2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解 - 线性代数部分

2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解

——线性代数部分

一、2007年：

1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的

是 (A)

?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) 【答案】A

【详解】用定义进行判定:令

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0，

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.

?x3?0,?x1　　　　??0, 因?1,?2,?3线性无关，所以 ??x1?x2　　　?　　　?x2?x3?0.?1又 ?101?1?10?0， 10故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

?2?1?1??100?????2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵A???12?1?, B??010?, 则A与

??1?12??000?????B

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B

【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

?0??03、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵A??0??0?【答案】1

100001000??0?3, 则A的秩为 . 1??0???0??03A?【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ?0??0?

4、(2007年数学一、二、三、四)

设线性方程组

000000001??0?3A, 故r()=1.

0??0???x1?x2?x3? ?x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?1与方程

?0,?0, ①

?0 x1?2x2?x3?a?1 ②

有公共解，求a的值及所有公共解． 【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:

?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ③ ?2x?4x?ax?0,23?1??a?1.?x1?2x2?x3　　若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得:

?1??1 A??1??1?112a4a2210??1??0??0?0??0???a?1???0110??1a?10?.

0(a?2)(a?1)0??01?aa?1??于是1° 当a=1时，有r(A)?r(A)=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时

?1??0A??0??0?010010000??0?， ?0?0????1???此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?,

?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数.

?1???2° 当a =2时，有r(A)?r(A)=3，方程组③有唯一解, 此时

?1??0A??0??0?010000???0?01???，故方程组③的解为: ?1?, 即①与②有唯一公共解: 为1?1???1?????00??x1??0?????x??x2???1?.

?x3???1?????5、(2007年数学一、二、三、四)

设3阶对称矩阵Ａ的特征值?1?1,?2?2,?3??2,

53?1?(1,?1,1)T是Ａ的属于?1的

一个特征向量,记B?A?4A?E其中E为3阶单位矩阵.

(I) 验证?1是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．

(II) 求矩阵Ｂ．

【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.

【详解】 (I) 由A?1??1 得 A进一步 A32?1?A?1??1,

?1??1, A5?1??1，

53故 B?1?(A?4A?E)?1

?A5?1?4A3?1??1 ??1?4?1??1

??2?1，

从而?1是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.

因B?A?4A?E, 及Ａ的3个特征值?1?1,?2?2,?3??2, 得 B的3个特征值为?1??2,?2?1,?3?1.

设?2,?3为B的属于?2??3?1的两个线性无关的特征向量, 又

53Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此?1与?2,?3正交, 即

?1T?2?0,　　?1T?3?0

所以?2,?3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：

?x1??? (1,?1,1)?x2??0,

???x3??1???其基础解系为: ?1?,

?0????1???1???1???????1?0? , 故可取?2=??, ?3=?0?. ?0??1??1????????1??1???1???????即B的全部特征值的特征向量为: k1??1?, k2?1??k3?0?, 其中k1?0,是不为零的任

?1??0??1???????意常数, k2,k3是不同时为零的任意常数.

?11?1???2?????(II) 令P?(?1,?2,?3)=??110?, 则 P?1BP??1?，

?101??1?????

??2???得 B?P?1?P?1

?1?????1?11??11?1???2?1?????1??121? =??110??3???112??101??1????????21?1??1?11??01?1?????1??121=?210?????101?. 3??201???112???110???????二、2008年：

1、（2008年数学一、二、三、四）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A?0，则[ ]

则下列结论正确的是：

(A) E?A不可逆，则E?A不可逆. (B) E?A不可逆，则E?A可逆.

(C) E?A可逆，则E?A可逆. (D) E?A可逆，则E?A不可逆. 【答案】应选(C).

【详解】(E?A)(E?A?A2)?E?A3?E，(E?A)(E?A?A2)?E?A3?E． 故E?A，E?A均可逆．故应选(C).

2、（2008年数学一）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程?x交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为[ ]

3y?x???z?A?y??1在正

?z???

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).

x2y2?z2?1．故A的正【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为2?2ac特征值个数为1．故应选(B).

3、（2008年数学二、三、四）设A???12??，则在实数域上，与A合同矩阵为[ ] ?21??21???. (D) ?12??1?2???. ??21?(A) ???21?? . (B)

?1?2??2?1???. (C) ??12?【答案】 应选(D). 【详解】

?E?A???1?2?2?(??1)2?4??2?2??3?(??1)(??3)?0 ??1

则?1??1,?2?3，记D???1?2??，则

??21??E?D???122?(??1)2?4??2?2??3?(??1)(??3)?0 ??1则?1??1,?2?3，正负惯性指数相同.故选D.

