固体13年复习题1

3.说出简立方晶体、面心立方晶体和体心立方晶体的原胞和晶胞中所包含的原子数。

晶体结构 简立方 面心立方 体心立方 原胞中原子数 1 1 1 晶胞中原子数 1 4 2 4.说出氯化钠、氯化铯和金刚石结构晶体它们的原胞的晶格类型，每个原胞中包含的原子数。

晶体结构 氯化钠 氯化铯 金刚石 5.下面几种种典型的晶体由哪种布拉菲格子套构而成？

晶体结构 碳酸钙 氯化铯 氯化钠 布拉菲格子 简立方 简立方 面心立方 晶体结构 立方硫化锌 金刚石 六角密积的镁 布拉菲格子 面心立方 面心立方 六角格子 原胞晶体类型 面心立方 简立方 面心立方 原胞中原子数 2 2 2 6.下面几种典型的晶体结构的配位数（最近邻原子数）是多少？

晶体结构 面心立方 六角密积 体心立方 简立方 配位数 12 12 8 6 晶体结构 氯化钠型结构 氯化铯型结构 金刚石型结构 立方硫化锌结构 配位数 6 8 4 4 )面上原子排列． 7.画出体心立方结构的金属在(100)，(110)，(111体心立方

8画出的金属列．

面心立方

面心立方晶格结构在(100)，(110)，

(111)面上原子排

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11如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?

使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱.一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的. 13共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?

设N为一个原子的价电子数目, 对于IVA、VA、VIA、VIIA族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.

共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.

15.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？

解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计，即具有能量为?wj(q)的声子平均数为

nj(q)?1e?wj(q)/(kBT)?1

对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。

16晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？

解在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出?(?)的表达式。

爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容cV亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容cV以指数形式趋近于零，快于实验给出的以T趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度T成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度

3

3

?D应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度?D是不同的。

在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。 17布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？

解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。

18试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。

解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。

在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。

- 2 -

在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。

20近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有何相同之处？

解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。

这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。 二．证明题

1.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

（1）简单立方

?3?；（2）体心立方682?6；（5）金刚石

；（3）面心立方

2?6

（4）六角密积

3?16。

解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a占据的最大体积与总体积之比）为：

?2R，则简立方的致密度（即球可能

441??R31??R3???33?33?6a(2R)

（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?4R/3，则体心立方的致密度为：

442??R32??R33?3??33??8a(4R/3)3

（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a?22R，则面心立方的致密度为：

444??R32??R33??33??3a(22R)（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为

2?6R

，则原胞的晶体学常数

a?2R，

c?(26/3)a?(46/3)R，则六角密积的致密度为：

446??R36??R333????223a3(2R)6?c6?(46/3)R44（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数a2?6

?(8/3)R，则金刚石的致密度为：

- 3 -

448??R38??R33?3??33??16a(8/3)3R3

3.证明晶格常数为a的体心立方晶体晶面族

?h1h2h3?的面间距为

2dh1h2h3?a?h2?h3?2??h3?h1???h1?h2?2.

?a????i?j?k证明：体心立方正格子原胞基矢可取为a1?2???a???i?j?k，a2?2???a???i?j?k，a3?2??

?????????a2?a3a3?a1a1?a2由b1?2????，b2?2????，b3?2????

a1??a2?a3?a1??a2?a3?a1??a2?a3??2????2????2????i?j?j?k,b2?k?i,b3?可得其倒格子基矢为: b1?aaa????

????倒格矢Kh?h1b1?h2b2?h3b3

2???Kh1h2h3则晶面族的面间距为dhh12h3

得体心立方晶体晶面族

?h1h2h3?的面间距dhhh123?a?h2?h3?2??h3?h1???h1?h2?22

4. 在一维双原子链中，如M/m??1，求证：?1?2?sinqa；?2?M2?m(1?cos2qa)2。 mM1解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n?1个原子的运动方程为

?d2x2nm??(x2n?1?x2n?1?2x2n)??dt2 ? ???????（1） 2?Mdx2n?1??(x?x2n2n?2?2x2n?1)?dt2?为解方程组（1）可令

