数学培优班题典五年级

专题一 速算与巧算

知识对对碰

做四则混合运算时，首先要全面审题，确定先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，弄清四则混合运算的运算顺序至关重要。另外，要全面观察题目的结构、特征，分析题目中数与数之间的运算关系，能运用定律、性质的应尽可能选择简便方法。最后，计算时要做到做完一步，验算一步，以保证计算的准确性。

四则混合运算题根据不同的题型有不同的速算技巧，包括加项法、拆项法、基准数法、凑整法等。 名题典中典13520028669

例1(★) 计算 : 2002 + 98 + 997 + 9996 + 99995

例2(★)计算 :2002 -1999 +1996 -1993 +1990 -1987 +?+16 -13 +10 -7 +4

例3(★)计算:(1 +3 +5 +?+2001) - (2 +4 +6 +?+2000)

例4(★)计算：13×14

例5(★)计算: 0.45 – [10 - (0.2 +6.37 +0.7)]×0.5

例6(★)计算：0.45?[4.85?(3.8?1.9)?3.6?1.56?2.07]

例7(★★)计算:999999×777778 + 333333×666666

例8(★★)计算: ( 1234567 + 2345671 + 3456712 + 4567123 + 5671234 + 6712345 +7123456)÷7

例9(★★ )计算:(1+0.23 +0.34) ×(0.23+0.34+0.65) - (1+0.23+0.34 +O.65) ×(0.23 +0.34)

例10(★★)计算：

例11(★★★)计算：

1111 ???10?1212?1414?1616?1811111 ????1?2?32?3?43?4?54?5?65?6?7

魔法训练营

1．计算：(1×2 ×3×4×?×9×lO×11)÷(27×25×24×22) 2．计算：3.6×42.3×3.75 -12.5×0.423×28

3．计算：(10.5×11.7×57×85) ÷(1.7×l.9×3×5×7×9×ll×13×15) 4．计算：4?55．计算：16．计算：

34567?5?6?6?7?7?8?8?9 456781111 ?3?5???1951?2?32?3?43?4?598?99?1001111 ?????1949?19501950?19512003?20042004579i1131517197．计算：1????????

6122030425672908．计算：1?2?7111 ????7?1212?1797?1029.计算 : 1.234×3456.7 + O.1234×12345 + O.1234×53088

10.计算:(1 +0.12+0.23)×(0.12 +0.23+0.34) - (1+0.12 +0.23 5-0.34) ×(0.12 +0.23) 11.计算:12.5 ×69+53×3.1+72×3.1

专题二 小数的速算与巧算

知识对对碰

小数的速算与巧算，除了可以灵活运用整数四则运算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题，善于观察题目中数字的特征，灵活地运用小数的性质及运算性质、运算技巧，确定合理简便的算法。 常用的运算技巧

1. 一个数×5=这个数÷2×10 一个数×25=这个数÷4×100 一个数×125=这个数÷8×1000 2. 一个数÷5=这个数×2+10 一个数÷25=这个数×4+100 一个数÷125=这个数×8÷1000

名题典中典

例1(★)计算:2.71 +4.56 +5.44 +7.29

例2(★)计算:4.75 +(2.25-3.5+5.9)

例3(★ )计算:0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9

例4(★)计算：l.125 +2.125+3.125+4.125+5.125+?+50.125

例5(★)计算:0.125×0.25×0.5×64

例6(★)计算：8.6×99+8.6

例7(★)计算: 1990×198.9 - 1989×198.8

例8(★)计算：1.25?67.875?125?6.7875?1250?0.053375

例9(★)计算：1?4?8?0.25?1.25

例10(★)计算：813?1375?3.01?13.75?0.261?1.375

例11(★★)比较下面两个积的大小：A?5.4321?1.2345B?5.4322?1.2344

例12(★★)计算：0.625??0.?625????0.?625??8???????8?2?2???????2 ?????????????8??10个0.6259个88个2

魔法训练营

1.计算 :5.76×1.1+57.7×0.8

2.计算:ll×22 +0.22×3300 +330×4.4+0.044×55000

3.计算:(1+1.2)+(2+1.2×2) +(3+1.2×3) +?+(99+1.2×99)(100 +1.2×100) 4．计算：0.1??0.1??0.1??0?.1?0?.1?0?.1?????0.1 ????????50个0.15.计算 :2000×199.9 - 1999×199.8

6．在□内填人一个数，使得下列等式成立。 0.27×1.5+□×1.5+1.5×0.32=0.77×1.5 7．比较下面两个积的大小：

A =9.876543×3.456789 B=9.876544×3.456788 8．计算：9999.8 ÷4+999.8÷4 +99.8÷4+9.8÷4.

