立体几何专题教师用

立体几何专题(体积)

1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为c A． 22

B． 23

C． 4

D． 25

分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别

22222为m,n,k，由题意得m?n?k?7，m?k?6?n?1，

1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．

2.已知m,n是两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m??,n??，m?n，则???；②若m//?,n//?,m?n，则?//?； ③若m??,n//?,m?n，则?//?；④若m??,n//?,?//?，则m?n． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）__①④_____________． 3.设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m?n,m??,n//?，则?//? B．若m//?,n//?,?//?,则m//n C．若m??,n//?,?//?，则m?n D．若m//n,m//?,n//?,则?//?C．

F分别为DD1、DB4.)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、

的中点．

积．

解析：（1）连结BD1，如图，在?DD1B中，

（1）求证：EF//平面ABC1D1；（2）求证：EF?B1C；（3）求三棱锥VB1?EFC的体

E、F分别为D1D，DB的中点，则

EF//D1B??D1B?平面ABC1D1??EF//平面ABC1D1．（2） EF?平面ABC1D1????BC?平面ABCDB1C?BC1B1C?BD1??111???????EF?B1CAB,B1C?平面ABC1D1?BD1?平面ABC1D1?EF//BD1?

?ABBC1?B?（3）

B1C?ABCF?平面BDD1B1，?CF?平面EFB1且CF?BF?2，

1EF?BD1?3，B1F?BF2?BB12?(2)2?22?6，

222211111?VB1?EFC?VC?B1EF??S?B1EF?CF=??EF?B1F?CF=??3?6?2?1 ．

33232

∴EF?B1F?B1E 即?EFB1?90，

B1E?B1D12?D1E2?12?(22)2?35.在四棱锥P?ABCD中，?ABC??ACD?90，?BAC??CAD?60，PA?平面ABCD，E为PD的中点，PA?2AB?2．（1）求四棱锥P?ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC?平面AEF； （3）求证CE∥平面PAB． 解析：（1）在Rt?ABC中，AB?1,?BAC?60，∴BC?3，AC?2．

在RtΔACD中，AC?2,?ACD?60，∴CD?23,AD?4． ∴SABCD?11115AB?BC?AC?CD??1?3??2?23?3． 22222155则V??3?2?3．

323（2）∵PA?CA，F为PC的中点，∴AF?PC．

∵PA?平面ABCD，∴PA?CD，∵AC?CD，PAAC?A，∴CD?平面PAC，∴CD?PC． ∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF?CD，∵AFEF?F，∴PC?平面AEF． （3）证法一：

取AD中点M，连EM,CM．则EM∥PA，∵EM ?平面PAB，PA ∴EM∥平面PAB．

在Rt?ACD中，?CAD?60，AC?AM?2，∴?ACM?60．而?BAC?60，∴MC∥AB． ∵MC ?平面PAB，AB ?平面PAB， ∴MC∥平面PAB． ∵EMMC?M，∴平面EMC∥平面PAB． ∵EC?平面PAB，

?平面EMC，∴EC∥平面PAB．

证法二：延长DC,AB，设它们交于点N， 连PN．∵?NAC??DAC?60，AC?CD， ∴C为ND的中点． ∵E为PD中点，∴EC∥PN． ∵EC ?平面PAB， PN?平面PAB， ∴EC∥平面PAB．

6.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和

CC1的中点．

（1）求证：EF∥平面ACD1；

（2）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

（3）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P?AC?P的大小为30?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

【解析】解法一：如图分别以DA,DC,DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz， 由已知得D?0,0,0?、A?2,0,0?、B?2,2,0?、C?0,2,0?、B1?2,2,2?、D1?0,0,2?E?1,0,2?、、F?120, （1）取AD1中点G，则G?1,0,1?，

?．

CG??1,?2,1?，又EF???1,2,?1?，

由EF??CG，

∴EF与CG共线．从而EF∥CG，

∵CG?平面ACD1， EF?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1． （2）∵AB??0,2,0?，

cosEF,AB?EF?AB46， ??3|EF|?|AB|266． 3∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为

（3）假设满足条件的点P存在，可设点P?2,2,t?（0?t?2），平面ACP的一个法向量为n??x,y,z?，

???2x?2y?0,?n?AC?0,则? ∵AP??0,2,t? AC???2,2,0?，∴?