?x2n?Aei[(2n)qa??t] ?i[(2n?1)qa??t]x?Be?2n?1将（2）式代入（1）式可得出

???????（2）

- 4 -

2??2?2(??)A?(cosqa)B?0?mm ? ???????（3） 2?2?2??(cosqa)A?(??)B?0M?M从

A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得

4 ?可解出得

??2(?M??m)?2?4??Mm?sin2qa?0

2?(?M??m)?(?M??m)2?4??Mm?sin2qa ?????（4）

当（4）式中取“－”号时，有 ?∵M21??(M?m)?mM1?4Mm22sinqa)? ?????（5） ?1?(1?2(M?m)??/m??1，∴（5）式中有

?(M?m)Mm??MMm??m，

4Mm4Mm24m22sinqa?sinqa?sinqa??1

M(M?m)2M2那么（5）式可简化为

1???4m14m2?2?222sinqa)???1?(1??sinqa)??sin2qa ?1??1?(1?m?M2M?M?m??? ∴?1?2?sinqa M12当（4）式中取“＋”号时，有

2 ?2∵M??(M?m)Mm??(M?m)?Mm?4Mm21?cosqa??2(M?m)?? ?????（6）

/m??1，∴（6）式中有

?(M?m)?M??(M?m)?M???，??

MmMmmMmMmm4Mm4Mm4m222cosqa?cosqa?cosqa??1 22M(M?m)M那么（6）式可简化为

4m??14m2?m?(1?cos2qa)2??(1??cos2qa)?(1?cos2qa) ??mmMmm2MmM22??1 ∴?2?2?m(1?cos2qa)2 mM?9N15.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为?(?)?3m?2。式中?m为格波的截止频率。

- 5 -

解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系

??vpq ????????（1）

那么格波的状态密度为

?(?)?V1??4?q2 3(2?)d?dq ????????（2）

V?2 ??2?2v3p?m又根据 ??(?)d??3N 0将（2）式代入（3）式得

?m2

?V?2??3d??3N 02vp由（4）式可得 v3?V?3mp18?2N 把（5）式代入（2）式即可得 ?(?)?9N2?3?

m

6.证明一维单原子链的频率分布函数为?(?)?2N4．????2m 解：设原子质量为m，晶格常数为a，设链上含有N个原子， 对于一维单原子晶格的态密度为：Na2?

dq间隔内的状态数dn?Na2?2dq?Na?dq 又

??2(?12aqm)sin2

所以

?1d??a()2cosaqdq?dq?1m2d?1

a(?)2mcosaq2

- 6 -

????????（3）

????????（4）????????（5）

所以dn?NadqNad???d??1?aqa()cosm212d?

又因为：dn?????d?

2N4????2m

所以

?(?)?

1，写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数k??的0级波函数。 5a?k?k?m2?a

??k0?1Leikx[1Lei2?mxa

?????第一区：?, n=1,m=0 k?k??5a?aa?? ??0?1Le5ai?x

??2????,????9???aa?第二区：k?? k? k??5a5a???,2???????aa? n=2, m??1 ???01Le?i9?x5a

??3?2???,????11???aa?? 第三区：? k? k?5a5a??2?,3???????aa? n=3,m?1 ??0?1Lei11?x5a 2.写出

一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数k???3a的0级波函数。

?k?k?m2?aikx

???0k1Le[1Lei2?mxa

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??2????,????ix?1?????aa?0?3a第一区：?, n=1,m=0 k?k?? ??? 第二区： k?e???3aL?aa????,2???????aa??5?k?? k?3a3a? n=2,m=1 ??0?1Lei5?x3a

??3?2???,?????7???aa? 第三区：? k?? k??3a3a??2?,3???????aa?1?i3ax n=3,m??1 ??? eL07?5. 若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)(单原子的) ③体弹性模量

1???rm??rn．试求： ①平衡间距 ②结合能w

?u(r)m?n?n?n?m 解：①() )r0?m?1?n?1?0 得r0?(m??rr0r011???m ②结合能(单原子的) w?u(r0)?(m?n)?(1?) m22r0nr02r0??2U??2U ③体弹性模量K??V()?V0(2)V0 2??V??V?V0晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V0?Nr03.