4、(2008年数学一) 设A为2阶矩阵，?1,?2为线性无关的2维列向量，A?1?0，

A?2?2?1??2．则A的非零特征值为___________.

【答案】应填1．

?02?【详解】根据题设条件，得A(?1,?2)?(A?1,A?2)?(0,2?1??2)?(?1,?2)??．

01??记P?(?1,?2)，因?1,?2线性无关，故P?(?1,?2)是可逆矩阵．因此

?02??02??02??1，从而．记AP?P?PAP?B??????，则A与B相似，从而有010101??????相同的特征值． 因为|?E?B|???2??(??1)，??0，??1．故A的非零特征值为1．

0??15、（2008年数学二）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?．若行列式|2A|??48，则

??___________.

【答案】应填?1．

【详解】由2A??48，依据方阵行列式的性质，则有2A?2A??48，即A??6.又A等于其特征值的乘积，即A??1??2??3?2?3????6,得???1.

?16、（2008年数学三）设3阶方阵A的特征值为1,2,2,E为单位矩阵，则4A?E? .

3【答案】应填3．

【详解】由方阵特征值的性质，f(A)?4A?1?E，则f(?)?4??1?1，故方阵4A?1?E?1的特征值分别为3,1,1，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有4A?E?3.

7、（2008年数学四）设3阶方阵A的特征值互不相同，若行列式A?0，则A的秩为 . 【答案】应填2．

【详解】由题可知，方阵A的特征值含有0，而其余两个非零，故A的秩为2.

8、（2008年数学一）

设?,?为3维列向量，矩阵A???T???T，其中?T,?T分别是?,?得转置．证明： （I） （II）

秩r(A)?2；

若?,?线性相关，则秩r(A)?2．

【详解】（I）【证法1】r(A)?r(??T???T)?r(??T)?r(??T)?r(?)?r(?)?2． 【证法2】因为A???T???T，A为3?3矩阵，所以r(A)?3． 因为?,?为3维列向量，所以存在向量??0，使得

?T??0,?T??0

于是 A????T????T??0 所以Ax?0有非零解，从而r(A)?2．

【证法3】因为A???T???T，所以A为3?3矩阵．

??T?又因为A???T???T????0????T??， ??0??aT所以|A|?|??0|?T?0

0故 r(A)?2．

（II）【证法】由?,?线性相关，不妨设??k?．r(A)?r(??T???T)?r?(1?k2)??T??r(?)?1?2．

9、(2008年数学一、二、三、四)

设n元线性方程组Ax?b，其中

??2a1??a22a1??x1??1? A????a22a1??x???20?????，x??????，b??????．???a22a1??x?????n??0??a22a???（I）证明行列式|A|?(n?1)an；

（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求x1． （III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

于是

2aa2【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记Dn?|A|?12aa212a1???a22aa212an

以下用数学归纳法证明Dn?(n?1)an． 当n?1时，D1?2a，结论成立． 当n?2时，D2?2a1?3a2，结论成立． 2a2a假设结论对小于n的情况成立．将Dn按第一行展开得

a20Dn?2aDn?1?12a1a22a1???a22a1a22an?1

?2aDn?1?a2Dn?2 ?2anan?1?a2(n?1)an?2 ?(n?1)an

n故 A?(n?1)a．

【注】本题（1）也可用递推法．由Dn???2aDn?1?a2Dn?2得，

Dn?aDn?1?a(Dn?1?aDn?2)???an?2(D2?an?2D1)?an．于是Dn?(n?1)an

2aa2（I）【证法2】消元法．记|A|?12aa212a1???a22aa212an

2a01r2?ar1213a12a22a1???a22a1a22an

2a02r3?ar2313a2014a13a22a

1a22aa212an??????

2a0n?1arn?1n13a2014a13??0rn??nan?101n?1ann

?(n?1)an．

（II）【详解】当a?0时，方程组系数行列式Dn?0，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，

将Dn得第一列换成b，得行列式为

1112a1???a22aa212an?a22aa212aa212a1???a22aa212an?1?Dn?1?nan?1

02a所以，x1?Dn?1a． ?Dn(n?1)a（III）【详解】 当a?0时，方程组为

?01??x1??1????x???01???2??0??0?????????

