武汉科技大学 信号与系统 下册 答案+讲解1

第6章 系统及系统的时域分析

6.1学习要点

1. 系统的分类

（1）连续（时间）系统与离散（时间）系统 （2）即时系统与动态系统 （3）确定性系统与随机性系统

（4）单输入-单输出系统与多输入-多输出系统 （5）线性系统与非线性系统 （6）时变系统与时不变系统 （7）因果系统与非因果系统 （8）稳定系统与非稳定系统 2. 线性时不变因果稳定系统的基本特性

（1）线性（齐次性、可加性）：

?f1(?)??f2(?)??y1(?)??y2(?) （6-1）

（2）时不变性：

f(t?td)?yf(t?td) （对连续系统） （6-2）

（3）微积分特性：

f(k?kd)?yf(k?kd) （对离散系统） （6-3）

f'(t)?yf'(t)

（6-4） （6-5）

?（4）因果性：

t??f(x)dx??yf(x)dx??t如果f(?)?0，t?t0（或k?k0），则yf(?)?0，t?t0（或k?k0） （5）稳定性：

如果系统的激励f(?)??时，则零状态响应yf(?)??

3. 系统分析的任务及方法

系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号（激励）求系统的输出信号（响应）。系统分析方法包括时域分析法和变换域分析法。本章讨论的时域分析法是直接分析时间变量t(或

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，研究系统的时间响应特性（或称时域特性），其主要优点是物理概念清楚。 n)函数（或序列）

4. LTI系统的数学模型（输入输出方程）

一个n阶LTI连续系统，若其激励为f(t)，响应为y(t)，则描述该系统输入输出关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程，它可以写为：

?ayii?0n(i)(t)??bjf(j)(t)j?0m（6-6）

式中，ai(i?0,1,?,n)和bj(j?0,1,?,m)都是常数，且an?1。

一个N阶LTI离散系统，若其激励为f(n)，响应为y(n)，则描述该系统输入输出关系的数学模型是N阶线性常系数差分方程，它可以表示为：

?ai?0NN?iy(n?i)??bM?jf(n?j)j?0M（6-7）

式中，ai(i?0,1,?,N)和bj(j?0,1,?,M)都是常数，且aN?1。 5. 系统的框图表示

表6-1中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励f(?)与响应y(?)之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。

表6-1 常用的系统基本运算单元

名称 框图符号 输入输出关系 f1(?)加法器 ??a?y(?) y(?)?f1(?)?f2(?) f2(?)f(?)数乘器 y(?)y(?)?af(?) f(?)ay(?) f1(?)乘法器 f2(?)延时器 ?T?Dy(?) y(?)?f1(?)?f2(?) f(t)f(t)y(t) y(t)?f(t?T) 积分器 y(t)y(t)??f(?)d? ??t移位器 f(n)y(n) y(n)?f(n?1) 系统的数学模型（即输入输出方程）直接反映系统响应与激励之间的关系，便于数学分析与计算；系统框图除此之外，还以图形方式直观地表现各单元在系统中的地位与作用。两者可

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以相互转换，可以从系统方程画出系统框图，也可以由系统框图写出系统方程。 6. LTI系统时域分析法主要包含两个方面

LTI连续系统分析与离散系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。 （1）时域经典法：直接求解描述系统的微分（或差分）方程，算出齐次解和特解，从而得到系统的完全响应。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用，当学习了变换域分析方法后，很多复杂的计算问题便能迎刃而解。

（2）卷积法：利用卷积积分（或卷积和）运算求系统的零状态响应（至于零输入响应可以利用求齐次解的方法得到）。卷积法在连续系统分析中占有比较重要的地位。

需要指出：对于LTI离散系统，由于差分方程具有递推关系，利用迭代法可求其数值解。迭代法简单易懂，便于编程实现，但只能得到数值解，不能得到闭式解。 7. LTI系统全响应的分解

（1）自由响应与强迫响应（从微分方程经典解求解规律考虑）

根据时域经典法，微分（或差分）方程的全解由齐次解和特解组成。从系统分析的角度来说，齐次解yh(?)的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励f(?)的函数形式无关，可称为自由响应或固有响应，表示系统特性的特征方程的根称为系统的固有频率或自由频率，它们决定了系统自由响应的全部形式；而特解yp(?)的形式是由激励信号f(?)决定的，故称为是强迫响应。

从而，系统的全响应可分解为自由响应和强迫响应两种分量，即：

y(?) = yh(?) + yp(?)

