s C s R s E φ-=-=∴

111221121a s a s a s s a s a s s n n n n n n ++??+++??++?=---- 0

1112211a s a s a s a s a s n n n n n n ++??+++??++=----- 满足终值定理的条件，

0l i m )(l i m )(011121100=++??+++??++==∞----→→a s a s

a s s a s a s s sE e n n n n n n s s 即证

(3) 对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为

1110122)(a s a s a s a s a s a s n n n ++??++++=--φ 同理可证

（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。 3-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

（1）50()(0.11)(21)

G s s s =++； （2）2()(4200)

K G s s s s =++； （3）2210(21)(41)()(210)s s G s s s s ++=++

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