2y?tz?0,???n?AP?0.2取n?(1,1,?)．

t易知平面ABC的一个法向量BB1?(0,0,2)， 依题意知， BB1,n?30或150，

∴cosBB1,N?4|?|t2?2?4t2?43463，即2?(2?2)，解得t?.

t4t32∵66在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角P?AC?B的大小为30． ?(0,2]，∴

331AD1，∴EF、AC、2解法二：

（1）同解法一知EF???1,2,?1? ，AD1???2,0,2?， AC???2,2,0?，∴EF?AC?AD1共面．又∵EF?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1．

（2）、（3）同解法一．

解法三：易知平面ACD1的一个法向量是DB1??2,2,2?．又∵EF???1,2,?1?，由EF?DB1?0·， ∴EF?DB1，而EF?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1． （2）、（3）同解法一．

7.已知几何体A?BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线DE与AB所成角的余弦值； （2）求二面角A?ED?B的正弦值； （3）求此几何体的体积V的大小．

【解析】（1）取EC的中点是F，连结BF，则BFDE，∴?FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．在

?BAF中，AB?42，BF?AF?25．∴cos?ABF?10． 5∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为105． （2）AC?平面BCE，过C作CG?DE交DE于G，连结AG． 可得DE?平面ACG，从而AG?DE, ∴?AGC为二面角A?ED?B的平面角． 在Rt?ACG中，?ACG?90，AC?4，

CG?855,∴tan?AGC?52． ∴sin?AGC?53． ∴二面角A?ED?B的的正弦值为53． （3）V?13?SBCED?AC?16，∴几何体的体积V为16． 方法二：（坐标法）（1）以C为原点，

以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系． 则A?4,0,0?，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E?0,0,4?，

DE?(0,?4,2),AB?(?4,4,0)，

∴cos?DE,AB???105 ∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

105． （2）平面BDE的一个法向量为CA?(4,0,0)， 设平面ADE的一个法向量为n?(x,y,z)，

n?AD,n?DE,AD?(?4,4,2),DE?(0,?4,2)

∴nAD?0,nDE?0

从而?4x?4y?2z?0,?4y?2z?0, 令y?1，则n?(2,1,2), cos?CA,n??2 3∴二面角A?ED?B的的正弦值为（3）V?

5． 31?SBCED?AC?16，∴几何体的体积V为16． 3?8． 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD，PA垂直于底面ABCD，?90PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点．

（1）求证：PB?DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积．

9．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC?BC，且AC?BC． （1）求证：AM?平面EBC；

（2）求直线AB与平面EBC所成的角的大小； （3）求二面角A?EB?C的大小．

D，又22．已知斜三棱柱ABC?A1B1C1，?BCA?90，AC?BC?2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点

知BA1?AC1．

（1）求证：AC1?平面A1BC； （2）求CC1到平面A1AB的距离；

（3）求二面角A?A． 1B?C的一个三角函数值．

20．解析：（1）因为N是PB的中点，PA?AB， 所以AN?PB． 由PA?底面ABCD，得PA?AD，

A?AD又?BAD?90?，即B，所以AD?PB ， ?PB?DM． ? AD?平面PAB，? PB?平面ADMN，

（2）连结DN， 因为BP?平面ADMN，即BN?平面ADMN，所以?BDN是BD 与平面ADMN所成的角． 在Rt?ABD中，BD?BA2?AD2?22，在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?22，故

BN?角是

1BN1?PB?2，在Rt?BDN中, sin?BDN??，又0??BDN?，故BD与平面ADMN所成的2BD22?． 611BC?，又AD//BC，故MN//AD， 22由（1）得AD?平面PAB，又AN?平面PAB，故AD?AN，?四边形ADMN是直角梯形，

1N面积在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?22，AN?PB?2，? 截面ADM的

2（3）由M,N分别为PC,PB的中点，得MN//BC，且MN?1S?(MN?2A)D?11A?N(2252 ?2)?2．?4

法二： （1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示（图略） 由PA?AD?AB?2BC?2，得A(0,0,0)，P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,,1),D(0,2,0) 因为PB?DM?(2,0,?2)(1,?,1) ?0 ，所以PB?DM．

（2）因为 PB?AD?(2,0,?2)?(0,2,0)?0，所以PB?AD，又PB?DM ， 故PB?平面ADMN，即PB?(2,0,?2)是平面ADMN的法向量． 设BD与平面ADMN所成的角为?，又BD?(?2,2,0)． 则sin??|cos?BD,PB?|?又??[0,1232|BD?PB||?4|1??，

|BD||PB|4?4?4?42?2]，故???6，即BD与平面ADMN所成的角是

?． 6因此BD与平面ADMN所成的角为（3）同法一．

?． 621．解析：法一：（1）∵四边形ACDE是正方形， ?EA?AC,AM?EC．

∵平面ACDE?平面ABC，又∵BC?AC，?BC?平面EAC．

?AM?平面EAC，?BC?AM． ?AM?平面EBC．

（2）连结BM，?AM?平面EBC，??ABM是直线AB与平面EBC所成的角．

?ABM?设EA?AC?BC?2a，则AM?2a，AB?22a， ?sin直线AB与平面EBC所成的角为30?