9．计算：111111.1÷6+11111.1÷6+1111.1÷6+111.1÷6+11.1 ÷6+1.1÷6 10.计算：36×2.54+1.8×49.2

11.如果把0.0000025记作0.00a+b和a×b????025,下面有两个小数，a?0.00????025,b?0.00????04,求：??????5个02001个02003个0的值。

12. 31.719×1.2708的整数部分是多少？

13. 0.1÷(0.2÷0.3) ÷(0.3÷0.4) ÷(0.4÷0.5) ÷(0.5÷0.6) ÷(0.6÷0.7) ÷(0.7÷0.8) ÷(0.8÷0.9) =________.

14.1!+2!+3!+4!+?+2008!的末两位数字之积是_______。

15.(1+4.72+5.89) ÷(4.72+5.89+6.90) -(1 +4.72+5.89+6.90)×(4.72+5.89)=________。

专题三 数的整除特征

知识对对碰

1.常见数整除的特征

(1)能被11整除的数的特征。奇位数字之和与偶位数字之和相减（以大减小）的差是11的倍数。 (2)能被7（11或13）整除的数的特征：最后三位数与其余各位数所组成的数相减（以大减小），所得差是0，这个数既能被7整除．；也能被11（或13）整除。如果所得的差是7（11或13）的倍数，这个数就能被7（11或13）整除。

(3)能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和为3（或9）的倍数。 (4)能被4（或25）整除的数的特征：末两位数为4（或25）的倍数。 (5)能被8（或125）整除的数的特征：末三位数为8（或125）的倍数。 (6)能被6整除的数的特征：这个数既是2的倍数，又是3的倍数。 2.数整除的性质

(1)如果数a，b都能被c整除，那么(a+b)与（a-b）也能被c整除。 (2)如果数a能被数b整除，c是整数，那么口c也能被b整除。

(3)如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。

(4)如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

名题典中题

例1(★)判断25102能不能被7或11或13整除。

例2(★)在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除。

例3(★)自然数N由两种数字O和8组成，且是15的倍数。当N可能小时，它是15的多少倍？

例4(★)在685后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合条件的最小六位数是多少？

例5(★)已知一个五位数□l691□能被55整除，那么符合题意的五位数是几？

例6(★★)四个学生同时做加法练习，老师在黑板上写出了一个六位数，然后把它的个位数字（不等于0）拿到这个数最左边得到一个新的六位数，老师要求将这个新得的六位数与原来的六位数相加，结果，他们四个人的得数分别是172536，568741，620708,845267。问：在这些答案中哪一个可能是正确的？为什么？

例7(★★)试将1，2，3，4，5，6，7分别填人下面的方框中，每个数字只用1次：

7□1□4（这是一个三位数） □

□□□（这是一个三位数） □（这是一位数）

使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是714。

例8(★★★)三个连续自然数在100～ 200之间，其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，试写出所有这样的三个自然数。

例9(★★★)如果下面这个41位数555???5?999???9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？ ??????????20个520个9

例10(★★★)用0，1，2，?，9十个数字，各用1次，组成一个十位数。将这个十位数依次分成三段，每一段不少于三位数。第一段的数分别能被1，2，3整除；第二段的数分别能被4，5，6整除，第三段的数分别能被7，8，9整除，那么第一段的数是多少？（只要求写1个答案）

魔法训练营

1．在25□79这个数的口内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填____。 2．在下式□中分别填入三个质数，使等式成立。 □+□+□=50

3．有55块糖分给甲、乙、丙三个人，甲分的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分到糖多少块？

4．把7，14，20，21，28，30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。 5．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数51x，求x是多少。

6．用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除??前九位能被9整除。已知第七位是7，求这个九位数。

7.173□是个四位数，在□中先后填人三个数字，所得到的三个四位数依次可被9，11，6整除，问先后填入的三个数字的和是多少。

8．在□内填上合适的数，使五位数7□36□能被15整除，共有几种不同的填法？

9．小明的妈妈要到银行去取钱，可是她忘了存折的密码，她记得密码是六位数，头三位是586，而且这个六位数能同时被3、4、5整除，且是符合条件中最小的一个。聪明的同学们，你能帮助小明的妈妈回忆起存折的密码吗？

10.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？

专题四 质数、合数及分解质因数

知识对对碰 1.概念

质数：一个数除了1和它本身没有别的约数，这个数叫做质数，如5，7，29。 合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，如20，45，30。 互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示，叫做分解质因数。如12=2×2×3。这时2和3都是12的质因数。 2.性质

