《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题(文视情况

[知识能否忆起]

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0 直线与圆锥曲线相交； Δ＝0 Δ<0

若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题

设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1＋k|x1

－x2|或

1

1＋y1－y2|. k

[小题能否全取]

x2y2

1．(教材习题改编)与椭圆＋1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )

1216x2y22

A．y－1 －x＝1

33

2

33

2－2＝1 48

33

2－2＝1 48

y2x2

解析：选A －1(a＞0，b＞0)，

ab

c

则 a2， c＝2，

a2＋b2＝c2，

2

得a＝1，b＝x2

故双曲线方程为y－＝1.

3

x2y2

2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1＋＝1的位置关系是( )

94A．相交 C．相离

B．相切 D．不确定

解析：选A 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直

线与椭圆必相交．

3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A．1条 C．3条

B．2条 D．4条

解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．

x2y2

4．过椭圆＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，

ab与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．

解析：由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以B点的坐标为(0，a)，aac26－，代入椭圆方程得a2＝3b2，则c2＝2b2，则，故e＝. 故M点的坐标为 22a33

答案：

6 3

2

2

y2

5．已知双曲线方程是x－1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使

2P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________________．

解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由

22y22yx1－1，x2－＝1，得

22

y2－y12 x2＋x1 k＝x2－x1y2＋y1

2×4

＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51

2＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．

答案：4x－y－7＝0

1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．

2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘

”．

典题导入

x2y2

[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为

ab2

.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. 2

(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为

10

k的值． 3

a＝2， c2

[自主解答] (1)由题意得 ＝，

a2 a＝b＋c，

2

2

2

解得b2，

x2y2

所以椭圆C＋＝1.

42

y＝k x－1 ，(2)由 x2y2得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

421，

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝2k2－4x1x2＝

1＋2k2所以|MN|＝＝2

x2－x1 2＋ y2－y1 2

1＋2k24k2

1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2] 1＋k2 4＋6k2

1＋2k2

|k|1＋k

＝

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝

2

所以△AMN的面积为

|k4＋6k21

S|MN|· d＝21＋2k2

|k|

4＋6k21

＋2k2

10

，解得k＝±1. 3

由题悟法

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．

以题试法

1．(2012·信阳模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )

11

－ A. 22 C．[－1,1]

B．[－2,2] D．[－4,4]

由解析：选C 易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2,0)，于是，可设过点Q(－2,0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，

2 y＝8x，联立 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.

y＝k x＋2

当k＝0时，易知符合题意；当k≠0时，其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0， 可解得－1≤k≤1.

典题导入

x2y2

[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离

ab1

心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C

2相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．

[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得

2＋c 2＋1＝10， c1 a＝

2

c＝1，

得 a＝2.

x2y2

所以椭圆方程为＋＝1.

43

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.

当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，

y＝kx＋m，由 消去y，整理得

22

3x＋4y＝12

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ① 则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，

4m－12xx＝ 3＋4k

2

12

2

8km

x1＋x2＝－3＋4k2

1

－4km，3m

所以线段AB的中点为M 22 . 3＋4k3＋4k

－2km13m因为M在直线OP：y上，所以23＋4k23＋4k23

得m＝0(舍去)或k＝－.

2

此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则

x＋x＝m，

Δ＝3(12－m)＞0， m－3

xx＝3.

2

2

2

12

所以|AB|1＋k2·|x1－x2|＝

39

12－m2， 6

设点P到直线AB的距离为d，则 d|8－2m|

2|m

－4|22133＋2

设△ABP的面积为S，则

1S|AB|·d＝ m－4 2 12－m2 . 26其中m∈(－3，0)∪3)．

令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，2]，

u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－17)． 所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值． 故当且仅当m＝17时，S取到最大值． 综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋7－

2＝0.

由题悟法

1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．

(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；

(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．

2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围；

(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

以题试法

2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y2＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为( )

2

－0 A. 3 3

－0 C. 2

2

0， B. 3 30， D. 2

解析：选B 设抛物线上关于直线x＋y＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN的方程为y＝x＋b.将y＝x＋b代入抛物线方程，得x2＋(2b－2p)x＋b2＝0，则x1＋x2＝2p－2b，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线x＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)2－4b2＝4p2－8bp＞0，将b＝2p－1

2

代入得4p2－8p(2p－1)＞0，即3p2－2p＜0，解得0＜p＜.

