电磁学复习练习题作业(答案)

第一次作业（库仑定律和电场强度叠加原理）

一 选择题

[ C ]1下列几个说法中哪一个是正确的？

(A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向.

??? (C) 场强可由E?F/q定出，其中q为试验电荷，q可正、可负，F为

(B) 在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同．

试验电荷所受的电场力．

(D) 以上说法都不正确．

[ C ]2 在边长为a的正方体中心处放置一电荷为Q的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为： (A)

QQ． (B) ．

12??0a26??0a2Q3??0a2． (D)

(C)

Q．

??0a2 [ B ]3图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋

??(x＜0)和－? (x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为 y

??(0, a)??????i?j?． (A) 0． (B) i． (C) i． (D)

2??0a4??0a4??0a?(sin?2?sin?1) 【提示】根据Ex?4??0a?Ey?(cos?1?cos?2)

4??0a?对＋?均匀带电直线?1?0,?2?

2?对—?均匀带电直线?1?,?2?0

2+?-?Ox

在（0，a）点的场强是4个场强的矢量和

[ A ]4电荷面密度分别为＋?和－?的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图放置，则其周围空间各点电场强度随位置坐标x变化的关系曲线为：(设场强方向 向右为正、向左为负)

yE -?+?E ?/?0 ?/2?0(B)(A) -a O +a x -aO+ax-aO a x

E(C)

E?/2?0-aO+a-?/2?0x(D)?/2?0?/?0+ax

-aO??/2?0 1

【提示】依据E??及场强叠加 2?0二．填空题

--5. 电荷为－5×109 C的试验电荷放在电场中某点时，受到 20×109 N的向下

的力，则该点的电场强度大小为_____________________，方向____________．

4N / C 2分 向上 1分

6. 电荷均为＋q的两个点电荷分别位于x轴上的＋a和－a位置，如图所示．则y轴上各点电场强度的表示式为

y

?E＝

2qy4??0?a2?y2?3/2??j， (j为y方向单位矢量) ，场强最大

+q-aO+q+ax

值的位置在y＝?a/2



7.两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为?1和?2如图所示，则场强等于零的点与直线1 ?1?2的距离a为

?1?1??2d

a

d

12

三计算题

8.如图所示，一电荷面密度为?的“无限大”平面，在距离平面 ? a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面O R 积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

a 解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为

E=? / (2?0) 2分

以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为

dq = ?2?rdr 2分

它在距离平面为a的一点处产生的场强

?E 2

dE??ardr2?0a?r?223/2? 2分

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 dr ?aRrdrO r E? 2?0?0?a2?r2?3/2 ??2?0??1????? 2分 22?a?R?a

由题意,令E=? / (4?0)，得到R＝3a 2分

9.如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度．

解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为?=q / L，在x处取一电荷元x (L+d－x) dq dE dq = ?dx = qdx / L，它在P点的场强： Ｐ O x L d dqqdxdE?? 224??0?L?d?x?4??0L?L?d?x?dx2分

总场强为 E?q4??0LL?(L?d－x)02?q4??0d?L?d? 3分

方向沿x轴，即杆的延长线方向．

y y 10.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形， dq 沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半+Q R 部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求??圆心O处的电场强度． O x d ?? x －Q R O ??解：把所有电荷都当作正电荷处理.

在?处取微小电荷 dq = ?dl = 2Qd? / ?

它在O处产生场强

dE?dq4??0R2?Q2??0R22d?

2分

按?角变化，将dE分解成二个分量：

dEx?dEsin??Q2??0R22sin?d?