(1)任何大于1的合数都能表示成质数的乘积。 (2)1既不是质数，也不是合数； 质数有无限多个； 最小的质数是2；

在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数； 每个质数只有两个约数：l和它本身。

(3)如果一个质数是某个数的约数，就说这个质数是这个数的质因数。 (4)合数有无限多个； 最小的合数是4；

每个合数至少有三个约数。

(5)如果把相同的质因数合并为它的幂，则任意大于1的整数N只能唯一地表示成：

rnr1r2N?P它们分别是P1，P2，?，Pn的指数），此式称为Ⅳ的标准分解式。 1?P2????Pn;(r1,r2,???rn是自然数，

3.分解质因数的方法

主要是短除法（在小学阶段），试除时一般从最小质数开始。

名题典中典

例1(★)连续9个自然数中至多有几个质数？

例2(★)边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种？

例3(★)某小学六年级(4)班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组。老师与学生每人种同样棵数的树，一共种了364棵。问六(4)班有学生多少人，每人种树多少棵？

例4(★)五个相邻自然数的积是55440，求这五个自然数。

例5(★★)如图4-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上一个质数，它们的和是20，且每个小三角形顶点的数之和相等。问这6个质数的积是多少？

例6(★★)100×101×102×?×2001×2002的末尾有多少个连续的0？

例7(★★)已知p?q?1?x，其中p、q为质数，且P、q均小于1000，x奇数，求x的最大值。

例8(★★)a、b、c都是质数，如果(a +b)×(b+c) =342，求a、b、c。

例9(★★)问360中共有多少个约数。

例10(★★)一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个平方数。

例11(★★)把后面8个数14，30，33，35，39，75，143，169等分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

例12(★★★)已知a×(b+c)=209，请把a,b,c各换成一个质数，使前面的等式成立。

魔法训练营

1.2340有多少个约数？

2．有两个质数的和是33，求这两个质数的积。

3．四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次、他的年龄、他得的分数三项的乘积是2910，这个学生得第几名？分数是多少？

4．已知自然数1111155555是两个连续奇数的积，这两个连续奇数的和是多少？ 5．原价5元一本的书，降低几角钱出售，共得款235元。那么售出书多少本？

6．有两个质数，它们的和既是一个小于100的奇数，又是13的倍数，这是两个怎样的质数？ 7．a与b是两个大于1的自然数，a+2b，a+4b，a+6b，a+8b，a+10b都是质数。则a+b=____。 8．两个相邻自然数的积是1980，求这两个相邻的自然数。

9．在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字，被盖住的四个数字的总和是多少？

10.在乘积1000×999×998×?×3×2×l中，末尾连续有多少个零？

11.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成几个质数？ 12.有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且这三个自然数的乘积是15400，求这三个自然数。

专题五 最大公约数和最小公倍数

知识对对碰

1. 基本知识

(1)约数与最大公约数 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。 自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。 如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。 自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。 (2)倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10] =20。 (3)求解方法

①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 ②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。 2.性质

(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。

(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。 (3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

(4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。

例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？

例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？

例4(★)在1500 -8000之间能同时被12，18，24和42四个数整除的自然数共有多少个？

例5(★)将一块长3.57米，宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）

例6(★)加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个零件，第三道工序每个工人每小时可完成15个零件，要使加工生产均衡，试设计三道工序工人人数的分配方案。

例7(★★)有3根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.6倍，是第三根的一半，第三根比第二根长220厘米。现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段。

例8(★★)四(1)班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出1人，如果每4人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人。问：这个班至少有多少个学生？

例9(★★)一支队伍不超过1000人，列队时分别按2人、3人、4人、5人、6人一排，最后一排都缺1人，改为7人一排时正好。问：这支队伍共有多少人？

例10(★★)用自然数a去除374，410，464，得到相同的余数。a最大是多少？

例11(★★★)两个自然数的差是27，它们的最大公约数与最小公倍数的和是1179。那么这两个数的和是_________。

魔法训练营

1．A、B两个数都恰恰只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？

2．有12分米长的铁丝12根，18分米长的铁丝9根，24分米长的铁丝10根。现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，铁丝长是多少分米？可以截成多少根？

3．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干小学生。学生人数在30～ 50之间，分到最后余铅笔13支、橡皮8块，问小学生究竟有多少人。

4．把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5:3的长方形纸，且没有剩余，问最少可截成几张。

5．现有252个红球，396个蓝球，498个黄球。把它们分组装在n个袋子里，要求每个袋子里都有红、黄、蓝三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相同，黄球数相同，蓝球数也相同。求n最大是几。 6．一箱鸡蛋，两个两个数、三个三个数、四个四个数、五个五个数、六个六个数均多出一个，如果七个七个数正好数尽，问这箱鸡蛋至少有多少个。

7．六年级学生参加植树活动，人数在30和50之间。如果分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组，都恰好分完。六年级参加植树活动的学生有多少人？

8．用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块多少块？

9．某班学生参加一次考试，成绩分为优、良、中、下四等。已知该班有得良，有

11的学生得优，有的学生231的学生得中，其余学生得下。该班学生人数不超过60人，该班得下的学生有多少人？ 7 10.从甲地到乙地原来每隔45米安装一根电线杆，加上两端的共53根。现在改为每隔60米安装一根，除两端的两根不必移动外，中间还有多少根不必移动？