3

典题导入

x2y2

[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C0＝1(a>b>0，

aba，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，b<t1<a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．

(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t2<a，t1≠t2.

2若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t2为定值．

[自主解答] (1)设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程y为y＝(x＋a)，①

x1＋a

直线A2B的方程为y＝x－a)．②

x1－a

22

由①②得y＝2(x－a)．③ 2

x1－a2

x2y由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.

ab

2

y21＝b

2

－y1

－y21

从而

xy 1－x1，代入③得＝1(x<－a，y<0)．

aab

222

(2)证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2|·|y2|，

222

故x21y1＝x2y2.

因为点A，A′均在椭圆上，所以 b2x21

1－x22 x ＝bx21－. a a

22

22222

由t1≠t2，知x1≠x2，所以x1＋x22＝a，从而y1＋y2＝b， 222因此

t21＋t2＝a＋b为定值．

由题悟法

1．求定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．

以题试法

3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y2＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a,0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．

y0－by1－y0yyy 解析：设M 2p，y0 ，M1 2p，y1 ，M2 2p，y2 ，由点A，M，M1＝，

yyy2

2

2

2p

a

2p2p

by0－2pay2－y12pa

得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设(x，y)是直线M1M2上的点，则y0yyy0－b－

2p2p＝

y2－yby0－2pa2pa

，即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，又y1＝，y2＝ yy0

y0－bx

2p

则(2px－by)y02＋2pb(a－x)y0＋2pa(by－2pa)＝0. 2pa2pa

a . 当x＝a，y＝ b b2pa

a， 答案： b

y2

1．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则

3

2

PA1,·PF2,的最小值为( )

A．－2 C．1

81B．－

16D．0

解析：选A 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y2

＝3(x2－1)．PA1,·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2PF2,＝(－1－x，－y)·181

x－2－x≥1.因此，当x＝1时，PA1,·＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4 PF2,取 816得最小值－2.

2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A．有且只有一条 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有且只有四条

pp

解析：选B 设该抛物线焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋xB＋xA＋xB＋1＝3

22＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．

x2y2

3．(2012·南昌联考)过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，

ab分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N(均在第一象限内)，若FM,＝4MN,，则双曲线的离心率为( )

5 43 5

5345

b2bc

解析：选B 由题意知F(c,0)，则易得M，N的纵坐标分别为，由FM,＝4MN,

aabcb2 b2b4c5 ，即.又c2＝a2＋b2，则e＝＝得＝ aa ac5a3

x2y2

4．已知椭圆＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结

2516论正确的是( )

A．P点有两个

B．P点有四个 D．P点一定不存在

C．P点不一定存在

解析：选D 设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3＜4＝b，即圆与椭圆不可能有交点．

x22x25．已知椭圆Cy＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)＋y2则|PF1|＋|PF2|0≤1，22的取值范围为________．

解析：当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,2]．

答案：[2,22 ]

x22

6．(2013·长沙月考)直线l：x－y＝0与椭圆＋y＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上

2的动点，则△ABC面积的最大值为________．

x－y＝0，6

解析：由 x2得3x2＝2，∴x＝，

3

y2＝1， 2

∴A

66 66，B －，－ ， 3 3 3 3

43

∴|AB|＝

2cos θ－sin θ|3

设点C(2cos θ，sin θ)，则点C到AB的距离d·sin(θ－φ) 22

≤

3， 2

1133

∴S△ABC＝|AB|·d≤2.

22322

y2

7．设F1，F2分别是椭圆E：x＋＝1(0<b<1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交

b

2

于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 4

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝3(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝

1－b2.

y＝x＋c，

2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(1＋b2)x2y

x2＋＝1， b

＋2cx＋1－2b2＝0.

1－2b2

则x1＋x2x1x2＝22

1＋b1＋b

－2c

因为直线AB的斜率为1，

4

所以|AB|2|x2－x1|，即＝2|x2－x1|.

3

22

4 1－b 4 1－2b 88b42

则＝(x1＋x2)－4x1x2， 9 1＋b2 21＋b2 1＋b2 2

解得b＝

2

2

x2y22

8．(2012·黄冈质检)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，椭圆上任意一点到右

ab2焦点F2＋1.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．

ec2

a2

解：(1)∵

a＋c＝2＋1

a2

，∴ ，∴b＝1，

c＝1

x22

＋y＝1.

