数学培优班题典(四年级)
更新时间:2024-05-13 07:09:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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专题一 速算与巧算
知识对对碰
在加法、减法和加减混合运算中,常常利用改变运算顺序进行巧算,其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等,还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。 整数乘除法的速算与巧算,一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的,就要对一些数分解、变形,再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则,把某些数组合到一起,使复杂的计算过程简单化。
1. 同学们要记住一些速算结果,如2×5=10,25×4 =100,125×8 =1000,625×8 =5000,625×16= 10000等,这样,在计算时才能迅速而准确。
2. 灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积。
“头同尾合十”的巧算方法是:用十位上的数字乘十位上的数字加1的积,再乘100,最后加上个位上两个数字的乘积。
如23×27 =2×(2+l)×100+3×7 =621.
“尾同头合十”的巧算方法是:十位数字的乘积加上个位数字的和,再乘100,最后加上个位上的数字的积。
如:如72×32=(7×3+2)×100+2×2 =2304。
3.两数之和乘这两数之差的只等于这两个数的平方差。
4. 另外有一些常用方法。 (??5)(a?5)?a2?b2 (1)乘数凑整法
乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算,如:5×2= 10,25×4= 100,125×8=1000,?
运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子,实现速算。例如:32×625 =4×8×125×5。
(2)乘法分配律、结合律
该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点,直接利用乘法结合律,先求和再求积。例如:87×28+28×73-28×10=28×(87+73-10)。如果没有出现乘数相同的情况,可以想办法进行拆分得到相同乘数,可以分成两数之和或是之积。 (3)特殊方法
针对特定的题还可以采用特定的方法,如“头同尾补”或是“尾同头补”等方法。 一、加减法中的速算与巧算
例1(★)8+ 98+ 998+ 9998+ 99998+ 999998
例2(★)巧算:599996 +49997 + 3998 +407 + 89
例3 (★★)5723-(723 -189)+576-(276-21l)
例4(★★)l00 +99-98+97-96+?+3-2+1
例5 (★★★)98+97-96-95+94+93-92-91+90+89?? 4-3+2+1
二、乘除法中的速算与巧算 例1(★)计算:(1)125×25×32
(2)576×422 + 576 + 577×576 (3)37500 +25 +4
例2(★)简算:(1)29×31 (2)68×72
例3 (★★)19981999×19991998 - 19981998×19991999
例4(★★)计算:4444×33333
例5(★★★)99???9?99???9?99???9的末尾有多少个零?
1992个91992个91992个9
例6(★★★)(福建第3届小伙炬杯)计算:98989898×99999999÷1010101÷1111111
魔法训练营 1.简便计算:
(1) 199999+29999+3999+499+59 (2)998+1413+9989
(3)799998+79997+7996+797+18 2.计算:
(1)1456 - 302 (2)2541 - 1998 (3)548 - 164 - 236 (4)8495 - (495 -281 ) 3.计算:
(1)(50-43) + (43-41) + (41-39) + (39-32) (2)812-593 + 193-647+247-374 + 174+200
4.某养猪专业户七月份出售了10头肥猪,每头肥猪的质量分别是:125,128,119,118,1t8,131,135,140, 115,115(千克)。七月份出售肥猪总共多少千克? 5.用简便方法计算下面各题。
(1)1 -2 +3-4 +5-6+?+1991 -1992 +1993= _________ (2)1+2+3+4+5+6+?+100=____________ (3)9+99+ 999+ 9999+ 99999=__________
6.计算:1234567 +2345671 +3456712 +4567123 +5671234 +6712345 +7123456 7.计算:123 +234 +345 +456 +567 +678