??????x?1???n?1??0??????0????xn??0?此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为n?1，所以方程组有无穷多组解，其通解为

x??01?0??k?10?0?，其中k为任意常数．

10、(2008年数学二、三、四)

设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值1,?1的特征向量，向量?3满足

TTA?3??2??1，

(I)证明?1,?2,?3线性无关； (II)令P?(?1,?2,?3)，求PAP．

【详解】(I)【证明】设有一组数k1,k2,k3，使得 k?1?k2?2?k3?3?0． 用A左乘上式，得k1(A?1)?k2(A?2)?k3(A?3)?0． 因为 A?1???1, A?2??2，A?3??2??1， 所以 ?k1?1?(k2?k3)?2?k3?3?0， 即2k1?1?k3?2?0．

由于?1,?2是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此

?1

2) 若?2?0 ，即a?2，则?1?2?0，?3?3?0，符合

3) 若?3?0 ，即a??1，则?1??1?0 ，?2??3?0，不符题意 综上所述，故a?2

四、2010年：

1、（2010年数学一）设A为m?n型矩阵，B为n?m型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB?E，则[ ]

（A） 秩r(A)?m，秩r(B)?m. （B） 秩r(A)?m，秩r(B)?n. （C） 秩r(A)?n，秩r(B)?m. （D） 秩r(A)?n，秩r(B)?n. 【答案】 A

【详解】 由于AB?E，故r(AB)?m，又由r(AB)?min(r(A),r(B))，即m?r(A)，

m?r(B)，再由题设可知，r(A)?m，r(B)?m，因此，可得选项（A）为正确.

2、（2010年数学二、三）设向量组I:?1,?2,??r可由向量组II:?1,?2,??s线性表示，下列命题正确的是[ ]

（A） 若向量组(I)线性无关，则r?s. （B）若向量组(I)线性相关，则r?s. （C） 若向量组(II)线性无关，则r?s. （D）若向量组(II)线性相关，则r?s. 【答案】 A

【详解】 由于r(?1,?2,??r)?r，r(?1,?2,??s)?s，又由题设，(?1,?2,??r)可由(?1,?2,??s)线性表示，故有r(?1,?2,??r)?r?r(?1,?2,??s)?s，又

(?1,?2,??r)线性无关，即r(?1,?2,??r)?r，可知（A）为正确.

3、（2010年数学一、二、三）设A为4阶对称矩阵，且A?A?O，若A的秩为3，则A相似于[ ]

2?1

??0（A）?

0??0?

01000010

0??1??0??0. （B）?00?????00??00100?1000??0?. ?0?0???100??0?10（C）?00?1??000?0???100??0??0?10. （D）?00?10?????0000??0??0?. ?0?0??【答案】 D

【详解】 由题设可知，4阶对称阵A与对角阵?相似，则A必有4个特征值，且

r(A)?r(?)?3，又由A2?A?O，可知A(A?E)?O，即A?0E?A?0，

A?E??E?A?0，可得A的特征值分别为0,?1，又r(?)?3，则可知（D）为正确.

4、（2010年数学一）设?1?(1,2,?1,0)T，?2?(1,1,0,0)T，

?3?(2,1,1,?)T，若由?1,?2,?3形成的向量空间维数为2，则?? .

【答案】 应填 0

【详解】 由?1,?2,?3形成的向量空间维数为2，故可知向量组?1,?2,?3的秩，即

r(?1,?2,?3)?2，故通过初等行变换讨论矩阵A?(?1,?2,?3)的秩，判断参数?的取值.

12?2??11?112??????r?rr?2r11?21?0?1?3?23?013?,由于r(A)?r(?1,?2,?3)?2，故???????r?rr?r013101323000??????????0???00???00??通过初等行变换后，矩阵的非零行个数应为2，则可知参数??0.

?15、（2010年数学二、三）设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?B?2，则

?1??2A???1??0?A?B?1? . 【答案】 应填 3. 【详解】 由A(A?1?B)B?1?(E?AB)B?1?(B?1?A)?(A?B?1)，对上述等式两

?1边同取行列式，得A(A?B)B?1?AA?1?BB?1?A?B?1?3?2?1?3.

2???6、（2010年数学一、二、三）设A??0?1?1??a??????10?，b??1?，已知线性方程组AX?b?1?1?????1有两个不同解，

（I） 求?，a.

（II）求方程组AX?b的通解. 【解析】

（I）由题设可知，三元线性方程组AX?b有两个不同解，其解不唯一，即该非齐次线性

方程组有无穷解，则根据非齐次线性方程组解存在性理论可知，r(A)?r(A?b)?3. 于是，对增广矩阵(A?b)通过初等行变换讨论在r(A)?r(A?b)?3的情况下，参数?，a的取值.

11a?1?1?r??r?11?1????1??r1?r3??31??r3?r2(A?b)??0??10?1???0??10?1???0??10?1???1???01??(1??)(1??)a???1?1?11a???????1?1?1???0?1?0??1?