11.甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛，学校用汽车把学生送往考场。甲校用的汽车，每车坐15人；乙校用的汽车，每车坐13人，结果甲校比乙校少派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，乙校又要比甲校多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛。

12.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟既响铃又亮灯，问：下一次既响铃又亮灯是几时？

13.大雪后的一天，小飞和爷爷共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，小飞每步长48厘米，爷爷每步长72厘米，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下40个脚印，求花圃的周长。

14.有两个油桶，一个容积为27升，另一个容积为15升，只利用这两个油桶怎样从一个大油桶中倒出6升油来？

逻辑学的用处

有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”

“当然是脏的那个。”学生说。

“不对。脏的那个看见对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会去洗澡！” 这就是数学家的逻辑学。

专题六 带余除法及同余

知识对对碰

1.如果a是整数，b是自然数，必有唯一的整数q和唯一的整数r,使得： a =b×q +r(r

其中r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。

一个整数a除以自然数b时的余数只有0，1，2，3，?，b-1这b种可能。

2.在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么，余数也能被这个自然数整除。 3.在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。 4.如果两个整数a,b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a,b对于m是同余的，记作a≡b( modm ) 5.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。

6.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 7.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

8.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。这个余数也叫做这个数的“弃九数”或“九余数”。

9.同余的主要性质： (1)反射性a≡( modm);

(2)对称性若a≡b(modm )，则b≡a( modm ) ;

(3)传递性 若a≡b(modm), b≡(modm) ,则a≡c(modm) ;

(4)若 a≡b(modm ),c≡d(modm) ,则a+c≡b+d(modm), a-c≡b-d(modm), ac≡bd(modm)

名题典中典

例1(★)一排吊灯，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，6个6个地数剩5个，这排吊灯至少有多少个？

例2(★)四盏灯如图6-1所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色??，这样一直进行下去，请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

例3(★)523除以一个数所得的不完全商是10，并且除数与余数的差是5，求除数和余数。

例4(★)自然数m除13511、13903和14589，余数都相同，m的最大值是多少？

例5(★★)一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

89

例6(★★)求143除以7的余数。

例7(★★)555????55?73的余数是多少？ ????555个5

例8(★★★)70个数排成一排，除了两头的两个数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，?问：最右边的一个被6除的余数是几？

例9(★★★)两个代表团从甲地乘车到乙地。每辆车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的成员15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。会后，第一个代表团的每个成员分别与第二个代表团的每个成员都拍一张照留念。如果每个胶卷可拍35张照片。那么第一个代表团的每个成员拍完照片后，相机中的胶卷还可拍几张照片？

魔法训练营

1．一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是_______。

3

2. 1998除以7余数是( ) A．1B.2 C.3 D．6

3．求乘积34×37 ×41×43除以13所得的余数？

364

4．今天是星期五，再过365天是星期几？

5．用一个正整数去除另一个整数，商是33，余数是52，已知被除数、除数、商、余数的和是2143，求被除数和除数各是多少。

6．某班学生分组做游戏，如果每3人一组就多出2人，如果每5人一组就多出3人，如果每7人一组就多出4人，问这个班至少有多少个学生。

7．四位数2 □ 81被17除余3，则百位数字□应该代表几？

8．一个两位数被它的各位数字的和去除能得到的最大余数是多少？

9．两个整数相除，商是12，余数是8，并且被除数与除数相差822，求这两个整数。

10.小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰好相同，那么，该题的余数是多少？

11．一个布袋中装有小球若干个，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个，布袋中至少有小球多少个？

12.所有自然数如图6-2排列，问300位于哪个字母下面。

55553333

13.求3333+ 5555被7除的余数。

添添看

在“999”中添一个数字，使形成的四位数可以被四位数“1357”整除。你知道这个数字是几吗？ 好，告诉你，它是“4”，即“9499”。 验证：9499÷1357 =7

在“888”中添上两个数字，形成的五位数可以被“1357”整除，有趣的是得数就是你所填写的那两个数构成的两位数。 好了，你来添添看！

专题七 分数计算

知识对对碰

1. 有关概念

最简分数：分子和分母是互质数的分数叫做最简分数，也叫做既约分数。

分数化简：根据分数的基本性质，把一个分数化为最简分数的过程，叫做分数化简。 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的公约数（1除外），化成与原来分数相等的分数，这种运算叫做约分。

2.分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值的大小不变。 分数的基本性质是通分的基础和依据。 3. 约分方法

(1)逐次约分法。把分数的分子和分母逐次除以它们的公约数，直到得出一个最简分数为止。 (2)一次约分法。把分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，就得到一个最简分数。