8.计算:(2 +4 +6+?+1998 +2000) -(1 +3 +5+?+1997 +1999) 9.计算:1 +2+3+?+999+1000+999+?+3 +2 +1 10.用简便方法计算:
(1)3600000÷125 ÷32 ÷25 (2)3456×998
(3)347×69 +653×31+306×19
11.计算:22222×22222
12.计算:99999×77778 +33333×66666 13.计算:9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷13 14.计算:156 +78×1983+22×1985 15.计算:33???3?33???34
99个399个316.计算:111111× 999999+999999×777777
17.计算:19961997×19971996 - 19961996×19971997 18.计算:76000?100???0?200???0
100个098个019.计算:66???6?66???67
1997个61996个6 20.计算:123456789×987654321 - 123456788×987654322
这个铜币哪去了
这天,太阳刚刚出来,阿凡提就骑着小毛驴赶集来了。阿凡提一边逛着,一边不住地和朋友们打着招呼。只听见有人高喊他的名字,阿凡提回头一看,原来是西瓜店老板沙拉。此人既贪财又奸诈,还专门放高利贷剥削老百姓。阿凡提早就想找机会教训教训这家伙。此时沙拉正手忙脚乱地卖着西瓜。阿凡提走过去,见西瓜半数是大的,半数是小的。大西瓜7贪铜币买2个,小西瓜一个铜币买3个。阿凡提对沙拉说:“啊,沙拉老弟,你可真笨,何不把大小西瓜合在一起,不论大小,按2个铜币买5个来算,不是省事了吗?”沙拉一听,顿时眉开眼笑,连忙谢道,:“阿凡提大哥真是聪明,果然名不虚传。”
过了没多久,沙拉又急急忙忙地追上了阿凡提说:“阿凡提大哥,我刚才用您教的方法卖了30个大西瓜、30个小西瓜,真是快多了。可我点钱时发现只卖得24个铜币,而按老办法卖30个大西瓜应得15个铜币,30个小西瓜应得10个铜币,合在一起一共25个铜币,怎么会少一个铜币呢?” 阿凡提暗自好笑,却故作吃惊地说:“不会少一个铜币吧,一定是你数错了。”
沙拉左思右想,也不知这个铜币哪里去了,还真以为数错呢。瞧,他又在瓜摊旁一遍一遍地数着铜币。 同学们,你知道这个铜币哪去了吗?
专题二 错中求解
在加、减、乘、除试题的计算中,如果粗心大意将算式中的一些数字或符号抄错,会使结果发生错误。能不能根据错误的计算结果,求出正确的结果呢?这就是所谓的“错中求解”。 解答这样的题目,我们要熟悉加、减、乘、除各部分间的关系。 一个加数=和一另一个加数 减数=被减数一差 被减数=减数+差
一个因数=积÷另一个因数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
在有余数的除法里还有: 被除数=商×除数+余数
除数=(被除数一余数)÷商
在熟悉这些关系的基础上,要根据题目中所给的条件,认真分析隐含的数量关系,从而找到正确的结果。 名题典中典
例1(★)张小明计算一道除法算式,把被除数532写成523,结果商是65,余数是3,正确的商是多少?余数是多少?
例2(★)小红做一道减法题时,把减数个位上的8错写成5,十位上的6错写成9,得到的差是435,请你算一算,正确的差是多少?
例3(★★)小玲在做两位数乘两位数的乘法时,她把一个因数个位上的5错写成2,乘得的积是832,实际的积是910,这两个因数分别是多少?
例4(★★)甲、乙两学生同算两数之和,甲得685,计算正确,乙得460,计算错误,乙所以算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了。这两个加数各是多少?
例5(★★)张鹏做两位数乘两位数的题时,把第二个乘数的个位数4错当作1,乘得的结果是525,实际应为600,这两个两位数各是多少?
例6(★★)小马虎在计算有余数的除法时,把被除数137错写成了174,这样商比原来多了3,余数比原来多了1。请你算出这道题的除数和余数各是多少?
例7(★★★)陈敏同学在计算一道减法题时,把被减数3085错写成了3058,把减数百位上的4错写成了l,十位上的3错写成8,这样得到的差是2146。问正确的差应是多少?
例8(★★★)一个人去商店买了两件商品,他把一个商品的标价个位上的零忽略了,只付给售货员162元,售货员却让他付款270元,这两种商品的标价各是多少?
魔法训练营
1.陈程做题时,由于粗心大意,把被减数个位上的3写成8,把十位上的O错写成6,这样算得的差是199,正确的差是多少?
2.小明和小红同算两数之和,小红算得785,计算正确。小明算得578,计算错误,经查找原因,小
明发现将其中一个加数末尾的“O”漏掉了,这两个加数各是多少?
3.两数相乘,如果一个因数减少3,积就减少48,如果另一个因数增加4,积就增加108,原来两个因数各是多少?
4.小强在做计算题(1800-□)÷25+192时,没有注意题里的括号,选有□里的数除以25,然后按加减运算的顺序计算,得1968。问这道题应该得多少呢?
5.小刚在计算除法时,把除数65写成了56,结果得到商是13,还余52,正确的商应是多少?