3

dEy??dEco?s??Q2?2?0R2co?sd? 3分

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

???/2?sin?d??sin?d? Ex???＝0 2分 ?2?2?0R2??0?/2?Q???/2?Qcos?d??cos?d??? Ey? 2分 ??22?2?2?0R2????R00?/2?????Q?所以 E?Exi?Eyj?2j 1分 2??0R?Q

第三次作业答案（高斯定理和电势2）

1. 以下各种说法是否正确？(回答时需说明理由)

(1)场强为零的地方，电势也一定为零。电势为零的地方，场强一定为零。

(2)电势较高的地方，电场强度一定较大。电场强度较小的地方，电势也一定较低。 (3)场强大小相等的地方，电势相同。电势相等的地方，场强也都相等。 (4)带正电的物体，电势一定是正的；带负电的物体，电势一定是负的。 (5)不带电的物体，电势一定等于零。电势为零的物体，一定不带电。 (6)在静电场中，任一导体都是等势体。

【解】（6）是正确的

2. 在均匀电场中各点，下列物理量中：(1)电场强度；(2)电势；(3)电势梯度，哪些是相等的？

(A)1 ; 3 (B) 1 ; 2 (C) 3 (D) 2 ; 3

【解】（A）是正确的

3. 在一个平面上各点的电势满足下式：

U?ax(x?y)22?b(x?y)2212

x和y为这点的直角坐标，a和b为常数。求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量。 (A)?a?x2?y2??bx?x2?y2?1/2??x2?y22?222 ,y2ax?b?x?y??1/2??x2?y2?2

22??ax?y (B)

22?ax?y (C)

?x?y???x?y?22222 ,2axy?x?y2?2

1/2222??y2ax?bx?y,

???x2?y2?2

【解】由Ex??

4

?U?x Ey???U?y 知 正确的答案是（A）

4. 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷． 【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E?两球的电势差 U12?Q (R1＜r＜R2) 24??0rEdr?Q4??0?R2R1?R2R1Qdr?4??0r2-

?11???? ?R??1R2?∴ Q?4??0R1R2U12R2?R1＝2.14×109 C

5. .图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【 提示 】由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区，

各点电势均为U。 在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为 dq = ? 4?r2dr

该薄层电荷在球心处产生的电势为 R 1 dU?dq/?4??0r???rdr/?0 O 整个带电球层在球心处产生的电势为 R 2 ? U0??dU0??0 U?U0??R2R1rdr???R22?R12? 2?0 因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为

??U?E 另外：根据场强的分布及电势定义。 ??dl计算，也可（此处略）

3. 教科书P95-----1-52（公式巨多，待我不懒时打出来给你们）

??R22?R12? 2?0

第四次作业答案

一．选择题

［ C ］1如图所示，一封闭的导体壳A内有两个导体B和C．A、C不带电，B带正电，则A、B、C三导体的电势UA、UB、UC的大小关

A系是 CB (A) UA = UB = UC． (B) UB > UA = UC．

(C) UB > UC > UA． (D) UB > UA > UC．

【提示】首先根据静电感应确定空间电荷的分布；再由电荷的分布画出电场线的分布，依电场线判断电势的高低。 ［ C ］2 半径为R的金属球与地连接。在与球心O相距d =2R R d 处有一电荷为q的点电荷。如图所示，设地的电势为零，则球上的感生O q 电荷q?为： (A) 0． (B)

q2． (C) -

q2． (D) ?q．

5

【提示】静电平衡以后金属球是等势体，且由于接地球体上电势处处为零。

依据球心电势为零有：

q??4??0dq?oR?q4??o2R?0

q?dq?q???4??oR4??o2R

oq?qq ?q??? ??R2R2

［ B ］3一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有

一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度+?????为+? ，则在导体板B的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A) ? 1 = -??， ? 2 = +??． (B) ? 1 =?? (C) ? 1 =??12 ? 2 =??． ?，

1212?， ? 1 =???． (D) ? 1 = -??， ? 2 = 0．

2AB1【提示】静电平衡以后，平面导体板B内部的场强为零，则有关系式

????1?2?0????????????????????????（?） 2?02?02?0又由电荷守恒定律，根据原平面导体板B电量为零有关系式

? 1S+? 2S=0 （2）

?联立（1）（2）便得 二．填空题

4.地球表面附近的电场强度约为 100 N /C，方向垂直地面向下，假设地球上

的电荷都均匀分布在地表面上，则地面带__负___电，电荷面密度? =________．

-(真空介电常量?0 = 8.85×1012 C2/(N·m2) )

【提示】根据电场方向，判断地球表面带负电；静电平衡以后，地表面附近的A?BSd场强为E??，由此得出电荷面密度?（略） ?05．在一个不带电的导体球壳内，先放进一电荷为+q的点电荷，点电荷不与球 壳内壁接触。然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q取走。此时，球壳的电荷为__-q ________，电场分布的范围是______球壳外的整个空间_______________________。

6．一孤立带电导体球，其表面处场强的方向___垂直于 _________表面；当把另一带电体放在这个导体球附近时，该导体球表面处场强的方向__仍垂直于_______________表面。 三计算题

7.两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？

6

【提示】因两球间距离比两球的半径大得多,这两个带电球可视为点电荷.