?00(1??)(1??)a???1???若r(A)?r(A?b)?3成立，则当??1时，

?1111??1111??????000?1???000?1?，r(A)?1?r(A?b)?2，故方程组无解， ?000a??0000??????11?11???当???1时，?0?20?1?，可得若a??2，则r(A)?r(A?b)?2，即有???1，

?000a?2???a??2.

（II）由???1，a??2，则增广矩阵通过初等行变换后的结果变为

10?132??11?11?r1?1r2?????2?010??1?

?0?20?1???2?1r2?2?00?00??0000????3??x1?2?x3由此的AX?b的同解方程组为?，其中自由未知量为x3，可得AX?b的特

1x???2?2解为??(3,?1,0)，其对应齐次线性方程组的基础解系所含解向量为?0?(1,01)T，

*22T故AX?b的通解可表示为???*?k?0，其中k为任意常数.

T7、（2010年数学一）已知二次型f(x1,x2,x3)?XAX在正交变换X?QY下的标准型为2，且Q的第三列为(2y12?y2,0,2)T.

22（I） 求矩阵A.

（II）证明A?E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵. 【解析】

?100???T（I）由题设知，对于二次型对应的实对称矩阵A，有QAQ????010?，即通过正

?000????中对角线上的元素分别为A的三个特征值.则可交变换Q使得A对角化为一个对角阵?，

知A的全部特征值为?1??2?1,?3?0，由Q的第三列为(2,0,2)T，可知22(2,0,2)T为A对应于特征值?3?0的单位化后的特征向量.又由A为实对称矩阵，

22其不同特征值对应的特征向量必正交，故可据此求得A中对应特征值?1??2?1所对应的两个特征向量.

设?3?(2,0,2)T，与其正交的向量为??(x1,x2,x3)，有(?3,?)?0，即

22x3?0，也相当于x1?x3?0，解此齐次线性方程组可得其基础解系中两

22x1?22个线性无关的解向量?1?(0,1,0)T，?2?(?1,0,1)T，可以得到(?1,?2)?0，即?1与?2正交，故将?1与?2分别单位化得?1?(0,1,0)T，?2?(?2,0,2)T，则有正交矩阵

22?0?2?2?Q?(?1,?2,?3)?10?2?02???100?2???T?0，使得QAQ????010?，于是

??000?2???2?2?0?2?2T?A?Q?Q?10?2?02??100???02?????0??010???22?2??000??2??2??2?2100?10??0?1??22?2???010?2???11????02??22?2?1??3?20?2?（II）A?E??020?，先要证其为正定矩阵，有两种方法：

?1???03?22??方法1：求其全部特征值，若均大于零，则可得A?E为正定矩阵.设B?A?E，有

1??320??10??1101r?1r2r1?r3321?E?B?0??20?0??20?(??1)0??20?1110??320??320??32222101(??1)0??20?(??1)(??2)2?0，得A?E的全部特征值为

00??2?1?1,?2??3?2，均大于零，故A?E为正定矩阵.

方法2：证A?E的各阶顺序主子式均大于零，1阶主子式D1?32?0，2阶主子式

D2?302?3?0，3阶主子式 020?122D3?A?E?020?2?(9?1)?4?0，即得A?E为正定矩阵.

4431?022?0?14???8、（2010年数学二、三）设A???13a?，正交矩阵Q使得QTAQ为对角阵，若Q?4a0???的第一列为1【解析】

由题可知，A对应于特征值?1的特征向量?1?136(1,2,1)T，求a，Q.

6(1,2,1)T，即有A?1??1?1

?1??1??????0?14?66??????22???1??，由此可得a??1，?1?2. ??13a??6?6???4a0?????1??1?6?6???又组成Q的其他向量，为A对应于另外两个特征值的特征向量，且由于A为实对称矩阵，故这两个向量与?1?16(1,2,1)T正交，则设??(x1,x2,x3)T，使得(?1,?)?0，得

到一个齐次线性方程组x1?2x2?x3?0，解此线性方程组得

?1?(?1,01)T，

?2?(?2,1,0)T，再将?1与?2通过施密特正交单位化过程正交化，得到组成Q的另外两列

向量.设?1??1?(?1,01)，?2??2?T(?1,?2)?1?(?1,1,?1)T，再单位化得

(?1,?1)?2??1??(?1,0,1)T，?3?2?(?1,1,?1)T，

22333?1?2?1?6?得Q??26??16??10122??3?1?. 3??1?3??1

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