6.小虎做两位数乘两位数的题时,把一个乘数的个位数字6错当作1,乘得的结果是775,实际应为900,这两个两位数各是多少?
7.小方在计算有余数的除法时,把被除数171错写成117,结果商比原来少3,但余数恰好相同,这道题的除数和余数各是多少?
8.1000个单位的年收人为8200万元到98000万元。由于失误,把一个最大的收入记为980000万元输入计算机。那么输入的错误数据的平均值与准确数据的平均值相差多少万元?
几个9
明明和沉沉都十分喜欢数学。一天明明问沉沉:“你最喜欢几?”“我最喜欢9。?‘那你说说从1数到100,要说几次‘9’?”“啊!??这”沉沉被难住了,“这要数一数才能知道,一分钟时间。”明明说。小朋友,请你在一分钟内说出从1到100衣多少个9 。
例5(★★★)如图6-5,直角三角形ABC中有一个正方形BDEF,那么∠1和∠2的大小有什么关系?∠3和∠4的大小有什么关系?为什么?
例6 (★★★)在图6-6中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F和∠G的度数和是多少?
例7(★★★)图6-7由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案,并且回答风筝形砖的4个内角各是多少度。
魔法训练营
1.既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫等腰直角三角形,等腰直角三角形的底角是多少度?
2.如图6-9,求∠1,∠2,∠3。
3.已知一个三角形的一个内角是900,是另一个内角的3倍,这个三兔形的另外两个角各是多少度?
4.如图6 -10,在正三角形ABC中,∠1=∠2,∠3 =∠4,求x的度数。
5.如图6 -11,在等腰三角形ABC中,AD是底边BC上的高。 (1) ∠1和∠2的大小有什么关系? (2) ∠3和∠4的大小有什么关系7
6.如图6 -12,求∠1,∠2,∠3,∠4与∠5的度数之和。
专题七 三角形的等积变形
把一个图形变为与它面积相等的图形,叫做等积变形。等积变形前后两个图形的面积相等,但形状并不一定一样。
最常用的等积变换是三角形等积变换,要熟记下面的结论: 1.等底等高的两个三角形面积相等; 2.两条平行线间的距离处处相等;
3.底在同一条直线E并且相等,该底所对应的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线七,那么这两个三角形面积相等;
4.如果两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的底(或高)的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
名题典中典
例1 (★)用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。
例2(★)如图7-4,把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
例3(★)如图7-6,在△ABC中,BD:2DC,AE:BE,已知△ABC的面积是18平方厘米,则四边形AEDC的面积等于多少平方厘米?
例4(★★)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为1:3:4。
例5(★★)如图7 -11,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD。若△ADE的面积为l平方厘米,求三角形ABC的面积。
例6(★★)如图7 -13,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的2倍,那么三角形CDE的面积是多少平方厘米?
例7(★★★)如图7 -14,在△ABC中,BD= 2AD,AG =2CG,BE=EF= FC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几?
例8(★★★)如图7 -15,四边形ABCD为平行四边形,EF平行于AC,如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。
魔法训练营
1.你能用不同的方法将一个三角形五等分吗?
2.如图7 -16,A、曰两点分别是长方形EFGH长和宽的中点,如果长方形的面积是16平方米,那么阴影部分的面积是多少平方米?
3.如图7 - 17,在△ABC中,EF与BC平行,AB= 4AE,已知△ABC的面积为144平方厘米,那么△AEF的面积是多少平方厘米?
4.如图7 -18,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点,已知ABCD的面积是108平方厘米。那么△BEF的面积是多少?
5.如图7 -19,已知正方形的面积是50平方厘米,三角形ABC两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形ABC的面积。
6.如图7 -20,已知三角形ABC的面积为56平方厘米,是平行四边形DEFC的2倍,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
7.如图7 -21,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知S△ABC= 27平方厘米,求S△DEF。
8.如图7 - 22,E是长方形ABCD的BC上一点,使SABE?1S梯形AECD,BC=9厘米,求BE是多少厘2米。
9.如图7-23,将四边形ABCD各边都延长一倍至A’、B’、C’、D’。如果四边形ABCD的面积是1,求四边形A'B'C'D',的面积。
10.如图7- 24,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如果四边形ABCD的面积是l,求△EFG的面积。
阿拉伯数字
在生活中,我们经常会用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。那么你知道这些数字是谁发明的吗?