(3)辗转相除法。当分子和分母都比较大时，一般先用辗转相除法求它们的最大公约数再约分。 4. 比较分数的大小

bdbd和来说，如果bc?ad，则?; acacbd如果bc?ad，则?;

acbd如果bc?ad,则?。

ac对于分数

名题典中典

例1(★)一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母不变，分数值会发生什么变化？如果分数的分母扩大为原来的2倍，分子不变，分数值会发生什么变化？

例2(★)计算：625?379?(

例3(★)计算：(

例4(★)化简：

例5(★)化简：

例6(★)计算：

4?0.01) 251153??)?48 1264252525252252 ?5255255252521?2?3?2?4?6?4?8?12?7?14?21

1?3?5?2?6?10?4?12?20?7?21?3512?3?564?78

例7(★)把下面各分数化成小数。

917112411

20202525125例8(★)比较

3333122224和的大小。 33335222274，求原分数。 5例9(★)一个真分数，分子、分母是两个连续自然数，如果分母加3，这个分数是例10(★★)分母是1998的最简真分数有多少个？ 例11(★★)比

21大，比小，分子是17的分数共有多少个？ 73魔法训练营

1．写出所有分子是l，分母是两位数，而且只能化成不循环部分有一位数字、循环节最少位数是2的混循环小数的分数来。

2．指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？有限小数的位数、不循环部分数字的个数、循环节最少位数各是几？

47558833 ,,,,,505371277144011111 ??????1?32?43?54?698?100198919884．不求值比较1991和19921989?19891988的大小。 ?199019901991199019912943375．要使成立，那么A最多可能表示为多少个不同的自然数？ ??37A4334171001516．在分数,,中，最大数是哪一个？ ,,79352013012181911523477．比较和的大小。

6543214567893．计算：

8．比1大，比2004小，分母是10的最简分数有多少个？ 9．观察下面一串分数：

171121231234，则是第几个分数？ ,,,,,,,,,,?30121321432110.分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？

11.分母是20的所有最简真分数的和是多少？ 12.化简：

1?2?3?2?4?6?3?6?9?4?8?12?5?10?15

1?1?2?2?2?4?3?3?6?4?4?8?5?5?1013.化简：

100个2003?????????2003?20032003?200320032003???200320032003?2003

2004?20042004?200420042004???200420042004????2004????????100个200414.分子与分母都是不为0的自然数，而且分子、分母的和是十位上数字为2的两位数的质数，如果分母增加17，则得到的新分数化简后得15．

1，求原来的分数？ 7a?7是最简真分数，a可取的整数有多少个？请写出从小到大排的第五个数。 48

专题八 完全平方数

知识对对碰 1.基本概念

一个数如果是某一个整数的平方，那么就称这个数为完全平方数。 完全平方数具有下列性质

性质1：任何一个完全平方数的个位数字只能是0、1：4、5、6、9。 性质2：个位数字是2、3、7、8的数一定不是完全平方数。 性质3：奇数平方的十位数字必是偶数。

性质4：个位数字与十位数字均为奇数的数一定不是完全平方数。 性质5：完全平方数被2或3或4除的余数是0或1。 性质6：完全平方数被8除的余数为0或1或4。

性质7：在相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数。 2.判断完全平方数的方法

(1)完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。 (2)完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

(3)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数。 (4)末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数。

(5)个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 (6)任何偶数的平方一定能被4整除。

(7)任何奇数的平方被4（或8）除余1，即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 (8)一个完全平方数被3除的余数是0或1。 即被3除余2的数一定不是完全平方数。 名题典中典

例1(★)试问：在324，897，211，247，546中，哪些数是完全平方数？ 例2(★)用300个2和若干个O组成的整数有没有可能是完全平方数？

例3(★★)已知一个自然数减去50是一个完全平方数，而这个自然数加上39也是一个完全平方数，求这个自然数。

例4(★★)能否找到一个自然数n，使得n和n+2004都是完全平方数。

例5(★★)一个四位正整数，加上400后就成为一个自然数的完全平方数，这样的四位数的个数是（ ） A. 8 B. 32 C. 64 D. 128

例6(★★)已知一个自然数的平方的十位数字是6，求这个平方数的个位数字是多少。 例7(★★)下式中的“香港”，“中国”均代表一个两位自然数，那么香港=________，中国=__________。

22

（香港）+1997=（中国）+1949

例8(★★)试证明在11，111，1111，?中没有完全平方数。

例9(★★★)一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个平方数正好是四位数的前两位数加1后平方。试写出所有具有上述性质的四位数。

魔法训练营

1．试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。

2．有两个数，它们各个数位的数字从左到右越来越大，其中一个六位数是另一个数的平方，求这两个数。

3．求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。 4．能不能找到自然数n，使凡，n +97都是完全平方数？ 5. 2904是否为完全平方数？

