湖南省岳阳市第一中学培优班届高考物理第一轮复习补充资料第2单

第二单元 相互作用 §6 相互作用专题2——自招

一．知识点 1．重心

2．摩擦角、自锁区 3．力矩

4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡） 5．虚功原理 二．典例解析 1．重心 【例1】（2009?同济）如图（a）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a，小球质量为m、2m和3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，求整个体系的重心位置。

变式1：均匀圆板的半径为R，在板内挖去一个半径为r的小圆，两个圆心相距为a，求剩余部分的重心与原圆板圆心的距离 R r O a O1

变式2：求三角板与三角框的重心

匀质三角板的重心在哪？

匀质三角框的重心在哪？

1

2．摩擦力、摩擦角、自锁区

【例2】一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的滑动摩擦系数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度ω=40rad/s，若沿平行于柱轴方向施加力推着钢件做速度为v0=0.05m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑槽限制（图中未画出），

2

不发生横向运动．g取10m/s．

【例3】（2013年华约）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=

3 ≈0.58。试求该同学向上3拉动的重物质量M的最大值?

【变式】如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦不计，若想在A、B处用力去夹一个圆形物体C，则能否夹住与那些因素有关？这些因素应该满足什么条件？（不考虑圆柱形物体受到的重力）

2

3．力矩 【例4】（2009清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m，一端通过光滑铰链固定在地上，另一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为??30?，现使方形木块很缓慢地向正左方运动，则细棒在竖直面内转动的过程中，受到木块的作用力：

A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【变式1】（复旦）一根轻杆下端与一个半径为R，重力为G的光滑球相连，杆上段可绕轴O自由转动，杆长L，杆与球始终在同一直线上，O点还挂有一根系有重物的细绳，如图所示，重物的重力为G′，则平衡后杆与竖直方向的夹角α

【变式2】（2008?西安交大）重为80kg的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg，顶角为30°。已知AC和CE都为5m长且用铰链在C点处相连。BD为一段轻绳，两端固定在梯子高度

2

一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律（g取10m/s）。

4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡） 略

3

5．虚功原理

【例5】一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.

【变式1】如图所示，一个半径为R的

1光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑匀质软绳，一4端固定于球面顶点A，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ．求软绳A端所受的水平拉力及软绳所受球面的支持力．

【变式2】如图所示，将质量为M的匀质链条套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，设圆锥底面水平，链条静止时也处于水平，求链条中的张力的大小。

4

典例解析答案

例1【答案】xc?2.2a

【解析1】以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式：xc?解得：xc?m1x1?m2x2?m3x3?m1?m2?m3???mixi， ?mma?2m?2a?3m?3a?4m?2a?2.2a，即重心在距棒的左端2.2a处。

m?2m?3m?4m【解析2】由力矩平衡求解，设重心在距棒的左端xc处，如图（b）所示。在重心处加一竖起向上的力F使棒平衡，由?F?0,得F?mg?2mg?3mg?4mg?10mg。 取左侧为转动轴，物体平衡，由?M?0，

Fxc?mga?2mg?2a?3mg?3a?4mg?2a，解得：xc?2.2a。

变式1【答案】

变式2【答案】匀质三角板的重心在中线的交点上； 匀质三角框的重心在三边中点构成的新三角形的角平分线的交点上（内心）

例2【答案】2N（关键是相对运动的方向）

例3【答案】Mmax?2m?70.7kg（利用摩擦角求F的极小值对应的方向，进而得M的范围）

变式：??tan?2 （或??sin? ）（列临界方程或不等式，或利用摩擦角）

1?cos?

例4【答案】C（列力矩平衡方程）

【解析】方形木块很缓慢地向正左方运动的过程中，细棒处于转动平衡。设木块高为a，细棒长为L，重为G，则有：G?

LaGLsin2?cos??N?，解得：N? 2sin?4aG'R变式1【答案】??arcsin（力矩平衡） '(G?G)(L?R)变式2【答案】T=（125+160x）tan15(N)（x为人离A点的距离，力矩平衡）

【解析】设梯、人的质量分别为M、m，人离A点的距离为x，A、E两点的支持力为N1、N2，则N1＋N2=

0

（M＋m）g

整个梯子处于转动平衡，以A为转动轴有：mgxcos750?Mg?ACcos750?N2?2ACcos750

5

AC处于转动平衡，以C为转动轴有：

mg(5?x)sin150?0.5Mg?11ACsin150?T?ACcos150?N1?ACsin150 220

解得：T=（125+160x）tan15(N)

2

例5【解析】因为向心力F=mrω，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值，如图3—6所示。在圆环上取一小段△L，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为?m???M，受圆环对它的张力为T，则同上例分析可得 2???????2Tsin??mr?2因为△θ很小，所以sin?，即

222????2?T2T??Mr?2 解得最大角速度 ?? 22?Mr

变式1【答案】N??gR1??24；T??gR。（本题可用微元法，也可用虚功原理——更简捷）

【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为?θ）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有

T上i??Gcos?i?T下i，即T上i?T下i??gR?cos?i，其中R?cos?i??hi，即该弧段在竖直方向上

的投影，将上式累加后易得最上端A处所受的拉力T??gR（最下端处所受的拉力为0）

另由N?T?G，得：N??gR1?222?24．

（2）设想在A处将软绳缓慢拉过x(x?0)，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有A端拉力T和软绳重力做功．同时软绳重力势能的变化情况等同于软绳最下端一段x段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当成不变，故Tx??mgR，其中?m?x?得：T??gR．

变式2【答案】

Mg?cot（本题可用微元法或虚功原理） 2?2 6

AC处于转动平衡，以C为转动轴有：

mg(5?x)sin150?0.5Mg?11ACsin150?T?ACcos150?N1?ACsin150 220

解得：T=（125+160x）tan15(N)

2

例5【解析】因为向心力F=mrω，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值，如图3—6所示。在圆环上取一小段△L，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为?m???M，受圆环对它的张力为T，则同上例分析可得 2???????2Tsin??mr?2因为△θ很小，所以sin?，即

222????2?T2T??Mr?2 解得最大角速度 ?? 22?Mr

变式1【答案】N??gR1??24；T??gR。（本题可用微元法，也可用虚功原理——更简捷）

【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为?θ）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有

T上i??Gcos?i?T下i，即T上i?T下i??gR?cos?i，其中R?cos?i??hi，即该弧段在竖直方向上

的投影，将上式累加后易得最上端A处所受的拉力T??gR（最下端处所受的拉力为0）

另由N?T?G，得：N??gR1?222?24．

（2）设想在A处将软绳缓慢拉过x(x?0)，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有A端拉力T和软绳重力做功．同时软绳重力势能的变化情况等同于软绳最下端一段x段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当成不变，故Tx??mgR，其中?m?x?得：T??gR．

变式2【答案】

Mg?cot（本题可用微元法或虚功原理） 2?2 6

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