??r???U????r???r?U???1??1?U???2U(2)V0??????????????? 22?V?r?V?V?r?V?r?r?r?V3Nr3Nr???V0????V0????r0??111?U?1????????222?3Nr6Nr?r??r0?3Nr3Nr上式的第一项为零，所以

??2U?????r2??? ???r02?1?2U1(2)V0???22?V?3Nr3Nr2??2U??1?????r2??24???r09Nr0??2U?r0???2??r2???r09V0??2U????r2?? ??r0r0?2U所以 K?()r

9V0?r20NN??N?u(r)|?(?m?n)?(n?m) U?|m22rr2nr0?2UN?m(m?1)?n(n?2)?????? ? m?2n?22??r2r0r0???n?N1n(n?1)?n?mr?[?m(m?1)??] ? 又0n?mm?2r0m?2r0 ?

Nm?2r0m?2(n?m)

r0Nm?(n?m) 所以K?m?29V02r0

2- 8 -

平衡时晶体内原子间的总的相互作用势能为

NN?mw??(1?) m22r0nmnU0 得 K?

9V0U0?7.若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)??21?．试求： ①平衡间距r0； ②结合能

r6r12w (单原子的)； ③体弹性模量。

解：①(?u(r)?r)?1212r0r7?13?0 得r0?1 0r0 ②结合能(单原子的) w?112u(r2110)?2(r6?12)?

0r02③体弹性模量K????2U??2 U?V(?V2)???V0(V0?V2)V0 晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V30?Nr0.

(?2U??r???U?????r???r?U???V2)V0????V?r???V??????V?r???V?r???????1??2?1?U??2?? V0?V0?3Nr?r?3Nr?r??r0????11???1??3Nr2?U?6Nr?r???2?12??2U??r?0?3Nr3Nr??r2???? ?r0上式的第一项为零，所以

2(?2U?11?22)V??2U??1??V0?????3Nr2?3Nr2???U?????r2??????24r09Nr0??r2???r02??2U?r09V0?r2?? ??r02所以 K?r0?29V(Ur2)r0

0? U?N2u(r)?N212(?r6?r12) ????2U???r2????N?42?212?13?r02????r8?0r14??N[?84?156]?36N0??2

2 所以K?r09V36N?1?36N?4

09N

8.若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)??Ar6?Br12．试求： ①平衡间距r0；w (单原子的)； ③体弹性模量。

解：①(?u(r)1?r)?6A12B2Br0r7?13?0 得r0?()6 0r0A ②结合能(单原子的) w?12u(r1ABA1AA20)?2(r6?12)?6(1?)?6?

0r02r024r08B ③体弹性模量K????V(?2U??2U?V2)???V0(2)V0V0?V 晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V0?Nr30.

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②结合能

??r???U?2U(2)V0????V?r?V??V???r???r?U???1??1?U???????????????? 22??V0??V?r??V?r??V0?3Nr?r?3Nr?r??r0?111?U?1????????222?3Nr6Nr?r??r0?3Nr3Nr上式的第一项为零，所以

??2U?????r2??? ???r02?1?2U1(2)V0???22?V?3Nr3Nr2??2U??1??????r2?24???r09Nr0??2U?r0???2??r2???r09V0??2U????r2?? ??r0r0?2U所以 K?(2)r0

9V0?rNNABu(r)?(?6?12) U?22rr??2U?N?42A12?13B? ???r2???2??r8?r14?

????r00?0?2BN112?13B6r? ? 又 [?42A?]06A2r08r0 ??N1[?42A?78A] 82r018NAr082

r018NA2NA2NANA2NA2 所以K??????8632B9V0r0V0BNr0BV0r0V0A力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在kA22BBA?A2AB2B

10.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计入最近邻原子间的相互作用,设

a解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第2n?1个原子质量

为M2，如图：

?0和k??处的?(k).(备注M1?M2)

??2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) ① 对于M1： M1???2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) ② 对于M2： M2? 设试探解：?2n?Aei(?t?2naq), ?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]

2代入①, ②化简得： (M1??2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2??2C)B?0

2有非零解的条件是：

M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：

C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]

M1M22?

