湖北省黄冈市武穴中学2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）

湖北省黄冈市武穴中学2015届高三上学期11月月考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．

等于( )

A．1 B．e﹣1 C．e+1 D．e

考点：定积分． 专题：计算题．

分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．

解答： 解：

（e+2x）dx=（e+x）|0=（e+1）﹣1=e

xx21

故选D．

点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值．属于基础题．

2．集合A=

A．[2，3] B．（1，2]

考点：交、并、补集的混合运算． 专题：计算题；函数的性质及应用．

，集合B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩?RB=( )

C．[3，8]

D．（3，8]

分析：由集合A=

={x|2≤x≤8}，故集合B={y|y=log2x，

x∈A}={y|1≤y≤3}，故CUB={y|y＜1，或y＞3}，由此能求出A∩CRB． 解答： 解：∵集合A=

={x|﹣x+10x﹣16≥0}={x|2≤x≤8}，

2

∴集合B={y|y=log2x，x∈A}={y|1≤y≤3}，

∴CUB={y|y＜1，或y＞3}， ∴A∩CRB={x|3＜x≤8}． 故选D．

点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的定义域的对数函数的性质的灵活运用．

3．下列说法中，正确的是( )

22

A．命题“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是真命题 B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

22

D．命题“?x∈R，x﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x﹣x≤0”

考点：特称命题；命题的否定． 专题：证明题．

分析：根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，先写出原命题的逆命题，然后判断出其真假；由命题p?q，则p是q的充分条件，q是p必要条件，可判断出B错误；当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，据此可知C错误；命题“?x∈R，结论p成立”的否定是“?x∈R，结论p的反面成立”，因此D正确．

解答： 解：A．命题“若am＜bm，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am＜bm”，∵m=0

22

时，am=bm，故其逆命题是假命题．

B．我们知道：当x∈R时，由“x＞2”?“x＞1”；而由“x＞1”不一定得到“x＞2”，故“x＞1”是“x＞2”的必要而不充分条件．

C．我们知道：当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，故C错误． D．由命题“?x∈R，结论p成立”的否定是“?x∈R，结论p的反面成立”，据此可知D正确． 故选D．

点评：此题综合考查了命题的逆命题、充要条件、“或”命题及命题的否定的真假．准确把握上述有关知识是解决好本题的关键．

4．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角为( ) A．

B．

C．

D．

2222

考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义． 专题：平面向量及应用．

分析：如图所示，由于两个非零向量|+|=|﹣|=2||，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可知：四边形ABCD是矩形，且

==cos∠BAC，进而得出．

解答： 解：如图所示，∵两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||， ∴四边形ABCD是矩形，且 ∴∠OBA=

．

==cos∠BAC．

∵∠COB=∠OAB+∠OBA． ∴∠COB=

．

．

∴向量+与﹣的夹角为故选：C．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系，属于中档题．

5．设a，b，c为正数，a+b+9c=1，则 A．

B．

C．

2

的最大值是( )

D．

考点：柯西不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：由柯西不等式可得[（

2

）+（

2

）+（3c）][1+1+（

2222

）]≥（1?

2

+1?+?3c）

，代入数据变形可得．

）+（

2

解答： 解：由柯西不等式可得[（（1?

+1?

+

?3c），

≤

2

2

）+（3c）][1+1+（

2222

）]≥

2

∴代入数据变形可得当且仅当

=

=

=，

时取等号，

且a+b+9c=1，即a=b=，c=

∴的最大值是

故选：C

点评：本题考查柯西不等式，准确变形是解决问题的关键，属基础题．

6．将函数y=cos（x﹣将所得图象向左平移 A．图象关于直线x=

）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再个单位，则所得函数具有性质是( ) 对称 B．图象关于

对称 对称

C．图象关于直线x=π对称 D．图象关于

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．

解答： 解：将函数y=cos（x﹣

）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标

），再将所得图象向左平移

个单位，则所得函

不变），得到函数解析式为y=cos（x﹣数y=cos（（x+

）﹣

）=cos（x﹣

），当x=π时，y=1，所以图象关于直线x=π

对称；

故选C．

点评：本题考查了三角函数图象的平移变换，本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．240

B．200

C．

D．

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：由几何体的三视图可知，直观图是底面是梯形的棱柱，梯形的上底为2，下底为8，高为4，棱柱的高为10，把数据代入棱柱的体积公式计算．