设两球各带电荷Q, 若选无穷远处为电势零点, 则两带电球之间的电势能为

（ 式中d 为两球心间距离）

当两球接触时，电荷将在两球间重新分配。因两球半径之比为1 : 4，故两球电荷之比Ql : Q2 = 1 : 4。

Q2 = 4 Ql

Ql +Q2 =Q1+4Q1 =5Q1 =2Q Ql = 2Q/5, Q2 = 8Q / 5

此时的电势能为 W?Q1Q24??0d?1625W0

b8.有一\无限大\的接地导体板 ，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷。q如图所示，试求：(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布；(2) 面上感生电荷的总电荷。

【提示】

金属板接地使其左壁面电荷密度为零。设A为右壁上任意一点，在右壁上取包含A点的面

?元?S，在板内极近A处取一点B（正对A点），其场强E(B)（静电平衡时场强为零）看

作三个部分叠加而成： （1） 点电荷激发的场

（2） 面元?S上的电荷?(A)激发的场——相对于B点而言是无限大带电平面 （3） 金属板右壁上除?S外的全部电荷激发的场——场强方向都在金属板平面内，即垂

直与金属板方向无场强贡献。

故B点场强在垂直于金属板方向的平衡方程为：

/?/(A)cos???0

4??0b22?0q3（设O点是从电荷q向金属板做的垂线的垂足，?为qA与qo连线的夹角） 所以 ?(A)??/q2?b2cos3?

可见，金属板右壁的感应电荷，在以O为圆心的同一圆周上有着相同的电荷密度。

感应电荷的总量为

q/???/(A)?2?rdr???q2?b2cos3??2?rdr??q

（r为金属板上任意一点到O点的距离，在那里取宽为dr的“圆周”，其上有相同的面电荷密度）

第五次作业答案

7

三．选择题

［ C ］1 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则

(A) 空心球电容值大． (B) 实心球电容值大． (C) 两球电容值相等． (D) 大小关系无法确定．

［ C ］2 两只电容器，C1 = 8 μF，C2 = 2μF，分别把它们充

电到 1000 V，然后将它们反接(如图10-8所示)，此时两极板间的电势C1 C2 差为：

(A) 0 V ． (B) 200 V． (C) 600 V． (D) 1000 V 【提示】

Q?Q1?Q2?C1U?C2U?6?10?3C?U'?QC'?QC1?C2?6?10?3C1?10?5F?600V?

四．填空题

3. 如图所示，电容C1、C2、C3已知，电容C可调，当调节到A、B

C1AC2两点电势相等时，电容 C3BCC =_________________．

C2 C3 / C1 3分

4. 一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d．充电后，两极板间相

互作用力为F．则两极板间的电势差为______________，极板上的电荷为

______________．

2Fd/C 2分

2FdC 2分

三、计算题

-6-6

5..三个电容器如图联接，其中C1 = 10×10 F，C2 = 5×10 F，

A C3 = 4×10-6 F，当A、B间电压U =100 V时，试求： C1 C2 U (1) A、B之间的电容； (2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？ 【提示】(1) CAB?B C3 C12?C3C12?C3??C1?C2??C3C1?C2?C3?3.72?F

(2)如果当C3被击穿而短路，则电压加在C1 和C2上，

8

U1?100V,q1?C1U1?1?10?3C

6. 两导体球A、B的半径分别为R1=0.5m，R2 =1.0 m，中间以导线连接，两球外分别包以内半径为R =1.2 m的同心导体球壳(与导线绝缘)并接地，导 B A R2 体间的介质均为空气，如图所示．已知：空气的击穿场强R R1 R 为3×106 V/m，今使A、B两球所带电荷逐渐增加，计算：(1) 此系统何处首先被击穿？这里场强为何值?(2) 击穿时两球所带的总电荷Q为多少？(设导线本身不带电，且对电场无影响。)