这些数字符号原来是古代印度人发明的,后来传到阿拉伯,又从阿拉伯传到欧洲,欧洲人误以为是阿拉伯人发明的,就把它们叫做“阿拉伯数字”,因为流传了许多年,人们叫得顺口,所以至今人们仍然将错就错,把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。
现在,阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符。
专题八 巧求周长
长方形和正方形的周长是指围成这个图形的四条线段的长度总和。计算长方形、正方形的周长公式是:长方形周长=(长+宽)×2,正方形周长=边长×4。对于一些多边形,我们也可以经过转化,把它们变成正方形或长方形,然后再利用这两个公式来求周长。
在平时的学习过程中,经常会遇到表面看起来根本不是长方形、正方形或其他标准图形,这就需要运用平移、转化、分解、合并等技巧,找到突破口、化难为易、化繁为简。
名题典中典
例1(★)求图8-1中(a)、(b)的周长(单位:分米)。
例2(★)一个长方形拆成两个大小相同的正方形,周长之和比原来的长方形的周长多了6厘米,原来长方形的周长是多少?
例3(★)图8 -3(a)中的小方格与图(b)中的小方格一样,图(a)的周长为48厘米,求图(b)的周长。
例4(★★)四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形,如图8-4。大正方形的面积是49平方米,小正方形的面积是4平方米。问长方形的短边长是几米?
例5(★★)图8-5是由六个正方形重叠起来的,连接点正好是正方形边的中点,正方形边长是o,该图的周长是________。
例6 (★★)图8 -6(a)是一块草坪的示意图,求这块草坪的周长(单位:米)。
例7(★★)一个正方形被分割成3个大小、形状完全一样的长方形,如图8-7,每个小长方形的周长都是24厘米,求这个正方形的周长。
(★★★)求图8-8中实线部分“E”字形的周长(单位:厘米)。
1.学校有一个长方形的操场,四角上都修了一个正方形看台,如图8-9,你知道这个操场的周长吗?
2.求图8 -10中阴影部分的周长。
3.如图8 -11,小冬和小明同时从学校出发,走两条不同的路线到少年官,问 两人一共走了多少米?
4.边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是多少?
5.一根铁丝长12厘米,能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形?每种长方形的长和宽各是几厘米?围成的正方形的边长是几厘米?
6.如图8 -12所示,有一个八边形,任意相邻的两条边都互相垂直。为确定这个八边形的周长,最少需要知道其中几条边的长度?分别是哪几条?
7.在一张纸上画出由四个边长为2厘米的正方形拼凑组合成的图形,重叠的线段只算画一次。在所有的这些画法中:
(1)哪种画法画出的线段总长最长?长度为多少厘米?
(2)哪种画法画出的线段总长最短?长度为多少厘米?
8.把若干长20厘米,宽16厘米的长方形纸片按图8 -13所示方法一层、二层、三层地摆下去,共要摆十层。求摆好后图形的周长。
9.8个同样大小的小长方形拼成一个大的长方形,如图8-14所示。已知大长方形的周长是56厘米,求一个小长方形的周长。
10.图8-15(1)和(2)是两个形状、大小完全相同的大长方形,在每个大长方形中放入4个如图(3)所示的小长方形,斜线区域为空下来的地方,已知大长方形的长比宽多6厘米。问:哪个图中画斜线的区域的周长长?长多少厘米?
专题九 巧求面积
长方形、正方形的面积是指它们所占平面的大小。长方形和正方形面积的计算公式是:长方形的面积=长×宽,正方形的面积=边长×边长。
在学习过程中,我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽,图形比较复杂,不能简单地用公式直接求出所求面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念,利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法,使复杂的问题转化为普通的长方形、正方形面积的问题,从而正确解答。
例1(★)如图9-1所示,计算阴影部分的面积(单位:米)。
例2(★)比较图9-2中两个阴影部分I和Ⅱ的面积,它们的大小关系是________。
例3(★)用1、2、3、4、5、7作为图9 -4(a)中的六条边长。问:这个图形的最大面积是多少?
例4(★★)长方形ABCD的周长为16米,在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形,如图9-5。已知这四个正方形的面积的和是68平方米,求长方形ABCD的面积。
例5(★★)用长48厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都是整厘米数,且长和宽不相等),围成的最大一个长方形的面积是多少平方厘米?
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