解答： 解：由几何体的三视图可知，直观图是底面是梯形的棱柱，梯形的上底为2，下底为8，高为4，棱柱的高为10，

∴几何体的体积为=200，

故选：B．

点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，确定直观图是解答本题的关键．

8．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax﹣x+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[﹣5，﹣3]

B．[﹣6，﹣]

C．[﹣6，﹣2]

D．[﹣4，﹣3]

3

2

考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．

专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．

分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．

32

解答： 解：当x=0时，不等式ax﹣x+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≥

3

2

，

令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），

当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，

f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax﹣x+4x+3≥0可化为a≤

3

2

，

由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；

综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]． 故选：C．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．

9．设F1，F2是双曲线一点P，使（为( ) A．

B．

+1

C．

D．

）?

=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在

=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率

考点：双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：取PF2的中点A，利用曲线的定义及勾股定理，可得结论． 解答： 解：取PF2的中点A，则∵（∴

⊥

）?

=0，∴2

?

=2，可得⊥

，从而可得PF1⊥PF2，利用双

=2=0

∵O是F1F2的中点 ∴OA∥PF1， ∴PF1⊥PF2， ∵|PF1|=|PF2|，

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（

222

∵|PF1|+|PF2|=4c， ∴c=|PF2|， ∴e==故选B

=

﹣1）|PF2|，

点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF1⊥PF2是关键．

10．已知数列{an}满足：a1=a﹣2a+2，an+1=an+2（n﹣a）+1，n∈N，当且仅当n=3时an最小，则实数a的取值范围为 ( ) A．（﹣1，3）

B．

C．（2，4）

D．

2

+

考点：数列递推式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：直接根据叠加法和数列的求和公式，求出数列的通项公式，进一步利用最小项与相邻项间的关系，通过解不等式组求出结果．

+

解答： 解：已知数列{an}满足：an+1=an+2（n﹣a）+1，n∈N， 则：an=an﹣1+2[（n﹣1）﹣a]+1

整理得：an﹣an﹣1=2[（n﹣1）﹣a]+1① 所以：an﹣1﹣an﹣2=2[（n﹣2）﹣a]+1② …

a2﹣a1=2[1﹣a]+1 （n﹣1）

所以：an=2[1+2+…+（n﹣1）﹣（n﹣1）a]+n﹣1+a1

2

由a1=a﹣2a+2， 所以：

当且仅当n=3时an最小．

解不等式得：

故选：D 点评：本题考查的知识要点：叠加法再求数列通项公式中的应用，最小项与相邻项间的关系，解不等式组，属于中等题型．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上）

11．若不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=2．

考点：绝对值不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：|kx﹣4|≤2?（kx﹣4）≤4，由题意可知1和3是方程kx﹣8kx+12=0的两根，有韦达定理即可求得k的值． 解答： 解：∵|kx﹣4|≤2，

222

∴（kx﹣4）≤4，即kx﹣8kx+12≤0， ∵不等式|kx﹣4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，

22

∴1和3是方程kx﹣8kx+12=0的两根， ∴1+3=

，

222

∴k=2．

故答案为2．

2

点评：本题考查绝对值不等式，将|kx﹣4|≤2转化为（kx﹣4）≤4是关键，考查等价转化的思想与利用韦达定理解决问题的能力，属于基础题．，

12．定义一种运算S=a?b，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“?”的含义．那么，按照运算“?”的含义，计算tan15°?tan30°+tan30°?tan15°=1．

考点：程序框图．

专题：新定义；算法和程序框图． 分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1﹣tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1﹣tan15°tan30°代入，即可求出值．

解答： 解：∵tan45°=tan（15°+30°）==1，

∴tan15°+tan30°=1﹣tan15°tan30°，

根据题意得：tan15°?tan30°+tan30°?tan15° =tan15°tan30°+tan15°+tan30° =tan15°tan30°+1﹣tan15°tan30° =1．

