二项式定理各种题型解题技巧

二项式定理

1．二项式定理：

0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。

r②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n).

③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cnab表示。 ab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cn3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的

次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系

数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

0122rrnn令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N?) 0122rrnn令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn ?Cn?Cn012rn②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n， 12rn 变形式Cn?Cn???Cn???Cn?2n?1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123n在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn?(1?1)n?0， 0242r132r?1从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22n0n(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax???Cnax?a0?a1x1?a2x2???anxn00n122n?2nn0(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax???Cnax?anxn???a2x2?a1x1?a0令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n①?②得,a1?a3?a5??an?(偶数项的系数和)2⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

n?12nn2n

,Cn?12n同时

r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；

123n例：Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1? .

?Ar?1?Ar，从而解出r来。

A?A?r?1r?20123n解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63???Cn?6n与已知的有一些差距，

123n?Cn?Cn?6?Cn?62???Cn?6n?1?112n(Cn?6?Cn?62???Cn?6n) 61011n122nnn ?(Cn?Cn?6?Cn?6???Cn?6?1)?[(1?6)?1]?(7?1)

666123n练：Cn?3Cn?9Cn???3n?1Cn? . 123n解：设Sn?Cn，则?3Cn?9Cn???3n?1Cn12233nn012233nn3Sn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3???Cn3?1?(1?3)n?1(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：利用通项公式求x的系数； 例：在二项式(4n132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2n?22解：由条件知Cn?45，即Cn?45，?n?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由

Tr?1?C(x)r10?1410?r(x)?Cx23rr10?10?r2?r43，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 4363则含有x3的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。

19)展开式中x9的系数？ 2x111r解：Tr?1?C9(x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3

2x22132139故x的系数为C9(?)??。

22练：求(x2?题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？

解：Tr?1?C(x)r10210?rr4551r20?58182，令2得r?8，所以T9?C10()? 0?r?0，()?C()x2256222x1rr1016)的展开式中的常数项？ 2x1rr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6，令6?2r?0，得r?3，所以(2x)6?r(?1)r()r?(?1)rC62()x2x2练：求二项式(2x?3T4?(?1)3C6??20

1n)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____. x1442n?12(x2)n?4()4?Cnx解：T5?Cn，令2n?12?0，得n?6.

x练：若(x2?题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式(x?3x)9展开式中的有理项？

r解：Tr?1?C9(x)129?rr(?x)?(?1)rC9x13r27?r6，令

27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6所以当r?3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x2?13x21)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.

解：设(x2?3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,

令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,② 将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1, 有题意得，?2练：若(3n?1??256??28，?n?9。

151n?2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 xxn?10242r132r?1解：?Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn???Cn?????2n?1，?2?1024，解得n?11

61?16515?415 所以中间两个项分别为n?6,n?7，T5?1?C()(2)?462?x，T6?1?462?x

xx53n题型六：最大系数，最大项；

例：已知(?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二

项式系数最大项的系数是多少？

465解：?Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数

12354134,，T5的系数?C7()2?70,当n?14227177时，展开式中二项式系数最大的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。

23最大的项是T4和T5?T4的系数?C7()423?12练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1 ?Tn?1，也就是第n?1项。

练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3xn?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于2解：只有第5项的二项式最大，则

1C86()2?7

2例：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大

343434值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。

n例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？

12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，?(?2x)12121?()12(1?4x)12 2rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化简得到9.4?r?10.4，又?0?r?12，?r?10，r?1r?1A?A??r?1r?2?C124?C124展开式中系数最大的项为T11,有T11?()C124x练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？

r解：假设Tr?1项最大，?Tr?1?C10?2rxr

1212101010?16896x10

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化简得到6.3?k?7.3，又?r?1r?1?r?1?2(10?r)?Ar?1?Ar?2??C102?C102,777?0?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C102x?15360x7.

题型七：含有三项变两项；

例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？

r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的

1144展开式中才有x的一次项，此时Tr?1?T2?C5所以x得一次项为C5(x2?2)43x，C423x 144它的系数为C5C423?240。

05145051455解法②：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)

4554 故展开式中含x的项为C5xC52?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.

练：求式子(x?1?2)3的常数项？ x解：(x?116?2)3?(x?)，设第r?1项为常数项，则xx6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2r3r，得6?2r?0,r?3, ?T3?1?(?1)3C6)?(?1)6C6x??20.

x题型八：两个二项式相乘；

例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数.

解：?(1?2x)的展开式的通项是C3?(2x)?C3?2?x,

nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4, 4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,13mmmmm342令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4

021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.

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