2(2)由(1)得F(1,0)，∴0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线l，

x22

设l的方程为y＝k(x－1)，代入y＝1中，得

2(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2

2k＋12k2－2x1x2＝2

2k＋1

－2k

4k2

∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝2.

2k＋1

2k，－k设AB的中点为M，则M 2.

2k2＋1 2k＋1

∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，

2

k

∴k＝－1，即(1－2m)k2＝m. ·2km－2

2k＋11

∴当0≤m＜时，k＝±

2

m1－2m

l；

2k2＋1

1

当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l. 2

x2y2

9．(2012·江西模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，直线y＝x＋6与以原点为圆心，

ab以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左，右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线1

过定点C 60 ，求实数k的取值范围．

xy解：(1)设P(x0，y0)，x0≠±a，则G 33. 又设I(xI，yI)，∵IG∥F1F2， y∴yI＝

3∵|F1F2|＝2c，

11y∴S△F1PF2＝|F1F2|·|y0|＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·， | 223∴2c·3＝2a＋2c，

c16|∴e＝b＝，

a2

1＋1

x2y2

∴b3，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.

43

xy 431

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 ，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

y＝kx＋m8km

由题意知Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2＋3，又x1＋x2＝－，则

3＋4k2

6m

y1＋y2＝

3＋4k2

2

2

－4km3m∴线段AB的中点P的坐标为 22.

3＋4k3＋4k

11

x－， 又线段AB的垂直平分线l′的方程为y＝－k61 －4km－1点P在直线l′上，∴＝－26， 2k3＋4k 3＋4k

3m

22

4k＋3 136

∴4k2＋6km＋3＝0，∴m＝－(4k2＋3)，∴4k2＋3，∴k2＞，解得k或k6k36k328

＜－

6

8

∴k的取值范围是 －∞

6 6 ∪，＋∞. 8 8

1．(2012·长春模拟)已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，|AM |,·|BM|,cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．

(1)求|AM|,＋|BM|,的值，并写出曲线C的方程； (2)求△APQ的面积的最大值．

解：(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|,＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得|AM|,2＋|BM|,2

－2|AM|,·|BM|,cos 2θ＝|AB|,2＝4，

即(|AM|,＋|BM|,)2－2|AM|,·|BM|,·(1＋cos 2θ)＝4， 所以(|AM|,＋|BM|,)2－4|AM|,| BM|,·cos2θ＝4. 因为|AM|,·|BM|,cos2θ＝3， 所以(|AM|,＋|BM|,)2－4×3＝4， 所以|AM|,＋|BM|,＝4. 又|AM|,＋|BM|,＝4＞2＝|AB|，

因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x2y2

＋＝1(a＞b＞0)， ab则a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. x2y2

所以曲线C＋＝1.

43

(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.

x＝my＋1由 x2y2，消去x， 431

整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①

显然方程①的判别式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

1

则△APQ的面积S△APQ＝2×|y1－y2|＝|y1－y2|.

2

6m9

由根与系数的关系得y1＋y2＝－2，y1y2＝－2

3m＋43m＋4所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×. 22

3m＋4 令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝

48

， 1t＋2t3m2＋3

1

由于函数φ(t)＝t[3，＋∞)上是增函数，

t

110

所以t＋≥，当且仅当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号，

t348

所以(y1－y2)2≤＝9，即|y1－y2|的最大值为3，

10＋23

所以△APQ的面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x＝1.

1

2．(2012·郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0)，m＜3，半径为5，圆C与离心率e＞的

2x2y2

椭圆E＋1(a＞b＞0)的其中一个公共点为A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．

ab

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．

解：(1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m＜3)， 将点A的坐标代入圆C的方程中，得(3－m)2＋1＝5， 即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝5.

∴m＜3，∴m＝1.

∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝5. (2)直线PF1能与圆C相切，

依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0，

|k－0－4k＋4|

若直线PF1与圆C相切，则5.

2

k＋1111

∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝k22

1136

当k＝时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去．

2111

当k＝PF1与x轴的交点的横坐标为－4，

2∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a＝|AF1|＋|AF2| 3＋4 2＋12＋

3－4 2＋12＝52＋2＝62.