6．有多少个小于2004的数，使得它们与72相乘均为完全平方数？ 7．试证不论o、6是什么整数，35a -45b +2都不可能是完全平方数。

高僧下棋

在古代印度，一位高僧十分精通棋术，国王正好也喜欢下棋。有一天，国王把这位高僧召到宫里，要与他对奕。国王对他说：“听说你棋术十分高超，所以把你请来与我下棋。你不要因为我是国王就不敢赢我，你要拿出真本事来。如果你赢了我，我可以答应你提出的任何条件。”高僧说：“既然陛下恩准，我就斗胆与陛下下上几盘。不过如果我赢了你，我只有一个小小的要求。”国王说：“刚才我说了，你可以提任何条件，我将满足你的要求。”高僧说：“我的要求很简单，这棋盘上不是有64个格吗？我赢你一盘，你在第一个格给我一粒米，赢两盘，第二个格里给我两粒米，赢三盘，给我四粒米，四盘给我八粒米??每一盘都比前一盘多一倍，直到这第六十四格。”国王一听哈哈大笑，说：“这还不容易，我国库里有的是米，这点米连九牛一毛也没有。”高僧说：“陛下可不要反悔。”国王说：“一言为定。”于是两人就下起棋来，结果高僧赢了30盘。 你猜国王应该给高僧多少米？

专题九 棋盘中的数学

知识对对碰

所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘(如图9-1(1)) ，围棋盘(如图9—1(2))，还有国际象棋棋盘(如图9-1(3)) 。以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称为棋盘中的数学。

名题典中典

例1(★★)这是一个中国象棋盘，（图9-2中小方格都是相等的正方形，“河界”的宽等于小正方形的边长）黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置。 问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？

例2(★★)如图9-4是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个方阵时，尚余12枚棋子，如果要将这个方阵改摆成每边各加一枚棋子正方阵，则差9枚棋子才能摆满。问：这堆棋子原有多少枚？

例3(★★)如图9 - 6(1)是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入。请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。

例4(★★)国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子（中间没有棋子的情况下），如图9 -7(1)上虚线所示。如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉。那么，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？

例5(★★)如图9-8是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制二下（要符合象棋规则，“相”走“田”字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置。“马”走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）。

例6(★★★)如图9 - 10(1)，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它可以向前移一步到8，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种不同的走法。

例7(★★★)围棋盘上横竖各有19条线（如图9 -12），在棋盘上组成许多大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘面积的

1）。 4魔法训练营

1. 如图9-16是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？

2．如图9 -17是象棋盘的一部分，一个小卒过河后沿最短的路线走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法。

3．如图9 -18表示某城市的街道图，若从A走到日（只能由北往南，由西向东），问共有多少种不同的走法。

4．图9 -19是一个道路图，4处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C?

5．如图9 -20，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子为顶点的正方形共有多少个？

6．从8x8的方格棋盘（图9-21）中取出一个由三个小方格组成的“L”形（种不同的取法。

，可旋转），问有多少

7．如图9 -22在5x5棋盘格中，共有多少个正方形？

8．图9 -23中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

数学家刘徽

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要的地位。他的杰作《九章算术》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但在此之前因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率是3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。

《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。

刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

专题十 平面图形的面积

知识对对碰

1.常她图形的面积

(1)三角形面积=底×高÷2

S三角形?ah?2

(2)平行四边形面积=底×高

S平行四边形?ah

(3)梯形面积=（上底+下底）×高÷2

S梯形?(a?b)h?2

(4)长方形面积=长×宽

S长方形?ab

(5)正方形面积=边长

2

S正方形?a2

(6)圆的面积=??半径

2S圆??r2

(7)菱形的面积=两条对角线乘积的一半

1AC?BD 2圆心角度数??r2(8)扇形面积=

360n?r2 S扇形?360S菱形?(9)环形面积=?×（大圆半径-小圆半径）

2

2

S环形???(R2?r2)

2.常用性质

(1)等底等高的三角形面积相等。

(2)高不变，底扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一），三角形面积就扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一）。

(3)底不变，高扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一），三角形面积就扩大（或缩小）为原来的多少倍（或几分之一）。

(4)高相等的两个三角形的面积比等于它们的底之比，类似地，底相等的两个三角形的面积比等于它们的高之比。

名题典中典

例1(★)正方形ABCD的面积是16平方米(见图10 -1)，E、F分别是AB和BC的中点，求梯形AEFC的 面积是多少。

例2(★)图10 -2是平行四边形，面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2

例3(★)如图10 -3所示，△ABC中，BD=3AD，AE=EC，S△ADE=6cm，求S△ABC。

例4(★)有一个等腰梯形，底角为45上底为8厘米，下底为12厘米，如图10 -4所示，求这个梯形的 面积是多少平方厘米。

例5(★)如图10 -5，在正方形ABCD中，△ABE的面积是8平方厘米，它是△DEC面积的

?4，求正方形ABCD5的面积。

例6(★★)如图10-6所示，四边形ABCD和四边形EFDG都是平行四边形，证明它们的面积相等。

例7(★★)如图10 -7(1)矩形被分成A、B、C、D四个小矩形。已知A的面积是2平方厘米，日的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米，问原矩形的面积是多少。