AM1?， ??ABM?30?． 即AB2?AM?EB．?EB? 平面AHM．??AHM（3）过A作AH?EB于H，连结HM． ?AM?平面EBC，

是二面角A?EB?C的平面角． ∵平面ACDE?平面ABC，?EA?平面ABC．?EA?AB． 在Rt?EAB中， AH?EB，有AE?AB?EB?AH．

由(2)所设EA?AC?BC?2a可得AB?22a，EB?23a，?AH?

AE?AB22a． ?EB3?sin?AHM?AM3．??AHM?60?．∴二面角A?EB?C等于60?． ?AH2?EA?平面ABC，?EA?AC,AM?EC，法二: ∵四边形ACDE是正方形 ，∵平面ACDE?平面ABC， ∴

可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz．

设EA?AC?BC?2，则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2)，

?M 是正方形ACDE的对角线的交点，?M(0,1,1)．

（1）AM?(0,1,1)，EC?(0,2,0)?(0,0,2)?(0,2,?2)，CB?(2,2,0)?(0,2,0)?(2,0,0)，

?AM?EC?0,AM?CB?0， ?AM?EC,AM?CB?AM?平面EBC．

（2） ?AM?平面EBC，?AM为平面EBC的一个法向量，

?AM?(0,1,1),AB?(2,2,0)，?cosAB,AM?AB?AMAB?AM?1． 2?AB,AM?60?．∴直线AB与平面EBC所成的角为30?．

（3）设平面EAB的法向量为n?(x,y,z)，则n?AE且n?AB，

?n?AE?0且n?AB?0．

?(0,0,2)?(x,y,z)?0,?z?0, 即?，取y??1，则x?1， 则n?(1,?1,0)． ???(2,2,0)?(x,y,z)?0.?x?y?0.又∵AM为平面EBC的一个法向量，且AM?(0,1,1)， ?cosn,AM?n?AMn?AM??11??cosn,AM?，，设二面角A?EB?C的平面角为?，则cos22???60?．∴二面角A?EB?C等于60?．

ABC，C?AC22．解析：法一：（1）因为A1D?平面ABC，所以平面AAC又B11C?平面

得BC?AC1，又BA1?AC1，所以AC1?平面A1BC；

，所以BC?平面AAC11C，

（2）因为AC1?AC所以四边形AAC故AA又D为AC 中点，知?A取1，11C为 菱形，1?AC?2，1AC?60．

AA1中点F，则AA1?平面BCF，从而面A1AB?面BCF， 过C作CH?BF于H，则CH?面A1AB．

在Rt?BCF中，BC?2,CF?3，故CH?221， 7即CC1到平面A1AB的距离为CH?

221． 7

（3）过H作HG?A1B于G，连CG，则CG?A1B， 从而?CGH为二面角A?A1B?C的平面角，

在Rt?A?BC?2，所以CG?2，在Rt?CGH中，sin?CGH?1BC中，AC1CH42， ?CG7故二面角A?A1B?C的正弦值为

42． 7法二：（1）如图，取AB的中点E，

则DE//BC，因为BC?AC，所以DE?AC，又A1D?平面ABC，以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系，

则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，A1?0,0,t?，C1?0,2,t?，

AC1??0,3,t?，BA1???2,?1,t?，CB??2,0,0?，

由AC?CB， 11?CB?0，知AC

又BA1?AC1，从而AC1?平面A1BC；

2（2）由AC1?BA1??3?t?0，得t?3．

设平面A1?0,1,3，AB??2,2,0?， 1AB的法向量为n??x,y,z?，AA????n?AA1?y?3z?0所以?，

??n?AB?2x?2y?0设z?1，则n??3,?3,1

?

所以点C1到平面A1AB的距离d?AC1?nn?221． 7

（3）再设平面A1?0,?1,3，CB??2,0,0?， 1BC的法向量为m??x,y,z?，CA所以

????m?CA1??y?3z?0，设z?1， ???m?CB?2x?0则m?0,3,1，

故cos?m,n??

??m?nm?n??77，根据法向量的方向，可知二面角A?A的余弦值为． B?C177

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