（6-8）

（2）瞬态响应与稳态响应（从t或n???的状态考虑）

对于一个稳定的系统，自由响应必定随着时间的增长而逐渐趋于零。强迫响应则根据激励函数的性质可能随时间的增长趋于零，也可能趋于稳定，或者两者皆有。系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应；随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。

可见，系统的全响应可以又分解成瞬态响应和稳态响应两种分量。 （3）零输入响应与零状态响应（从区分起始储能与激励作用的角度考虑）

系统在任意时刻的响应y(?)可以用初始状态{x(0)}和区间[0,t]或[0,n]上的激励{f(?)}完全地确定。初始状态代表系统的起始储能情况，可以看作是系统的另一种激励（有的书上称之为“内部激励”），这样系统的完全响应y(?)将取决于两种不同的激励，即输入信号{f(?)}和初始状态{x(0)}。即：

y(?)?T[{f(?)},{x(0)}] （6-9）

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零输入响应——输入信号为零、仅由初始状态引起的响应，即：

yx(?)?T[{0},{x(0)}]

（6-10）

零状态响应——初始状态为零、仅由输入信号引起的响应，即：

yf(?)?T[{f(?)},{0}]

（6-11）

从而，系统的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应两种分量，即：

y(?)?yx(?)?yf(?)

（6-12）

例如，对于一个n阶LTI系统，若其特征根?i(i?1,2,?,n)均为单根，则全响应可写为： y(t)? 式中

?Ceii?1n?it?yp(t)??Cxiei?1n?it??Cfie?it?yp(t) （6-13）

i?1n自由响应强迫响应零输入响应零状态响应?Ceii?1n?it＝?Cxie＋?Cfie?it （6-14）

?iti?1i?1nn且系统响应分量中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应，随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。

根据响应各分量的定义，可以得到一些重要的结论： 1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。

2）自由响应和零输入响应的系数不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依赖于初始状态和激励信号。

3）自由响应由两部分构成，其中一部分由初始状态决定，另一部分由激励信号决定，两者都与系统自身参数有关。确切地说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。

4）若系统初始状态为零（无初始储能），那么零输入响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。

5）对LTI连续系统，零输入响应由t?0?时刻到t?0?时刻不跳变（因为此时微分方程右边为0，不含?(t)或其各阶导数项）。若全响应由t?0?时刻到t?0?时刻发生跳变，只可能出现在零状态响应分量中。

6）一般来说，对于稳定系统，当激励信号为等幅（或指数增长）情况下，瞬态响应等于自由响应，而稳态响应等于强迫响应。

7）当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性（包括齐次性和可加性），即零输入线性，这可表示为：

T[{0},?x1(0)??x2(0)]??T[{0},x1(0)]??T[{0},x2(0)] （6-15）

而当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各外加激励信号呈线性，即零状态线性，这可表示为：

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T[?f1(?)??f2(?),{0}]??T[f1(?),{0}]??T[f2(?),{0}] （6-16）

（注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。） 8. LTI系统时域分析中根据初始状态（0?状态）求初始条件（0?状态）

“初始条件”（或0?状态）：在t?0?时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即y其中i?0,1,?,n?1。y(i)(i)(0?)，

(0?)包含输入信号（激励）的作用，不便描述系统的历史信息。

(i)“初始状态”（或0?状态）：在t?0?时刻，系统响应及其各阶导数的值，即y(0?)。

y(i)(0?)可以反映系统的历史情况，而与激励无关（因为此时激励尚未接入），它们为求得t?0的响应y(t)提供了以往历史的全部信息。

通常，实际工程上，对于具体的系统，初始状态常常容易得到。这样，为求解描述LTI系统的微分方程，就需要从已知的初始状态y(i)(0?)设法求得初始条件y(i)(0?)。

需要指出的是，当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0?状态到0?状态有没有跳变取决于微分方程右边激励项是否包含冲激信号?(t)或其各阶导数。如果方程右边不包含

?(t)或其各阶导数，说明相应的0?状态到0?状态没有发生跳变，即y(i)(t)在t?0处连续，

所以y(i)(0?)=y(i)(0?)。否则，如果方程右边包含?(t)或其各阶导数，说明相应的0?状态

到0?状态发生了跳变，即y(0?)?y(0?)或y'(0?)?y'(0?)等等。

为确定初始条件y(i)(0?)（i?0,1,?,n?1）的值，在时域分析中有两种方法:

1）利用物理概念对电路模型进行分析判断。

2）奇异函数匹配法（也称为奇异函数平衡法）。其基本原理是根据微分方程左右两端的?(t)及其各阶导数应该平衡相等。

前者适用于给定具体电路图的情形，后者虽然比较抽象,但却是普遍适用的一般方法。不过，在学习了拉普拉斯变换后，还会有更加简便的方法。

另外，可补充说明的是，对于LTI离散系统，可认为y(?1)，y(?2)?，y(?N)是激励作用之前在因果系统中存储的数据，与激励信号无关，这组条件与微分方程的初始状态（0?状态）相对应；由这组数据与激励信号约束共同求得的y(0)，y(1)，?，y(N-1)则

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