故答案为：1

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键，属于基本知识的考查．

13．已知抛物线y=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则正实数a的值为．

考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 专题：计算题．

分析：先利用抛物线定义，计算抛物线方程和m的值，在求出双曲线的左焦点坐标和准线方程，最后利用两直线平行的充要条件列方程即可解得a的值

2

解答： 解：利用抛物线的定义，点M（1，m）到焦点的距离等于到准线x=﹣的距离，即1+=5，解得p=8

∴抛物线的标准方程为y=16x，令x=1，得m=4，即M（1，4） ∵双曲线

，的左顶点为A（﹣a，0），渐近线方程为y=±x

2

依题意，AM的斜率为k=∴

=

＞0，

解得正实数a的值为 故答案为

点评：本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程和双曲线的标准方程，双曲线的几

何性质等基础知识，属基础题

14．设函数

，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）

处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划． 专题：计算题；压轴题．

分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．

解答： 解：当x＞0时，f′（x）=，

则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，

D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．

z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2． 故答案为：2．

点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．

15．数列{2﹣1}的前n项1，3，7，…，2﹣1组成集合

，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个

数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记

Sn=T1+T2+…+Tn．例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．则当n=3时，S3=63；试写出Sn=

考点：等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理． 专题：综合题；等差数列与等比数列．

nn

．

分析：根据Sn=T1+T2+…+Tn的意义即可求得n=3时S3．根据S1，S2，S3，猜想﹣1，然后利用数学归纳法证明即可． 解答： 解：当n=3时，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21， 所以S3=11+31+21=63； 由S1=1=2﹣1=

1

﹣1，S2=7=2﹣1=

3

﹣1，S3=63=2﹣1=

6

﹣1，猜想

﹣1，下面证明：

（1）易知n=1时成立； （2）假设n=k时

﹣1，

则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2

k+1

﹣1）]+[T2′+（2

k+1

﹣1）T1′]+[T3′+（2

k+1

﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2

k+1

﹣1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk）， =（=Sk+（2=2

k+1

k+1

）+（2

﹣1）+（2

k+1

k+1

﹣1）+（2

k+1

﹣1）（）

﹣1）Sk

k+1

（﹣1）+（2﹣1）

=﹣1=﹣1，即n=k时﹣1也成立，

综合（1）（2）知对n∈N

*

﹣1成立．

所以﹣1．

故答案为：63；﹣1．

点评：本题考查等差、等比数列的综合，考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大，能力要求较高．

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．已知=（2cosx+2

sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．

（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；

（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理．

专题：三角函数的图像与性质；解三角形． 分析：（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ﹣

≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间；

）=3，进而可得A=

，由余弦定理可得bc=4，

（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（A+代入面积公式S=

，计算可得答案．

解答： 解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，

2

即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cosx+2sinxcosx

=1+cos2x+由2kπ﹣

sin2x=1+2sin（2x+≤2x+

≤2kπ+

），

≤x≤kπ+]，k∈Z ），

）=1 ，k∈Z，

，得kπ﹣

，kπ+

故f（x）的单调增区间为[kπ﹣

（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+故f（）=1+2sin（A+故可得A+

=

）=3，解得sin（A+

，

，解得A=

2

2

2

由余弦定理可得2=b+c﹣2bccosA，

222

化简可得4=b+c﹣bc=（b+c）﹣3bc=16﹣3bc， 解得bc=4，故△ABC的面积S=

=

=

点评：本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2

（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；

（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 专题：计算题；证明题．

分析：（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而

，即PM=PC，从而求出t的值；

（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量

设所求二

面角为θ，根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．

解答： 解：（1）当t=时，PA∥平面MQB 下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N 由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC， ∴

…

PA∥平面MQB，PA?平面PAC， 平面PAC∩平面MQB=MN， ∴PA∥MN…

即：PM=PC∴t=…

（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．． 又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD， 四边形ABCD为菱形，

∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形， Q为AD中点，∴AD⊥BQ…

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为 x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为 A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，） 设平面MQB的法向量为

，可得

而PA∥MN∴，

取z=1，解得

取平面ABCD的法向量

…

设所求二面角为θ，

则故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…

点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．

18．某企业拟在2014年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件．已知2014年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．

（Ⅰ）将2014年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （Ⅱ）该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？

（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

考点：根据实际问题选择函数类型． 专题：应用题；函数的性质及应用． 分析：（Ⅰ）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；

