气体动理论

第六章 气体动理论

一、教学参考

1．理解有关统计的基本概念，如：统计平均值、概率、归一化、涨落等。 2．了解气体分子热运动图像

3．理解理想气体的压强公式和微观意义。 4．掌握温度的概念及其微观实质。

5．了解自由度概念，理解能均分定理，会计算理想气体的内能。

6．了解麦克斯韦速率分布律和速率分布曲线的物理意义。了解气体分子热运动的三种统计速率。

二、本章要点

1．理想气体的压强公式

p?2?12?2n?mv??nw 3?2?32．温度的统计解释

气体分子的平均平动动能与温度的关系为

w?3kT 23．能量均分定理

在温度为T的平衡态下，物质分子的每一个自由度上都具有相等的平均动能，大小为kT/2。这个结论叫做能量按自由度均分原理。

单原子分子的平均动能为3kT/2；双原子分子的平均动能为5kT/2；多原子分子的平均动能为6kT/2?3kT。

4．想气体内能

E??5．速率分布率

iMiRT?RT 2Mmol2dN Ndvf(v)?上式的物理意义为：气体分子在速率v附近，处于单位速率间隔内的概率。 6．三种统计速率 平均速率

v?方均根速率

8RT Mmol77

v2?最概然速率

3RT Mmol2RT Mmol4vp?三、例题

6-1 某柴油机的气缸充满空气，其中空气的温度为47℃，压强为8.61?10Pa。当活塞急剧上升时，把空气压缩到原体积的1/17，其时压强增大到4.25?10Pa，求这时空气的温度（分别以Ｋ和℃表示）。

解：初始系统的温度和压强分别为

6T1?273?47?320K p1?8.61?104Pa

末了系统的体积和压强分别为

V2?1V1 p2?4.25?106Pa 17将空气视为理想气体，则由

p1v1p2v2，得后来系统的温度为 ?T1T24.25?106?1V117?320?929K?656?C

8.61?104V155T2?p2V2T1?p1V16-2 一氢气球在20℃充气后，压强为1.2?10Pa，半径为1.5m。到夜晚时，温度降为10℃，气球半径缩为1.4m，其中氢气压强减为1.1?10Pa。问漏掉了多少空气？

解：由PV?mPVMRT，得m?。漏气前后氢气的质量分别为 MRT41.2?105???1.53?2?10?3PVM3m1?11??1.39(kg) RT18.31?29341.1?105???1.43?2?10?3PVM3m2?22??1.07(kg) RT28.31?283则漏掉氢气

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?m?1.39?1.07?0.32(kg)

6-3 一气缸内储有理想气体，气体的压强、温度和摩尔体积（一摩尔气体所占的体积）分别为p1、T1和v1。现将气缸加热，使气体的压强和体积同比例地增大，即在初态和末态，气体的压强p和摩尔体积v都满足下列关系式p?Cv，其中C为常量，

(1)用p1、T1和气体常量R表示常量C；

(2)设T1?200K，当摩尔体积增大到2v1时，气体的温度是多少？ 解：（1）因为p1v1?RT1，且p1?Cv1，所以

p1p12C? ?v1RT1（2）由

p1v1p2v2，得 ?T1T22p2v2Cv2(2v1)2T2?T1?2T1?T1?4T1?800K 2p1v1Cv1v16-4 求在标准状态下1cm气体中的分子数（此数称为洛喜密特数)。目前可获得的极限真空度为1.33?10?113Pa，求在此真空度下1cm3空气内有多少个分子？已知温度为

27?C。

解：（1）由PV?mNRT?RT，得标准状态下1cm3气体中的分子数为 MN0N0PV6.02?1023?1.013?105?10?6N???2.7?1019（个）

RT8.31?273（2）在极限真空度下，1cm气体中的分子数为

3N0P0V6.02?1023?1.013?10?11?10?6N???3.2?103（个）

RT8.31?(273?27)6-5 一定量理想气体作一平衡过程，在p～T图上表示为ab直线(如图)，则tg?/k表示____________。(k为玻尔兹曼常量)