∴a＝2，即a2＝18，

4221∴e＝

3232故直线PF1能与圆C相切．

x2y2

直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，

182把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y2－16y－2＝0，由根与系数的关系得y1162＋y2＝，y1y2＝－，

1313

故S△DBF2＝4|y1－y2|＝4

y1＋y2

2－4y1y2＝

2413

1．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中点坐标为( )

A．(1,0)

B．(2,2)

C．(3,2) D．(2,4)

2

2 y＝4x，

解析：选C 依题意得，抛物线C的方程是y＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由

y＝x－1

6

消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB3，纵坐标是y

2＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是(3,2)．

x2y2

2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝

94

2

2

1的交点个数为( )

A．至多1个 C．1个

B．2个 D．0个

解析：选B 由题意得

422

2，即m＋n＜4，则点(m，n)在以原点为圆心，以2m＋n

x2y2

为半径的圆内，此圆在椭圆＋1的内部．

94

x2y23

3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为C

ab2的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r＞0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求TM,·TN,的最小值，并求此时圆T的方程； (3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|·|OS|为定值．

c3

解：(1)依题意，得a＝2，e＝，

a2∴c3，b＝

a2－c2＝1.

x22

故椭圆C的方程为y＝1.

4

(2)易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1＞0. 由于点M在椭圆C

2x2

上，∴y1＝1－4

由已知T(－2,0)，则TM,＝(x1＋2，y1)，TN,＝(x1＋2，－y1)，

TN,＝(x1＋2，y1)·∴TM,·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21

2

x51－2＝(x1＋2)－ 44

1＋4x1＋3

2

851x1＋ 2＝ 5 54

81由于－2＜x1＜2，故当x1时，TM,·,取得最小值－. TN55

8383

－，，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2把x1(*)式，得y1，故M 555513

＝25

13

故圆T的方程为(x＋2)2＋y2＝25

y0－y1

(3)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0(x－x0)，

x0－x1x1y0－x0y1x1y0＋x0y1

令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，

y0－y1y0＋y1

222

x21y0－x0y1

故xR·xS＝22y0－y1

222

又点M与点P在椭圆上，故x20＝4(1－y0)，x1＝4(1－y1)，

代入(**)式， 得xR·xS＝

222

4 1－y1 y0－4 1－y20 y1

2

y20－y1

2

y20－y1 ＝4 22＝4. y0－y1

所以|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4为定值．

平面解析几何

(时间：120分钟，满分150分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2012·佛山模拟)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )

A．1 C．－2或－1

B．－1 D．－2或1

a＋2

解析：选D 由题意得a＋2，解得a＝－2或a＝1.

a

2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )

1 3

1B．－

323

3C．－

2

解析：选B 设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5,1)，1所以k＝－3

3．(2012·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( ) A．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1

B．x2＋y22 D．x2＋y2＝4

解析：选A AB的中点坐标为(0,0)， |AB|＝[1－ －1 ]＋ －1－1 ＝22， ∴圆的方程为x2＋y2＝2.

x2y24．(2012·福建高考)－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该

4b双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )

5

2

B．42 D．5

C．3

x2y2

解析：选A ∵抛物线y＝12x的焦点坐标为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，

4b即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，

5

∴双曲线的渐近线方程为y＝x，

2

∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为

53 2

1＋4

5.

x2y2

5．(2012·郑州模拟)若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，线段

abF1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )

9 8

5B. 3

3 4

5D. 4

b74

解析：选B 依题意得，c＋2c，即b(其中c是双曲线的半焦距)，a＝c－b27＋353c55

＝，则＝5a33

6．设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若△PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是( )

A．在线段MN的内部

B．在线段F1M的内部或NF2内部 C．点N或点M

D．以上三种情况都有可能

解析：选C 若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则|NF1|－|NF2|＝|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|.

所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点． 7．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1, 3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0

B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0

解析：选D 圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，

|2k－k3|3即kx－y－k＋3＝0，所以＝2，解得k.

3k＋1所以切线方程为y－3＝

3

x－1)，即x3y＋2＝0. 3

8．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )

2

B．22 D．8

C．4

解析：选C 抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，23)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.

x2y29．(2012·潍坊适应性训练)已知双曲线C1的左，右焦点分别为F1，F2，P为

45C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则|PF2|＝|F1F2|，则PF1,·PF2,等于( )

A．24

B．48

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/70wi.html