【解析】(1) 两导体球壳接地，壳外无电场．导体球A、B外的电场均呈球对称分布．今先比较两球外场强的大小，击穿首先发生在场强最大处．设击穿时，两导体球A、B所带的电荷分别为Q1、Q2，由于A、B用导线连接，故两者等电势，即满足：

Q14??0R1??Q14??0R?Q24??0R2??Q24??0R

Q1/Q2?1/7

两导体表面上的场强最强，其最大场强之比为

E1maxE2max?Q14??0R21/Q24??0R22?2Q1R2Q2R21?47

B球表面处的场强最大，这里先达到击穿场强而击穿，即

E2max?（2）Q2?3.3?10C，Q1??4Q224??0R2?3?106V/m

17Q2?0.47?10?4C

?4击穿时两球所带的总电荷为Q?Q1?Q2?3.77?10第六次作业题答案

C。

1、把C1=2.0微法和C2=8.0微法的电容串联后加上300伏的直流电压。

（1） 求每个电容器上的电量和电压。

（2） 去掉电源，并把C1 和C2彼此断开，然后把它们带正电的两极接在一起，求每个电容器上的电量

和电压。

（3） 如果去掉电源，并把C1 和C2彼此断开后，再把它们带异号电荷的的两极板接在一起，求每个电

容器上的电压和电量。 解：（1）串联电容器每个电容器上的电量相同，设为Q(?Q1， ?Q2)（此即串联电容器的总电量）

而串联电容器的总电容为C?C1C2C1?C2，

故

Q?CU?4.8?10?4库仑

9

两个电容器上的电压比为

U1U2?C2C1?4 而U1?U2?300伏

所以

U1?240伏 U2?60伏

/（2）这种联法是电容器的并联，并联后每个电容器上的电压相同，设为U

题示的接法中，总的电量是Q/(?Q1?Q2)?2Q?9.6?10?4库仑

（若其中一个电容器1带正电的一极与另外一个电容器2带负电的一极连接在一起，而使电容器1带负电的一极与另外一个电容器2带正电的一极连接在一起，也是并联，只是并联后电容器的总电量为

Q?Q1?Q2），

总的电容为

C/?C1?C2

/所以，并联后总的电压（亦即每个电容器上的电压）为U?Q/C/?96伏

每个电容器上的电量比为

Q1/Q2/?C1C2?14

每个电容器上的电量为

Q1/?1.92?10?4库仑Q2/?7.68?10?4库仑

（3）这种情况下，电荷全部中和，电量为零，所以每个电容器上的电压也为零。

2、面积为S的平行板电容器，两板间距为d

（1）插入厚度为d/3,相对介电系数为εr 的电介质，其电容改变多少？ （2）插入厚度为d/3的导体板，电容改变多少？

（3）上下移动电介质或导体板，对电容变化有无影响？ （4）将导体板抽出，是否要做功？功的数值是多少？ 解：（1）设电容器上板为A面，下板为B面，电介质上表面为C面，下表面为D面。

未插入电介质前，电容器的电容为C0d/3d/3

??0Sd?QUAO?UBO?QEd

??插入后，两板的场改变（各点的D值不变，但E值不同），因此电压也改变。电压变为 UA?UB?UA?UC?UC?UD?UD?UB?E?11?Ed??(2?)?3?rUAO?UBO3(2?1)d3?Edd??E??r33

