凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

福建广播电视大学学报

0 2 2 0年第

1

期

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用柯忠杰(福建广播电视大学计算机系,、

福建福州

5 3 0 00 ) 3.

:摘要利用凸函数定义证明凸函数连续性有界性存在左右导数等性质及其在证明不等式中的应用: n关键词凸函数;有界函数;连续函数;左右导数; Je s不等式 n e:::中图分类号 0 1 7 4 1 3文献标识码 A文章编号 10 0 8一 7 3 4 6 (2 0 0 2 )0 1一 0 0 4 1一0 2,.

凸函数的一般定义如下设 f x是定义在区间 I二 ( ) x x〔 b]上的实值函数如果 f (入+ (l久)y )蕊冠( )+ (1 x a x入)f(y ) ye 0任给[ b〕入e ( l )则称 f ( )为定义在 a上[ b〕的凸函数:

a

,

,

一

:证明因为

v=

竺J)+

、

十

汉二述 zZ一 X

,

因此

,

,

,

,

,

,

,

。

f(y )蕊

f犷召(乙

x

工二匹

一盖

f(z

)‘: (f(x

在凸函数的定义中我们没有假定 f )的连续性 ( a a下面我们将证明在区间【 b〕的凸函数必定在 ( b上 ),

x

.

由此可得‘ y )一‘‘)、 ( (x ( f y)一‘ )、 (

,

,

,

内连续且其左右导数都存在此外凸函数的一个初:等性质是它必是有界的即有 a题 1设 f (x在区间 I二【 b〕的凸函数则上命 ) x f( )在 I上有界: x a上显证明由定义 f )在「 b〕然有上界 ( a下面证明《x在「 b」有下界如果不然则存在 )上,

、

,

,

。

,

,

狱[[ ()狱‘x (

)

一

)〕)〕

4 ( ) 5 ( )

f

z

一

。

,

。

,

,

,

{

、f.

}〔(,

a

,

b)

,

x二使得 hm r( )。,

一,

0 a

,

由w:、

e e

i r s

tra s s

定理。

,

{

x

。

x}有收敛子列不失一般性可设{}本身是一收敛

序列设设o x,

n xo

~

x。

,

因为,

x。

笋

a

D与x=

异b

总有一式成立(1一

可

x。

并

a

取

0 y任( a,

,

0 X )并记n

0 y 0 y

0沁xx。,

+

与) a

,

n由于 x

~,

因此对充分大的

则显然有凡~与(

再由 f(为 )

=

时

二x

有 ),

<

设a

0 y

=

礼

x

。

+

a (l一凡 )

6由(4 ) ( ) ( )不难得出(l ) (2 ) (3 )由命题 2我们可证明如下 x a (上定理 1设 f )是区间 I二[ b〕的凸函数则 a (i f x在( b内左右导数存在 )( ) ) x x x a (五)f( )的右导数 r ( )与左导数 f ( )是 ( b )上的单调增加函数: a。::一 i 0证明 ( )设劫任 ( b ) V< h< h< b x根据 2中式 (有 ) 2命题、、

狱5

X、[ f y )一 f ( )〕 (

狱、

z ([‘ )一‘ y )] (、

6 ( )

。

,

,

,

,

,

.

+

_

,

。

,

,

,

( f一

x’

。一

+

‘

U

h )一步 hZ,‘

一

f(x一、’

n一

U

)’

f(二+- h‘) -一 f(二 )二<三二 2乙‘二卫 l二二二二卫二窄 h,.

(7 )

f (污

。

+

(1+x

一

凡) )一a凡 )f ( )

。0 O,

,

u,

蕊

x凡 f(

。

)

(ln

l刀L些

(o fx,

+

) hi fx,

一

(0 fx )曰o x,

‘、

:‘二

、

、

大 n已

汀U上卜妇 J左洛目目国文刊戈

*二.

。

注意到凡~而> 0及 f ( )~而对充分大的,

一

得 f (y。)蕊

一

O a

,

n

f( y。 )>礼 f(x

应当有 a )+ (l一礼)f( )n,

此外当 f ( x+ h) 0

x

<

()上故得矛盾这矛盾说明 f x在【 b〕有界二 a )上命题 2设 f(x是区间 I【 b〕的凸函数设 y< z蕊b则二工鱼卫吐 ) _些泣丝丝a,

。

)因此工兰上h二兰卫有下界 )h h2 (五一业a

,

,

蕊

,

b砚h一.、百 1产了,、、内 2少,了 j.、了 、、 1

f( x 0、

—a

<

<

一

h

( f

0 x

)

—一

)

f( x o

时再用命题 x . )一f ) (,

2O

中式( )有 3,

0 x

一 Xl

V

<

h

<

b

一

和

、 .一尹矛讨、、 X 、.,口护矛‘

户

这样,

+

f(和

)

一一——Z一

y

)

,‘

‘

y

一

x

即 f )在 (/,

田

h、。

存在有限。

处右导数存在。,,

类似地可证明一

,

五奋

f( z

)

一

f( xx

)

乙

一

分〕

f(,

x )一 f( )

o在 x处左导数存在八

y一

x

工 (宜

二兰理y

〔2

业脸皿且

(动由( 8 )可知

二

, _

、

一

、。

,

、

r

‘

(勒))

( f鞠)0 x

( f

x l

)

z一

再利用命题 2中式( 2 )

收稿日期

:

2 00 2

一0一 2 2 5,,

一一 Xl

:作者简介柯忠杰 ( 1 9料一 )男福建广播电视大学计算机系讲师

。

4l

福建广播电视大学学报

200 2

年第

l

期

f (鞠 )一 f (x

l

)多 )

f(y )一 f(xy一 x 1氏( )二十

一

)

