马鞍山数学 二次函数单元测试题(Word版 含解析)

马鞍山数学二次函数单元测试题（Word版含解析）

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a>0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线L的对称轴．

（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2

x=；（2）2

1

2

2

y x x

=-+；（3）存在，P点的坐标为(33,3或

(33,3-或(13,3或(13,3

+-或

3

1,

2

??

-

?

??

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．

（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax(a＞0)，

∴抛物线的对称轴x＝﹣

4

2

a

a

-

＝2．

（2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，

解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

2

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2

(x﹣2)2+2＝﹣

1

2

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，

1

2

m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣

1

2

(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣

1

2

(m+2)2+2(m+2)]，

∵PQ∥OD，

∴1

2

m2﹣2m＝﹣

1

2

(m﹣2)2+2(m﹣2)或

1

2

m2﹣2m＝﹣

1

2

(m+2)2+2(m+2)，

解得m ＝

，

∴P

或(3

或(1

和

，

当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32

)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为

或(3

或(1

)和

)或(1，﹣

32

)． 【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

2．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2

＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．

（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b

的取值范围是﹣4

≤b ＜0． 【解析】

【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围．

【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，

函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，

令x ＝2x 2﹣x ﹣4，

化简，得x 2﹣x ﹣2＝0

解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；

（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，

整理，得

ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，

故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，

解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2；

（3）由题意可得，

点A 和点B 在直线y ＝x 上，

设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根，

∴x 1+x 2＝﹣b a

， ∵线段AB 中点坐标为（

122x x +，122x x +）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a -）， ∵直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂直平分线， ∴点（2b a -，2b a -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2b a -＝21221

b a a ++ ∴﹣b

＝221a

a ≤+

4，（当a

＝2

时取等号） ∴0＜﹣b

≤4

，

≤b ＜0，

即b

的取值范围是﹣

24

≤b ＜0． 【点睛】 本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

3．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：

（1）填空：1a = ，1b = ；

（2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =

-，23126y x x =-；（3）①()2212123

n n y x x n -=-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】

【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；

（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．

【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0，

x 1=0，x 2=b 1，

∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1，

∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12

b -）， ∵B 1在抛物线

c 上，则

12b =(12b )2， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2，

∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1，

故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=，

解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴.

由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

222,22b b B ??∴ ???，22

2,22b b D ??- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-. 解得212

a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，

解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

2b b D ??- ???. 3B 在抛物线2C 上，

2

333122222

b b b ??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去）， ()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得316a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=

-≥?. ②由①可得2201820161223y x x =-?，2201920171223

y x x =-?. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞??-=

- ???， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

4．已知函数222222(0)114(0)2

2x ax a x y x ax a x ?-+-

（2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2

）①1x =--

1x =+；②72

4m ≤<或21m -<<-；（3

）3a <--

或1a ≤<-

或a >【解析】

【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值．

（2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422

y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422

y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =-

--+与y 轴交点与0比大小．

【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422

a a =---+，解得1a =或3a =-．

（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ?+-

①令2210x x +-=

，解得1x =--

1x =- 令217022

x x -++=

，解得1x =+

或1x =-

综上，1x =--

1x =+． ②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217(0)22

y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2?? ???

．

综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =-

--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2

x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a

，在此基础上若使2211422

y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，222111149342222

0y x ax a a a =---+=?--+<-， 解得223a >-或322a <--，

综上可得：322a <--．

②当20a -≤<时，若使得22

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，

22222=20y x ax a a =-+--≤；得222a -≤<-，

在此基础上若使2211422

y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=4222

2y x ax a a ---+->=；3x =时，222111149342222

2y x ax a a a =---+=?--+>-； 求得21a -<<-；

综上：21a -≤<-．

③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，

22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222

y x ax a a =---+=-<； 求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．

综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >．

【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

5．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E 时线段BC上的一个动点，过点E作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF 可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n 经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD 中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P 1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x 2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b ，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣

a+2），F （a ，﹣a 2+a+2）， ∴EF=﹣a 2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣

a 2+2a （0≤x≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD?OC+EF?CM+EF?BN ， =+a （﹣a 2+2a ）+（4﹣a ）（﹣a 2+2a ）， =﹣a 2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a ﹣2）2+

∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=

， ∴E （2，

1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

6．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．

（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．

（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．

（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78

个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．

【答案】（1）21y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-或12

m =- 【解析】

【分析】

（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,q

n <-得21n q -<，则当()

2max B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''

；

（3）依题意将抛物线1C 向下平移78

个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到222218OM m m ??=++ ??

?，由圆的特性易求得，⊙K 的

最高点点Q 坐标为：2111,22

28m OM m ????++ ? ?????，设Q y k =，则2111228k OM m ??=++ ???，化简得到22211084k m k m ??++-= ??

