选修4-2 矩阵与变换

选修4－2 矩阵与变换

第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．

?x＋2yx＋3y??3

1. 已知A＝??，B＝?

?a ?x－yx＋y?

x＋2y＝3，

4?

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题．

b?

?，若A＝B，求ax＋by的值．

??x＋3y＝4，

解：∵ A＝B，∴ ?∴ x＝1，y＝1，a＝0，b＝2，则ax＋by＝0＋2＝2.

x－y＝a，??x＋y＝b，

2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵?值．

解：?

?－m＝－2，?m＝2，??m0??－1?＝?－2?，?

?? 解得 ?????

?01?? k??－4???k＝－4.k＝－4.??

?m0?之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的

?

?01?

3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作

?a＝1，?a0??x?＝?x?，解得??10?. ?用变换为(x，2x)，则有?∴ T＝???????

?b0??y??2x??20???b＝2，

?01?作用下变换所得的图形对应的曲线方程．

4. 求曲线y＝x在矩阵??

?10?

?01?的作用下点变换成(x′，y′)，

解：设点(x，y)是曲线y＝x上任意一点，在矩阵??

?10?

?01??x??x′??x′＝y，?则? ???＝??，所以?

?10??y??y′??y′＝x.?

因为点(x，y)在曲线y＝x上，所以x′＝y′，即x＝y.

1 2??1 0??1 0??5. (2014·无锡期末)求使等式??＝??M??成立的矩阵M. ?3 4??0 2??0 －1?

a b??1 0??a b??ab??解：设M＝??，????＝??， ?c d??0 2??c d??2c2d?

?ab??1 0?＝?a－b?. ∴ ???????2c2d??0 －1??2c－2d?

?a－b?

∴ ??＝??，∴ ?3 4??2c－2d??1 2??1－2?

?. ∴ M＝?3

???2－2?

?b＝－2，??2＝－b，??3＝2c，∴ ?c＝3，

2

??4＝－2d，??d＝－2.

1＝a，

a＝1，

1. 二阶矩阵与平面向量

(1) 矩阵的概念

1??2 3??1，3， 4??在数学中，把形如??，??，??这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，?3??1 5??2，0，－1?

其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．

(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法

b11??① [a11 a12]??＝[a11×b11＋a12×b21]； ?b21?

?a11 a12??x0?＝?a11×x0＋a12×y0?. ② ???????a21 a22??y0??a21×x0＋a22×y0?2. 几种常见的平面变换

?10?时，则对应的变换是恒等变换．

(1) 当M＝??

?01?

k0?10???(2) 由矩阵M＝??或M＝??(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换． ?01??0k?

(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．

?cosθ－sinθ?

(4) 当M＝??时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针

?sinθ cosθ?

旋转θ角度．

(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．

?1k?或?10?确定的变换称为切变变换．

(6) 由矩阵M＝????

?01??k1?

3. 线性变换的基本性质

?x??λx?(1) 设向量α＝??，则λα＝??. ?y??λy?

?x1＋x2??x1??x2?(2) 设向量α＝??，β＝??，则α＋β＝??.

?y1??y2??y1＋y2?

(3) A是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A(λα)＝λAα，A(α＋β)＝Aα＋Aβ.

(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 4. 二阶矩阵的乘法

a1 b1?a2 b2???(1) A＝??，B＝??， ?c1 d1??c2 d2??a1a2＋b1c2 a1b2＋b1d2?

则AB＝??

?c1a2＋d1c2 c1b2＋d1d2?

(2) 矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)． [备课札记]

题型1 二阶矩阵的运算

?－4 3??B＝??，求矩阵B. 2?? 4 －1?

b?a b?1 0??a??解：设B＝??，则??B＝??，

?c d??1 2??a＋2cb＋2d?

, 1) 已知?

?1

?1

0?

???b＝3，?b＝3，故?解得?a＋2c＝4，c＝4，??b＋2d＝－1，??d＝－2.

a＝－4，a＝－4，

?－4 3?

故B＝??.

? 4 －2?

备选变式（教师专享）

?1 0?，B＝?－4 3?且α＝?3?，试判断(AB)α与A(Bα)的关系．

已知矩阵A＝??????