?r 10

劳的精神、勇于承职业的信念。 劳的精神、勇一、 职业的信念。不断学习，提劳的精神、勇于理论是行动的一、 不断学习，职业的信念。 纸、电视、网络等理论是行一、 不断学习，提重要思想、科学发纸、电视、网理论是行动针、政策的自觉性重要思想、科纸、电视、网络助人为乐；积极组针、政策的自重要思想、科学理化建议；关心集助人为乐；积针、政策的自觉性连续几年参与的活理化建议；关助人为乐；积极人先的良好精神风连续几年参与理化建议；关心二、 人先的良好精严格教书育人连续几年参与的教师的主要任二、 严格教书育人先的良好精神量饱满。教学中始教师的主二、 严格教书育人能力，处理问题的量饱满。教学教师的主要够做到认真备课、能力，处理问量饱满。教学中内容，并耐心细致够做到认真备能力，处理问题课堂所讲授的内容内容，并耐心够做到认真备课将多媒体这一现代课堂所讲授的内容，并耐心细课堂效率，同时也将多媒体这一课堂所讲授的内教学方式、教学过课堂效率，同将多媒体这一现d/3

所以，插入后，两板间的电容为C?QUA?UB?3(2?1?)QUAO?UBO?3?r1?2?rC0

?r电容的改变量为?C?C?C0??r?1C0，可见，插入电介质后电容增加。

1?2?r电

势

差

为

（2）若C、D为导体板，则C、D为等电势（静电平衡导体的内部场强为零，导体为等势体），此时两板 间

的

UA?UB?UA?UC?UC?UD?UD?UB?E?所以，插入导体后，两板间的电容为

d3?0?E?d3?23Ed?2(UAO?UBO)3C?QUA?UB?32UAO?UBO?Q?32C0

电容的改变量为?C?C?C0?12C0 可见，无论插入导体还是插入电介质后电容都增加。

（3）从（1）（2）可见，C与插入的导体或是电介质的位置无关

（4）导体板抽出，外力要作功，根据功能原理，此功等于系统能量的增加。 未抽出导体时，系统的能量为W?1212?0E(Sd)(或?3Q222Q22C)?1213?0E2Sd

抽出导体后，系统的能量为W/??0E(Sd)(或?1622C0)??0E2Sd

所以外力作的功为

A?W/?W??0E2Sd

3.一个半径为R的金属球带有电量q0，浸埋在均匀无限大电介质中（电容率为ε），求球外任意一点P的电场强度和极化电荷分布

解;带有电量为q0的金属球，静电平衡以后电荷都在外表面，且在空间激发电场，该电场与电介质相互作

用，结果使电介质表面出现极化电荷（由于是均匀电介质，极化后电荷体密度为零），设靠近金属球表面的电介质表面的面电荷密度为?（另一个电介质表面在无穷远处）

/

根据有介质时的高斯定理，过电介质中一点A作半径为r的高斯面S，由对称性可知S面上的各点的D大

?小相同且沿径向，根据高斯定理有D?q04?r2再由D??E知E?q04??r2

????由于??P?n及P??0(?r?1)E

/可知：?/?????0q0??4?r2（注意：靠近金属球表面的电介质表面的外法线方向指向金属球）

11

??/（D和E的方向以及?的正负取决于q0的正负）

?4．如图所示，均匀极化的电介质球的极化强度为P 求在球心产生的退极化场。

?解：设电介质球的球心为O，过球心且与P方向一致为正x方向，电介质表面任意一点A 的面电荷密度

为?/?，且面电荷密度相同的点构成半径为Rsin?的圆周（圆?Pcos?（?为P与面法线方向的夹角）

环带），即相同圆环带上的面电荷密度相同。

为求极化电荷产生的电场，将极化后的带电介质球分割成无数个带电圆环，每个圆环在轴线上一点（O）

?产生的E叠加即可。

任取?处的带电圆环，电荷量为dq/??/dS?Pcos??2?(Rsin?)?Rd?

该带电圆环在O处产生的电场大小为

dE?/dq/4??0R2cos??P2?0sin?cos2?d? 方向沿x轴负向

E/??dE/?