,

’因此 f (甸 )〕 r ( l ) x x即 r ( )是单调递增函数类似地可证 f ( )是单调递增函数: a推论设 f(x是开区间 I二 ( b上的凸击数则 ) ) x a i ( )f )在 ( b )上连续 ( x a x a l (i )又若 f )在 ( b )上可微则厂 ( )是 ( b )上单 (调上升函数 x a (i )又若 f ( )在 ( b )上可微则 f (x )〕 f(劫 )+ r (x ) (x一 x ) 0 0 o x任 (a b ) V x iv )又若 f、 )在(a b )上二次可微则 ( (,

——,

0 x

一 x l

V

x一<

y< x 0

x

,

,

一

。

,

,

,

,

,

,

。

x l x一 x (0 f x )一 f )=厂(e ) (。 ( )所以汀 (x )+ (l一入 f (y)一 f向 )= (l一入 r (毛)(y一劫 ) ) ( )一 x二一 l一 0 )甘 (〔 )(甸 ) (l一入 (r (气) r (任) )(y一 x ) ) o: x一二 x一 (即得 f入+ (l入砂 f x )簇汀 ( )+ (1入)f y ) ) (0 ( x a (所以 f )是 (旧上的凸函数 a x 1 ( 1)设<< y< b则 f(y )〕 f(x )+ f (x ) (y一 x )’ x〕 f y)+尸(y )(

x一 y ) ( f ) (由上述两式得,

。

,

,

,

, r (y ) ) f (x

),,

,

,

a’ )故 f (x是 ( b上单调上升击数由 (知 f (x是凸 ) ) i )

,

,

函数

’ f (x

)妻 0

,

V

x

任 (a b ),、、

推论中的 (11) (i五) (i )的逆命题也是成立的即,

v

有

:

(说 )设 f ( )> o V任 ( b )则 f ( )是( b )上单调 a上升函数由(i知 f x是 ( b上的凸函数 () ) ): a x 2 3往当 f x是( b上的凸函数时那么对; x x () )‘

x

,

x

a

,

x

a

,

,

,

,

,

,

,

’ ) ()定理 2 (i设 f x在 ( b上可导且 f (x单调上升 ) ) a )则 f(x是( b上的凸函数 ) x a (五)设 f( )在 ( b )上可导且 x, x l一’ 0 0 x ) ( f ) ) f鞠 )+ f (x ) ( ( x a则 f ( )是 ( b )上的凸函数 x a x (1 1)若 f( )在 ( b )上二次可导且 f ( ) ) 0 x a x a V任 ( b )则 f( )是 ( b )上的凸函数 a x证明(i)设<< y< b 0<入< l记 x=入十一入 y和 (1 )利用微分中值定理a,,,,

,

: n…x任‘入

,

标一、钊“戈x Z

,

‘)n

,

入系I

=x,

‘

,

可由归纳法证得x Z

,

( f入礼f( )x。

x一,

+

+

…

+

凡

x

)簇

入 f(

)+礼 f(

)+一+ (9 )+

,

。

特别地有,

,

,

‘

,

。x。

,

,

,

青.

(

,

+

、

+

+

n

),n

、

,

,

,

存在之 e (勒 )乞〔 (甸 y )使得 f (y)一 f(勒 )二 f ( )(y一劫 )乞,x,,,

( ))不等式 (1 )称为 Je s 0 n e文献:参考..

告

(“一,

+

‘、, (

…

十

f

(10 )

不等式.

T微 fl」 M菲赫金哥尔茨著叶彦谦等译《积民教育出版社 1 5年 8月第二版 9 9分学教程》人,.

(上接第 3页 ) 1

要使受训者成为创造性人才的培养者教师队伍的

,

化为智力因素才能保证教学水平的高质量,,

,

。

因而要求、

建设至关重要目前要改变教师队伍中普遍存在的创造性思维缺乏知识面相对狭窄现象要提高教师队伍的素质提高其职业的不可替代性在教师的聘用和选择上要聘用具有较高水平和业务素质同时具有丰富实践经验的教师保证培训内容和过程能使受训者有较大收,,,

。

、

。

教师善于用独创性的思维方式在问题的设置解题等诸方面有所创新在内容的讲解上注重教育观念更新与

,

教育研究能力的培养体现学科教育等教育要素的整合研究以及现代教育技术的教学运用的训练;在教学方法上以课堂教育理论教育为主向以课堂教学理论教育,、、

获从而达到培训的目的建立高素质教师队伍首先必须具有高尚的师德修和强烈的事业心有创新的教

育观念及思维方式这养,

。

,

结合课题研究实践研究转变在教学手段上由传统单一向以现代教育技术为中心的网络化培训转变力求向。

、

;

,

,

高素质教师标准靠近以适应培养创新人才的需要,

。

是作为培训继续教育的教师必须具备的首要条件其次是具有多元化的知识结构这是作为教师非常重要的素质条件作为培养人才的教师若知识序列结构仍是一些继承性知识线形而单一是不能适应未来教育要求,

。

。

,

,

,

的

。

继续教育的教师一般都具有高学历和高职称但并,,,

参考文献 l (〔〕中小学教师继续教育工程方案》 19 9一2 0 0 )《 2 2〔〕魏志耕等论中学教师继续教育中的创造教育《国成人教育》 0 1中 0 2 1. .

:

,

.

.

不意味着知识层次达到了最高境界知识的陈旧老化会影响教学质量只有通过不断的学习提高并使知识转,

3赵〔〕嘉平中学教师继续教育的教学模式《小中学教师培训》 0 7 0 2 1 ..

,

.

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