例8(★★)如图10-8所示，在边长为8厘米的一个正方形内，以正方形的三条边为直径向正方形内作三个半圆。求阴影部分的面积。

例9(★★)如图10 -9，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。，(?取3）

例10(★★)一条正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有两道彩条，其他部分为白色，如图10 - 10(1)所示，彩条宽都是2厘米，问这条手帕白色部分的面积是多少平方厘米。

例11(★★)将长15厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连接，如图10 -11(1)，求阴影部分的面积。

魔法训练营

1．如图10-12，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。(?取3.14）

2．如图10 -13，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米，求阴影部分的面积。

3．如图10 - 14，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米，求CE的长。 4．如图10-15，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。求长方形的长、宽各是多少。

5．如图10 - 16，?ABCD的底边长BC=10，直角三角形BCE的直角边长EC=8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10。求CF的长。

6．已知正方形ABCD的边长为10厘米，过这个正方形的四个顶点可作一个大圆，过它的各边中点可作一个小网，此时再将正方形的对边中点用直线连接起来，得到网10-17，那么图中阴影部分面积是多少？ 7．如图10-18，A，B是两个扇形的圆心，那么两个阴影部分的面积差是多少？

8．如图10 -19，在一个直角边长分别为3和4，斜边长为5的直角三角形上作三个半圆，求阴影部分的面积。

9．将正面是红色，背面是白色的纸剪成一个直角三角形ABC（如图10 - 20）盖在桌面上，然后将A向上折叠使A与C重合，这时红色部分的面积为5.25平方分米，盖住桌面的面积比原来减少了9. 375平方分米，BD =4.8分米，问折痕的长度是多少分米。

1O.用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图10 -21所示拼成一个直角三角形。问红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？

专题十二 长方体、正方体的体积

知识对对碰

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 (1)长方体体积=长×宽×高

V长方体?abc

(2)正方体体积=棱长×棱长×棱长

V正方体?a3

2.求不规则物体的体积

如果我们碰到不规则的物体要求体积，只要用一个长方体的水箱，把不规则的物体完全浸没在水中，水箱中水上升的体积就是这个不规则物体的体积，从而解决立体图形有关问题中的体积转化。 解这类题的基本公式：

水中物体的体积=容器的底面积×水上升或下降的高度 水上升或下降的高度=水中物体的体积÷容器的底面积 容器的底面积=水中物体的体积÷水上升或下降的高度

（本节中提到容积时，容器的各边长与面积均指容器内部测量数据）

名题典中典

例1(★)一只长方体包装箱，从里面量长60厘米，宽50厘米，高40厘米，内装300个药瓶（包装箱正好装满），平均每个药瓶占箱子多少立方厘米的容积？

例2(★)一个正方体油箱里面装满了油，容积是216立方分米，把这一箱油倒入另一个长方体油箱内，已知长方体油箱长9分米，宽6分米，这个长方体油箱中油深多少分米？

例3(★)在一只长为40厘米，宽为25厘米，水深为20厘米的玻璃鱼缸中放入一个棱长为10厘米的正方体铁块（完全浸没），水可上升到多少厘米？

例4(★)一个底面是正方形的长方体木箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是60厘米的正方形，求这个木箱的体积。

例5(★)有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？

例6(★)一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？

例7(★)某工厂要做150个棱长为0.8米的无盖正方体硬纸箱，那么，做这些纸箱至少要用多少平方米的硬纸？这些纸箱容积和是多少立方米？

例8(★)如图12 -1，有一个棱长为3厘米的正方体，在正方体的上底面向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0．5厘米的小洞，再在小洞中向下挖一个棱长为0. 25厘米的小洞，求此时这个物体的体积。

例9(★)在长为16厘米，宽15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。如果把石头取出来又放人一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。

例10(★★)一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？

魔法训练营

1．在桌面上摆放着一些完全一样的正方体积木，摆完后从前面看为图12 -2(1)，从左面看为 图12 -2(2)。要摆出这个样子最多要用多少块积木？最少需要多少块积木？

2．一个长方体的正面和上面的面积之和是209平方厘米。这个长方体的长、宽、高都是整数厘米，且都是质数。这个长方体的表面积和体积各是多少呢？

3．一个长方体水箱内装满水，现有大、中、小三个钢球，第一次把小球沉入水箱中，第二次取出小球把中球沉入水箱中，第三次取出中球把小球和大球一起沉入水箱中，如果每次从水箱中溢出的水量情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问大、中、小钢球的体积比是多少。

4．如图12 -3，一个正方体，日、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点，现在沿三角形GFH所在的面锯掉一个角。问锯掉的体积是整个正方体体积的几分之几。