?1 2??4?? 4 －2??－4 3?

解：AB＝??，

? 4 －1?

?－4 3??3??0?

∴ (AB)α＝????＝??，

? 4 －1??4??8?

?1 0??－4 3??3?＝?1 0??0?＝?0?.

A(Bα)＝????????????

?1 2?? 4 －2??4??1 2??4??8?

∴ (AB)α＝A(Bα)．

题型2 求变换前后的曲线方程

22 －22

, 2) (2014·南京、盐城期末)已知曲线C：xy＝1，若矩阵M＝

22 22

对应的变换将曲线C变为曲线C′，求曲线C′的方程．

解：设曲线C上一点(x′，y′)对应于曲线C′上一点(x，y)，

22 －22?x′??x?所以??＝??，

22?y′??y? 222222

所以x′－y′＝x，x′＋y′＝y.

2222

x＋yy－x

所以x′＝，y′＝，

22x＋yy－x

所以x′y′＝·＝1，

22

所以曲线C′的方程为y2－x2＝2. 备选变式（教师专享）

?1 0?1 0??，N＝?2?，矩阵MN对应的变换把曲线y＝1sin1x变为曲线C，

已知矩阵M＝??22???0 2?

?0 1?

求曲线C的方程．

1??10?1 0??0??＝?2?， 2解： MN＝???????0 2??

?01??02?

设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有

1x0＝2x，???10?x0??x＝x，x0??＝?2?，即?2??所以? ????1??y0??y??y＝y.0???02?2?y＝2y0，?111111

又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.

222222

所求曲线C的方程为y＝sinx.

??????

??????

题型3 根据变换前后的曲线方程

求矩阵

, 3) 二阶矩阵M对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，

6)．

(1) 求矩阵M；

(2) 若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．

ab?ab?? 1??5??ab??－2??－3???解：(1) 不妨设M＝? ?，则由题意得????＝??，????＝??，?cd??cd??－1??7??cd?? 1?? 6?

a＝－2，

??b＝－7，?－2所以?故M＝?

c＝－13，?－13??d＝－20，

－7?

?. －20?

(2) 取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则

?－2－7?

?－13－20??x??－2x－7y??x′????＝??＝??， ??y??－13x－20y??y′?

??x′＝－2x－7y，即?代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4?y′＝－13x－20y，?

＝0.

变式训练

?－1 (2014·苏州期末)已知a、b∈R，若M＝?

? b a?

?所对应的变换TM把直线2x－y＝3变3?

换成自身，试求实数a、b.

??x′＝－x＋ay，?－1 a??x??x′?

解：设? ???＝??，则?

? b 3??y??y′??y′＝bx＋3y.?

∵ 2x′－y′＝3，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3. 即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3.此直线即为2x－y＝3， ∴ －2－b＝2，2a－3＝－1，解得a＝1，b＝－4.

题型4 平面变换的综合应用

?10?11??，N＝??3??, 4) 已知M＝??1，向量α＝??. ?0??01??4??2?

(1) 验证：(MN)α＝M(Nα)；

(2) 验证这两个矩阵不满足MN＝NM.

1

101?211?????解：(1) 因为MN＝?， ??1＝

??01?01

?2?0

2

11

2?3??5?

所以(MN)α＝??＝??.

1?4??2?02

?10?33??????因为Nα＝?＝??， ?01???4??2??2?

11??3??5??所以M(Nα)＝????＝??，所以(MN)α＝M(Nα)． ?01??2??2?

11?11?2?(2) 因为MN＝，NM＝?1，

?0?1

?2?0

2

所以这两个矩阵不满足MN＝NM. 备选变式（教师专享）

在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3).求△ABC?0－1?在矩阵??作用下变换所得到的图形的面积．

?10?

?0－1??0??0??0－1??－1??－2??0－1??0??－3?

解：因为????＝??，????＝??，????＝??，

?1 0??0??0??1 0?? 2??－1??1 0??3?? 0?

?0 －1?

所以A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)在矩阵??作用下变换所得到的三个顶点坐标

?1 0?

分别为A′(0，0)，B′(－2，－1)，C′(－3，0).

??????

??????

??????

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