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q?0时,??2max2C(M1?M2)C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?， M2M1M2M111??2minC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?0 M2M1?2minq???2时，?2CM1C2C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M211，

??max22CM22CC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M1

13.考虑一双原子链的晶格振动，链最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c,令两种原子质量相等,并且最近邻的间距是

a2,试求在k?0和k?如图所示：

?a处的?(k)．

解：设原子质量为m力常数为c和c??10c

振动方程

?2n?c(x2n?1?x2n)?c?(x2n_x2n?1)x?m? ????mx?c(x?x)?c(x?x)2n?22n?12n?12n?2n?1a?i(?t?2nq)?2?x2n?Ae试探解： ? a?i[?t?q(2n?1)]2?x?2n?1?Be将上式与 c'?10c代入振动方程得：

aqaq?i?i??222??11c??mA?10ce?ceB?0?????? ?aqaqi?i????ce2?10ce2?A?11c??2mB?0??????????有非零解的条件是：

?11c??m?210ceiaq2?ce2?iaq2ce解得：

iaq2?10ce?iaq2?11c??m?1?0

1??[10c?(101c2?20ccoaqs)2]

m2?

- 11 -

q?0时 q?? ?max??min?2?2?22c m

??m?22in?0

?2时

20c m ?max?2c m

14.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计入最近邻原子间的相互作用,设力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在ka解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第2n?1个

原子质量为M2，如图： 对于①

M1：

?0和k??处的?(k).(备注M1?M2)

??2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) M1???2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) 对于M2： M2?②

设试探解：?2n?Aei(?t?2naq), ?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]

代入①, ②化简得： (M1?2?2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2?2?2C)B?0

有非零解的条件是：

M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：

C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]

M1M22?

q?0时,??2max2C(M1?M2)C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?， M2M1M2M111??2minC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?0 M2M1?2q???2时，?min2CM1C2C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M211，

??2max2CM22CC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M1s

15.用紧束缚近似，求出简单立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带Es?k?函数，并求出能带宽度。

?k?函数:

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Es?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)

J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?

s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1

*J?J(R)???(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??01si?

?2?????J(Rs)。

所以能量本征值为：Es?k???i?J0?J1?e???ik?Rs

Rs?Nearest体心立方：6个近邻: ((?a,0,0),(0,?a,0),(0,0,?a),) Es?k???i?J0?J1?e=?i01x???ik?Rs ??i?J?J?e01ikxa?e?ikxa?eikya?e?ikya?e?eikza?ikza?

Rs?Nearest?J?2J?coska?coska?coska?

yz由此可知，当k???????0,0,0?时，即能带底的能量为E???J?6J；当k???,?,??，即能带顶的

?aaa?mins00能量为Emax???J?6Js

s能带宽度为?E?E?E?12Jmaxmin117.用紧束缚近似，求出体心立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带E Es?k?函数。

s?k?函数:

?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)

J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?

?2????s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1?J(Rs)。

J1?J(Rs)????i*(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??0s所以能量本征值为：E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs

Rs?Nearest体心立方：8个近邻: Es?k???i?J0?J1Rs?Nearesta(?1,?1,?1) 2???ik?Rs?e

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aaaaaaaakx?iky?ikzikx?iky?ikz?ikxiky?ikz???ia?e2e2e2?e2e2e2?e2e2e2??a?aaaaaaaaikyikz?ikz?ikxikzikz??ikx?ikzikz???i?J0?J1?e2e2e2?e2e2e2?e2e2e2?

?iakx?iakziakziakyiakziakz???e2e2e2e2e2e2????? =?i

?J0?8J1cosaaakxcoskycoskz 222s18.用紧束缚近似，求出面心立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带E Es?k?函数。

s?k?函数:

?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)

J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?

s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1

?2?????J(Rs)。

J1?J(Rs)????i*(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??0s所以能量本征值为：E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs

Rs?Nearest（1）

?a??1,1,0??1,?1,0?对于面心立方：有12个最近邻原子??2??1,0,?1??0,1,1??a??aa??aa??a,?,0?,??,0,??,?0,?,??;

2??22??22??2s?1,0,1??0,1,?1?

或写为：?? E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs

Rs?Nearestaaaaakx?iky?ikxiky?ikx?ikz??ia?e2e2?e2e2?e2e2 =?i?J0?J1?aaaaaa?iky?ikzikx?ikz??i2kxi2kze?e2e2?e2e2?eaakxikx?ikz??ia?aa?e2cosky?e2cosky?e2cosaky?222??

=?i?J0?2J1aa?iak??ikx?ikxzaaa???e2cosky?e2coskz?e2coskz??222???????

=?i

aaaaaa???J0?4J1?coskxcosky?coskxcoskz?coskzcosky?

222222??- 14 -

- 15 -

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