5．青青小朋友用棱长1厘米的小正方体摆成如图12 -4的形体，请帮他算出这个形体的表面积和体积。

6．有一棱长为20的大正方体，在它的每个角上各作一个小正方体，这样得到8个小正方体。在这些正方体中，上面四个的棱长为12，下面四个的棱长为13，求所有这8个小正方体公共部分的体积是多少？ 7．一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米？ 8．图12 -5是一辆汽车模型纸平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸。将该图剪下折叠粘合（相同字母标记处粘合在一起），作成汽车模型的体积为V。请回答：①403

9．如图12 -6，长方体的一个面上挖去了一个小长方体，剩下部分的体积是多少？（单位：厘米）。

10.如图12 -7，A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是4米。现在要把A处的土堆到B处，使A、B两处同样高。这时B处比原来升高多少米？

11.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。求原长方体的体积是多少。

12.一个长方体的长、宽、高的比是4:3:3，然后把这个长方体的长、宽、高都扩大为原来的相同的倍数后，体积比原来增加了7倍，棱长总和比原来多100厘米，这个长方体扩大后的体积是多少立方厘米？ 13.有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米且现在是空的，乙缸长4分米，宽2分米，里面水深1.5分米。现把乙缸中的水倒人甲缸，水在甲缸中深多少分米？

14.有大、中、小三个池口都是正方形的长方体水池。它们的池口边长分别为6分米、3分米、2分米。现在把两堆碎石分别沉人中、小池内，这两个水池的水面分别上升6厘米和4厘米（碎石完全浸没且水没有溢出）。如果把这两堆碎石都沉人大水池内，那么大水池水面将上升多少厘米？（得数保留整数）

专题十三 图形分割与切拼

知识对对碰

1.图形的分割与拼补

把一个图形按照某种条件分成几个图形，就叫做图形的分割。反过来，把几个图形按照一定的条件拼成一个图形，就叫做图形的拼补。研究图形的切拼，不但可以增强对几何图形的直观感和判断能力，丰富对图形的空间想象能力，提高思维能力，而且也有一定的实用价值。因此，我们掌握图形的拼补和分割很有必要。 2.定理

两个面积相等的多边形，可以将其中一个多边形切成有限的块数，拼成另一个多边形。

我们可以将任何一个多边形经过若干次分割后，再将它拼成一个另外的图形。按要求分割图形，要仔细观察图形特征，正确运用切割规律。通常要考虑图形的对称性，并可将图形进行适当的平移和旋转。 3.复杂图形面积的计算

计算一个复杂图形的面积，也要用到图形的分割和重组。图形分割重组的关键是分得合理，分割出来的图形和重新组合的图形一定是基本规则图形才行。

我们把不容易算面积的图形，转换成容易算面积的图形，且两个图形面积相等，数学上叫等积变形。 另外，在分割图形时一定要注意到图形的对称性，同时由于是均分图形，可以考虑通过计算面积来解决。

名题典中典

例1(★)一条长24厘米的绳子作相等的三折后，然后对折，再从中间剪一刀，一共剪成了多少段？每段长多少厘米？

例2(★★)用四种不同方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

例3(★★)桌面上摆着一些相同的正方体木块，从正南方向看如图13 -3(1)，从正西方向看如图13 -3(2)，要摆出这个样子，最多用多少块木块？最少用多少块木块？ 例4 (★★)一个六面都涂满红色的长方体，恰好能切成若干个棱长为1分米的正方体。现切得的正方体中有8个每个面都没有红色，那么，长方体的体积是多少？

例5(★★)将图13 -5切成大小相等，形状相同并且相连的4个部分，然后拼成一个正方形。

例6(★★)将如图13 -7中的图形分成三块形状相同．大小相同的图形。

例7(★★)现有一张5厘米长，1厘米宽的长方形纸片，请将它分成5块，使它能拼成一个正方形。

例8(★★)将图13 -11中的正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好都有1，2，3，4这四个数字。

例9(★★)图13 -15是一个正六边形，过A点在正六边形内引两条直线段，把正六边形分成面积相等的三部分。

例10(★★★)把图13 -18切分成两块，然后拼成一个正方形（每个小正方形的边长为1）。

魔法训练营

1．如图13 -21是一张3 ×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

2．如图13 -22，图中小正方形的边长为l厘米，请用此图形再拼成一正方形。 3．如图13 -23，一个直角梯形，请在它内部画一条直线，把它分成形状、大小部相等的两部分。（单位：厘米）

4．如图13 - 24，一个正三角形形状的土地上有四口水牛，要把这块地分成和它形状相同的四小块，要求每小块的面强相等，并且每一块中都要有一口水井。应该怎样分？

5．如图13 - 25所示，将图形分成大小、形状相同的四块，并且每块带一个★。

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