另法：参照教材230页例题4

??P2?00sin?cos2?d??P3?0

?P第七次作业答案

1、 置于球心的点电荷?Q被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为?r的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。 求出（1）电位移矢量D的分布并做出D随空间位置变化的曲线

?? （2）电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线 ? （3）极化强度矢量P的分布并做出P随空间位置变化的曲线

12

（4）附加电场强度矢量E/的分布并做出E/随空间位置变化的曲线 （5）电荷密度的分布并做出?随空间位置变化的曲线

解：置于球心处的点电荷?Q产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应， 其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场

（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：

?4?r当c?r?d D?0 随r的变化曲线从略

??（2）由D??0?rE 可知

当r?a或b?r?c或r?d时 E?当r?c或r?d D?Q2

Q4??0r2Q

当a?r?b时 E?4??0?rr2

当c?r?d E?0 E随r的变化曲线从略

??（3）由P?(?r?1)?0E 可知，

电介质球壳以外 ?r?1 ， 所以 P?0

电介质球壳以内 P?(?r?1)?0E P随r的变化曲线从略

（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场E的方向与E0（点电荷产生的电场）的方向相反。 在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场E?E?E0

（式中 E0?/?/?Q4??0r2 E?Q4??0?rr?2）

在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场E与E0大小相等，方向相反， 即 E/?/??E0 E/随r的变化曲线从略

（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为? ，则

当r?b时 ??P

13

//当r?a时 ???P

对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为?0 ，则

当r?d时 ?0?D

当r?c时 ?0??D ?/随r的变化曲线从略

2．在介电系数为???0?r的无限大均匀电介质中，存在均匀电场E0 。在电介质中挖一个球形空穴，求这空穴中心的电场强度E

解：设均匀外电场的方向水平向右，由于极化，电介质的空穴表面，左半球面带正的极化电荷，右半球面带负的极化电荷，电荷的分布如同均匀极化的介质球表面的电荷分布， 故 极化电荷在球心处产生的电场为E?//??P3?0

其方向与外电场的方向一致（注意：这不同于极化电荷在介质内产生的附加电场）

/而 P?(?r?1)?0E0 所以 E??r?13E0

E0

所以 球心处的场为E?E0?E?/?r?23第七次作业答案

2、 置于球心的点电荷?Q被两同心球壳包围，大球壳为导体，小球壳为相对介电系数为?r的电介质。小球壳内半径为a ，外半径为b ，大球壳内半径为c ，外半径为d 。

?求出（1）电位移矢量D的分布并做出D随空间位置变化的曲线

（2）电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线

?? （3）极化强度矢量P的分布并做出P随空间位置变化的曲线 ?// （4）附加电场强度矢量E的分布并做出E随空间位置变化的曲线

（5）电荷密度的分布并做出?随空间位置变化的曲线

解：置于球心处的点电荷?Q产生的场，具有球对称性，在该电场的作用下，电介质球壳被极化，电介质球壳内外表面产生极化电荷，因而产生附加电场；导体球壳由于静电感应，

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其内外表面也产生面感应电荷，也产生附加电场

（1）设场点的位置为r ，根据 有介质时的高斯定理 可知：

4?r当c?r?d D?0 随r的变化曲线从略

??（2）由D??0?rE 可知

当r?a或b?r?c或r?d时 E?当r?c或r?d D?Q2

Q4??0rQ2

当a?r?b时 E?4??0?rr2

当c?r?d E?0 E随r的变化曲线从略

??（3）由P?(?r?1)?0E 可知，

电介质球壳以外 ?r?1 ， 所以 P?0

电介质球壳以内 P?(?r?1)?0E P随r的变化曲线从略

（4）由于极化电荷和感应电荷的分布具有球对称性，产生的附加电场仅在介质内部及导体内部不为零，且附加电场E的方向与E0（点电荷产生的电场）的方向相反。 在电介质球壳内，由极化电荷产生的附加场E?E?E0

（式中 E0?/?/?Q4??0r2 E?Q4??0?rr?2）

在导体球壳内，感应电荷产生的附加电场E与E0大小相等，方向相反， 即 E/?/??E0 E/随r的变化曲线从略

（5）对于电介质，由于介质球是均匀的，电介质内体电荷密度为零，只有电介质球壳的内外表面有面极化电荷，设面电荷密度为? ，则

当r?b时 ??P 当r?a时 ???P

对于导体球壳，内外表面也均有感应电荷，设面电荷密度为?0 ，则

当r?d时 ?0?D

/// 15

解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．

(l?R)sin45??R 4分

∴ R?l/(2?1)?(2?1)l 1分 由 R?mv/(eB)，求出v最大值为 2分

R O 45° l R O′ v?