（Ⅱ）利用基本不等式求出最值，即可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：3﹣x=∴x=3﹣

，

，将t=0，x=1代入得k=2，

当年生产x（万件）时，年生产成本=32x+3=32（3﹣当销售x（万件）时，年销售收入=150%[32（3﹣

）+3， ）+3]+t

由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费 即y=

（t≥0）；

（Ⅱ）y=50﹣（+

）≤42，此时t=7，ymax=42．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．

19．已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（）

n

n﹣1

+2（n为正整数）．

（Ⅰ）令bn=2an，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令cn=

an，Tn=c1+c2+…+cn，求证：1≤Tn≤3．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）由已知条件推导出，由

，得bn=bn﹣1+1，所以

数列{bn}是等差数列，并能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由

=（n+1）（），利用错位相减法得

中，

n

，由此能证明1≤Tn≤3．

解答： （1）解：在

令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=， 当n≥2时，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（）∴∴∵

，即

，∴bn=bn﹣1+1，

n﹣2

+2，

，

，

即当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1， 又b1=2a1=1，

∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴∴

．

=（n+1）（），

，

，

两式相减，得：

n

=1﹣（n﹣1）×1=n，

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得∴

=1+﹣（n+1）（）

n+1

=∴∵又

，

， ，∴

，

，

∴Tn是关于n的增函数， ∴Tn＞T1=1，∴1≤Tn≤3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

20．已知椭C：

+

=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上任意一点，若以坐标原

．

点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且△PF1F2的周长为4（Ⅰ）求椭圆C的方程；

2

2

（Ⅱ）设直线的l是圆O：x+y=上动点P（x0，y0）（x0﹣y0≠0）处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）根据以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，可得b=c，

利用△PF1F2的周长为4，可得a+c=，从而可求椭圆的几何量，进而可得椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线的l方程与椭圆方程联立，记Q（x1，y1），R（x2，y2），利用韦达定理，确定x1x2+y1y2=0，即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=c，

又因为△PF1F2的周长为4，所以a+c=，所以c=， 所以a=2，b=

，所以所求椭圆C的方程为

2

2

． …

（Ⅱ）证明：直线的l方程为

，且x0+y0=，记Q（x1，y1），R（x2，y2），

联立方程，消去y得（）x﹣

2

x+=0，

∴x1+x2=，x1x2=

，…

∴=，…

∴x1x2+y1y2=

+=0

∴∠QOR=90°为定值． …

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．

21．已知a∈R，函数

，g（x）=（lnx﹣1）e+x．

x

（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；

（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，请说明理由； （3）求证：

．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）先求函数f（x）的定义域，然后求出导函数f'（x）=0的值为a，讨论a与区间（0，e]的位置关系，根据函数的单调性可求出函数函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；

（2）先求导函数，根据（1）可知：当a=1时，

在区间（0，e]上有最小值ln1=0则

，从而当

，曲线y=g（x）在点x=x0处

x0∈（0，e]时，

的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x0）=0有实数解，而 g'（x0）＞0即方程g'（x0）=0无实数解，从而得到结论； （3）由（1）可知：当a=1时，时，恒有

取x=n（n∈N），得

*

对?x∈[0，+∞）恒成立，即当x≥0

（*）

则

故，在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），

*

然后利用裂项法进行求和可得结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞） ∵

∴

令

①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时，f（x）无最小值； ②若0＜a＜e，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈[a，e]时，f'（x）＞0， ∴f（x）在区间（0，a]上单调递减，在区间（a，e]上单调递增， ∴当x=a时，f（x）有最小值lna；

③若a≥e，则f'（x）≤0，f（x）在区间（0，e]上单调递减， ∴当x=e时，f（x）有最小值．

综上：

（2）∵g（x）=（lnx﹣1）e+x∴由（1）可知：当a=1时，∴

∴当x0∈（0，e]时，

x

在区间（0，e]上有最小值ln1=0

∵曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于：方程g'（x0）=0有实数解，而 g'（x0）＞0即方程g'（x0）=0无实数解，故不存在实数x0∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．

（3）（理）由（1）可知：当a=1时，即 当x≥0时，恒有取x=n（n∈N），得∴故

*

对?x∈[0，+∞）恒成立，

…（*）

又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），得：

*

∴故

或：又 在（*）式中，取x=k（k+1）（k+2）（k∈N），得：ln[k（k+1）（k+2）]≥ln6＞lne=1 ∴故

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及不等式的证明，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

*

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6yz3.html