七数培优竞赛讲座第18讲 - - 乘法公式 - 图文

第十八讲 乘法公式

乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：

1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式；

3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；

例题

【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)

(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题)

思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．

注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．

从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．

乘法公式常用的变形有：

(a?b)2?(a2?b2)(a2?b2)?(a?b)2 (1)a?b?(a?b)?2ab，ab?． ?22222 (2)(a?b)?(a?b)?2a?2b； (3) (a?b)?(a?b)?4ab；

222222(a?b)2?(a?b)22222 （4）ab?，a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)

4【例2】 若x是不为0的有理数，已知M?(x?2x?1)(x?2x?1)，

22N?(x2?x?1)(x2?x?1)，则M与N的大小是（ ）

A．M>N B． M

思路点拨 运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小． 【例3】 计算：

(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)

(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．(江苏省赛试题)

思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征．

【例4】 (1)已知x、y满足x2十y2十 (“希望杯”邀请赛试题)

5xy＝2x十y，求代数式的值． 4x?y(2)整数x，y满足不等式x2?y2?1?2x?2y，求x+y的值．

(第14届“希望杯”邀请赛试题)

(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是

a?b(a>0，b>o)，丙2商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)

思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小．

注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等． 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)a2?2ab?b2?(a?b)2?0；

揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2)a?b?2ab

应用于代数式的最值问题．

代数等式的证明有以下两种基本方法：

(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．

【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足a?b?c，又a为质数． 证明：(1)b与c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数．

思路点拨 从a?b?c的变形入手；a?c?b，运用质数、奇偶数性质证明．

学力训练

1．观察下列各式：

(x一1)(x+1)＝x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1；

(x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1． 根据前面的规律可得

(x一1)(x n+x n-1+?+x+1)= ． (武汉市中考题)

22222222222

2．已知a?b?4a?2b?5?0，则

22a?b= ． a?b (杭州市中考题) 3．计算：

(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；

(2)19492一19502+19512一19522+?+19972一19982+19992 = ；

219991998 (3) ． 2219991997?19991999?24．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 ． (大原市中考题)

1a4?a2?15．已知a??5，则= ． 2aa (菏泽市中考题)

6．已知a?b?3,b?c??5，则代数式ac?bc?a?ab的值为( )． A．一15 B．一2 C．一6 D．6

(扬州市中考题)

21111)(1?)?(1?)(1?)等于( )． 223219992200021999200119992001A． B． C． D．

20002000400040007．乘积(1? (重庆市竞赛题)

8．若x?y?2,x?y?4，则x222002?y2002的值是( )．

A．4 B．20022 C． 22002 D．42002

29．若x?13x?1?0，则x?41的个位数字是( )． x4 A．1 B．3 C． 5 D．7

10．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．

A．a?b?(a?b)(a?b) B．(a?b)?a?2ab?b C．(a?b)?a?2ab?b D．(a?2b)(a?b)?a?ab?2b

(陕西省中考题)

11．(1)设x+2z＝3z，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由．

(2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x—1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1)． (上海市中考题)

12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．

2222222222

13．观察：1?2?3?4?1?5 2?3?4?5?1?11 3?4?5?6?1?19

??

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)． (黄冈市竞赛题)

14．你能很快算出19952吗?

为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n＝3??这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论． (1)通过计算，探索规律．

152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；

352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；??752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．

(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ． (3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)

15．已知x2?y2?z2?2x?4y?6z?14?0，则x?y?z= ．

(天津市选拔赛试题)

16．(1)若x+y＝10，x3+y3=100，则x2+y2＝ ． (2)若a-b=3，则a3-b3-9ab＝ ．

17．1，2，3，??，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ． (全国初中数学联赛试题)

18．已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=( )． A．4 B．0 C．2 D． 一2 19．方程x2-y2=1991，共有( )组整数解． A．6 B．7 C．8 D．9

20．已知a、b满足等式x?a?b?20,y?4(2b?a)，则x、y的大小关系是( )． A．x≤y B．x≥y C．xy (大原市竞赛题)

21．已知a=1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2一ab—bc-ac的值为( )．

A．0 B．1 C．2 D．3 (全国初中数学竞赛题)

22．设a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值． (西安市竞赛题)

23．已知a满足等式a2-a-1=0，求代数式a?7a的值．

8?422222

(河北省竞赛题)

24．若x?y?a?b，且x2?y2?a2?b2，求证：x1997?y1997?a1997?b1997． (北京市竞赛题)

25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；??；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数．

求证：x1?x2???x10?y1?y2???y10．

26．（1）请观察：25?52,1225?352,112225?3352,1122225?33352?

写出表示一般规律的等式，并加以证明．

(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．

任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．

瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即 (a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2．这就是著名的欧拉恒等式．

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