eBRm?(2?1)leBm 1分

4.电流为I1的长直导线与三角形线圈abc在同一个平面内，ab边长l, ac边长为l0，且ab平行于长直导线，ac垂直于长直导线，线圈电流为I2，如图所示，求三角形线圈各边受到的长直导线电流的磁场的作用力。

b Fbc I1 I2 θ a c

d

5一半径为 4.0 cm的圆环放在磁场中，磁场的方向对环

而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T，磁场的方向与环面法向成60°角。求当圆环中通有电流I =15.8 A时，圆环所受磁力的大小和方向．

?解：将电流元Idl处的B分解为平行线圈平面的B1和垂直线

圈平面的B2两分量，则

?B1?Bsin60?； B2?Bcos60?

分别讨论线圈在B1磁场和B2磁场中所受的合力F1与F2．电流元受B1的作用力

dF1?IdlB1sin90??IBsin60?dl 方向平行圆环轴线．

因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力

2?R⊙60°B F1??dF1?IBsin60??dl?IBsin60??2?R

0

= 0.34 N， 方向垂直环面向上．

电流元受B2的作用力

dF2?IdlB2sin90??IBcos60?dl 方向指向线圈平面中心．

由于轴对称，dF2对整个线圈的合力为零，即F2?0．

所以圆环所受合力 F?F1?0.34 N， 方向垂直环面向上．

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12级第十三次作业（磁介质）

1．磁介质有三种，用相对磁导率?r表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质?r >0，抗磁质?r <0，铁磁质?r >>1． (B) 顺磁质?r >1，抗磁质?r =1，铁磁质?r >>1． (C) 顺磁质?r >1，抗磁质?r <1，铁磁质?r >>1．

(D) 顺磁质?r <0，抗磁质?r <1，铁磁质?r >0． [ C ]

2. 用细导线均匀密绕成长为l、半径为a (l >> a)、总匝数为N的螺线管，管内充满相对磁导

率为?r 的均匀磁介质．若线圈中载有稳恒电流I，则管中任意一点的 (A) 磁感强度大小为B = ?0?? rNI． (B) 磁感强度大小为B = ? rNI / l． (C) 磁场强度大小为H = ? 0NI / l．

(D) 磁场强度大小为H = NI / l． [ D ]

3. 一个绕有500匝导线的平均周长50 cm的细环，载有 0.3 A电流时，铁芯的相对磁导率为600 (1) 铁芯中的磁感强度B为__________________________．

--(2) 铁芯中的磁场强度H为________________________. (?0 =4?×107 T·m·A1)

0.226 T 300 A/m 4.铜的相对磁导率?r = 0.9999912，其磁化率?m =_________________它是______磁性磁介质．

-－8.88×106 抗

在国际单位制中，磁场强度H的单位是_____________，磁导率?的单位是________________．

A/m T·m/A

5. 硬磁材料的特点是______________________ ，适于制造_______________ ．

矫顽力大，剩磁也大 例如永久磁铁．

6. 软磁材料的特点是_________________________，它们适于用来制造等 磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗低． 变压器，交流电机的铁芯等．

7.图示为三种不同的磁介质的B~H关系曲线，其中虚线表示的是B = ?0H的关系．说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B~H关系曲线： Ba

a代表_______铁磁质__________的B~H关系曲线．

bb代表___________顺磁质_____的B~H关系曲线． c代表________抗磁质__________的B~H关系曲线． cH0

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8. 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径R3为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为?的各向同性均匀非铁磁绝R2R1缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布． I

??解：由安培环路定理： ?H?dl??Ii 0< r

22I

Ir， B??0Ir

2?R122?R12 R1< r

H? H?

I2?r， B??I R2< r

I2?r(1?R?R(1?2322)

B??0H??0I2?r2r2?R2R?R2322)

r >R3区域： H = 0，B = 0

9.回答问题： 置于磁场中的磁介质，介质表面形成面磁化电流，试问该面磁化电流能否产生楞次─焦耳热？为什么？ 答：不能．

因为它并不是真正在磁介质表面流动的传导电流， 而是由分子电流叠加而成，只是在产生磁场这一点上与传导电流相似．

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