?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12

m =-． 【详解】

解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，

则21:1C y x =+，

（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，

∴()22222(2)(2)B C q q q q ''??=--+--?? 2204020q q =-+

()2

201q =-，

∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，

∴()2max B C ''??????

时，min 2q q n ==-， 即()

22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，

∴(

)max 1|B C n ''=-，

（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移

78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+

， ∴21,8M m m ?

?+ ???

， ∴222218OM m m ??=++ ??

?， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为： 2111,22

28m OM m ????++ ? ?????， 设Q y k =，则2111228k OM m ??=++ ???

，

∴

2 22

111 428 OM k m

?

?

??

=-+

?

??

??

??

，

化简上式得：222

11

84

k m k m

??

++-=

?

??

，

∵Q点在2

y x

=-上，则2

Q

k x m

=-=-，

∴k m

=-为上述方程的一个解，

∴分析可知

1

()0

4

k m k m

??

+-=

?

??

，

2

11

48

m m m

-=+

∴，

∴2

31

48

m m

-+=，

解得：

1

1

4

m=-，

2

1

2

m=-（经检验

1

1

4

m=-，

2

1

2

m=-是方程2

31

48

m m

-+=的解），

故

1

4

m=-或

1

2

m=-．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．

7．如图，抛物线2

y x bx c

=-++的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为3,0，点C的坐标为()

0,3．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作//

PQ AB交抛物线于点Q，过点Q作

QN x

⊥轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM

△的面积；

（Ⅲ

）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．

【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）

12

；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】

【分析】

（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；

（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；

（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．

【详解】 解:（Ⅰ）依题意()()2

330{3

b c c --+?-+== 解得2{3

b c =-= 所以223y x x =--+

（Ⅱ）2223(1)4y x x x

抛物线的对称轴是直线1x =-

(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-

∵P 、Q 关于直线1x =-对称

设Q 的横坐标为a

则()11a x --=--

∴2a x =--

∴()

22,23Q x x x ----+

∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--

∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++

当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -

∴2(3)1AM =---=

设直线AC 的解析式为y kx b =+

则303k b b -+=??=?，解得13k b =??=?

∴设直线AC 的解析式为3y x

将2x =-代入3y x ，得1y = ∴(2,1)E -，

∴1EM = ∴11111222

AEM S AM ME ?=?=??= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，

∴3OQ =

∵2223(1)4y x x x

∴()1,4D -

过D 作DK y ⊥轴于K ，

则1DK =，4OK =

∴431OK OK OQ =-=-=

∴DKQ

是等腰直角三角形，DQ =

∴4FG ==

设()

2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+

∴234m m +=，解得14m =-，21m =

当4m =-时，2235m m --+=-

当1m =时，2230m m --+=．

∴()4,5F --或()1,0

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．

8．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．

例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-

<．

（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______； （2）函数l 的解析式为1212

y x x =

--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；

（3）函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个公共点，求t 的取值范围．

【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+

；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32

y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，

312t <≤

，352

t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点． 【解析】

【分析】

（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；

（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；

（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在

223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后

根据图像即可解答．

【详解】

解：（1）()212y x x =+<-

（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+

当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =

， 当1x =时，32

y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =

，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ?=--≥?=--+

∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；

a ：当14t -=-时，3t =-，

∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；

b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，

2123t t t -=--

，解得132

t -=

，232t = c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，

2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =

14t -=，

∴55t =

∴当312t <≤

或352

t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点；

综上所述：当3

t=

-，317

1

2

t

-

<≤，

317

5

2

t

+

<<时，直线1

y t=-与图象F有两

个公共点.

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1

2

x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交

于点A，直线y＝﹣1

2

x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与

对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝1

2

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．

【答案】（1）y＝﹣1

2

x2+

3

2

x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：

（3，2）或（17

3

，﹣

50

9

）；（4）

2

535

,0

4

3593535

,(

2454

35935

(5)

1044

t t

S t

t

??

≤≤

?

???

??

=?-<≤

?

?

?+<≤

??

．

【解析】

【分析】

（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝3

2

，点N的横坐标为：

37

5

22

+=，即可求解；

（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；

（4）分0≤t≤

35

、当

35

＜t≤35、35＜t≤5三种情况，分别求解即可．【详解】

解：（1）直线y＝﹣

1

2

x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），

则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣

1

2

x2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b＝

3

2

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣

1

2

x2+

3

2

x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝

3

2

，

点N的横坐标为：

37

5

22

+=，

故点N的坐标为（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝

21

42

AO

CO

==＝tan∠FAC＝

1

2

，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝

3

2

，

即点R的坐标为：（

3

2

，0），

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