解：因为p?nkT，所以，tg??p?nk，则 Ttg??n（即粒子数密度） k6-6 设想一束分子连续不断地以速度v垂直射向真空中的

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一静止平板，分子束内单位体积分子数为n，每个分子质量为m0，则分子与平板弹性碰撞产生的压强为___________。

解：设平板的面积为S，则在dt时间内垂直碰到平板上的粒子数是nvdtS，每个粒子与平板碰撞一次给平板的冲量是2m0v，所以在dt时间内平板受到冲量是2m0v?nvdtS。

根据压强的微观意义（即压强为单位时间单位面积上所受的平均冲量）得，压强为

2m0nv2dtSP??2m0nv2

dt?S6-7 在推导气体压强公式时用到的统计假设是____________________,气体压强的微观意义是_______________________，气体温度的微观意义是____________________。

解：用到的统计假设：（1）在没有外力场的情况下，处于平衡态的理想气体的分子数密度为常量；（2）分子沿各个方向运动的机会是均等的。

压强的微观意义：单位时间单位面积器壁上所受的平均冲量。

温度的微观意义：是大量气体分子热运动时分子的平均平动动能的量度。

6-8 一质量为6.2?10?14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1.4cm/s。试由此计算阿伏加德罗常量。

解：方均根速率v2?3kN0T3kT??m0N0m03RT，所以

N0m0N0?3RTm0v212?3?8.31?300?6.15?1023/Mol ?17?226.2?10?(1.4?10)6-9 一个能量为10eV的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol。如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变为热运动能量，氖气温度能升高多少度?

解：宇宙射线粒子的能量为

?E?1012?1.6?10?19?1.6?10?7(J)

由?E??iR?T得，氖气温度升高 22?E2?1.6?10?7?T???1.28?10?6(K)

?iR0.01?3?8.316-10 某些恒星的温度达到10K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试问:(1)质子的平均动能是多少电子伏特? (2)质子的方均根速率为多大?

解：（1）w?833kT??1.38?10?23?108?2.07?10?15(J)?1.3?104(ev) 2280

3kT3?1.38?10?23?1086（2）v???1.57?10(ms) ?27m1.67?1026-11 一块隔板将一个容器分成两部分，分别盛有温度为Ｔ1的１摩尔氢气和温度为Ｔ2

的１摩尔氦气。今将隔板抽去，气体混合，设在混合过程中与外界不发生任何能量交换，并将这两种气体均视为理想气体，则达到平衡后，混合气体的温度为_____________。

解：由于与外界没有任何能量交换，所以内能增量?E?0。由此得

?E??EH2??EHe??i1i53R?TH2??2R?THe?R(T?T1)?R(T?T2)?0 2222T?5T1?3T2 86-12 密闭理想气体的温度从27℃起缓慢地增加到它的分子的方均根速率为27℃时的两倍，则气体的温度为___________。

解：因为v2?2v1，即

223RT23RT1，得 ?2MMT2?4T1?4?300?1200(K)

6-13 设f(v)为速率分布函数，n为分子数密度，N为总分子数，则 （1）在速率v附近、dv速率区间内的分子数与总分子数之比为f(v)dv； （2）在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数之比为f(v)； （3）速率在区间v~v?dv内分子数为dN?Nf(v)dv；

（4）单位体积内速率在区间v~v?dv内的分子数为nf(v)dv；

（5）在速率区间v1?~v内分子的平均速率为?2v2v1v2vf(v)dv；

v1f(v)dv（6）一个分子速率在区间v1~v2内的概率（即:速率在区间v1~v2内的分子数与总分子数之比）为

?v2v1f(v)dv。

v1?（7）速率不超过v的分子数为?Nf(v)dv，这些分子的平均速率为?v1100v10vf(v)dvf(v)dv。

6-14 图示两条曲线分别表示在相同温度下氢气和氧气的分子速率分布曲线，图中a

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