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信号与线性系统实验报告

2013年12月14日 姓名：王玮 学号：1216404013

实验四 连续时间系统的频域分析

实验目的：

1、深刻理解和掌握非周期信号的傅里叶变换及其计算方法；

2、学会运用Matlab编写Fourier正反变换的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析。

实验原理：

连续时间系统的频域分析法，也成为Fourier变换分析法。该方法基于信号频谱分析的概念，讨论信号作用于线性系统是在频域中求解响应的方法。Fourier分析法的关键是求取系统的频率响应。Fourier分析法主要用来分析系统的频率响应特性，或分析输出信号的频谱，也可以用来求解正弦信号作用下的正弦稳态响应。

Fourier变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。Fourier变换和其逆变换定义如下：

F(j?)??f(t)?12?????f(t)e?j?td?F(j?)ej?td??????连续时间Fourier变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。任意非周

期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e对应的周期复指数信号ejwtjwt的线性组合构成的，每个频率所

称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j?)|之

值，其相位为对应频率的X(j?)的相位。

X(j?)通常为复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：

X(j?)?|X(j?)|ej?X(j?)

其中，|X(j?)|称为x(t)的幅度谱，而?X(j?)则称为x(t)的相位谱。 Matlab中符号数学工具箱提供了计算Fourier正反变换的函数fourier和ifourier，其调用形式分别为：

F?fourier(f)和f?ifourier(F)

上述两个式子中，f表示信号的时域表示式，F表示信号的频域表示式。可以通过定义一个符号对象，然后再写表示式来实现。

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比如：先定义一个符号对象x，命令为：syms x然后再输入函数的符号表达式，如：f=sin(x);再根据F?fourier(f)，就能够求出结果为：

F＝i*pi*(-dirac(w-1)+dirac(w+1))；

其中，i为虚数单位，dirac为单位冲激函数，pi为?。同样的步骤可以求一个符号函数的反Fourier变换。

Matlab中freqs命令可用于求连续时间系统频域的特性曲线，heaviside为

?(t)函数。

实验内容：

一、利用Matlab程序实现求下列符号函数的Fourier变换。 1、y?cos(t) 程序代码： >> syms t >> f=cos(t); >> F=fourier(f); 输出结果：

F =pi*(dirac(w - 1) + dirac(w + 1))

2、y?te?(t) 程序代码： >> syms t

>> f=t*exp(-t)*sin(t)*heaviside(t); >> F=fourier(t); 输出结果： F =1/(w*i + 1)^2

?t3、y?esin(t)?(t) 程序代码：

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>> syms t

>> f=exp(-t)*sin(t)*heaviside(t); >> F=fourier(f) 输出结果：

F =- i/(2*(w*i + 1 - i)) + i/(2*(w*i + 1 + i))

二、利用Matlab程序实现求下列符号函数的逆Fourier变换

1、F(j?)?1 1?j?程序代码： >> syms w >> F=1/(1+j*w); >> f=ifourier(F) 输出结果：

f =exp(-x)*heaviside(x)

2、 F(j?)?1 21??程序代码： >> syms w >> F=1/(1+w^2); >> f=ifourier(F) 输出结果：

f =(pi*exp(-x)*heaviside(x) + pi*heaviside(-x)*exp(x))/(2*pi)

3、F(j?)?1(1?j?)2?1

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程序代码： >> syms w

>> F=1/((1+j*w)^2+1); >> f=ifourier(F) 输出结果：

f =(pi*exp(x*(- 1 - i))*heaviside(x)*i - pi*exp(x*(- 1 + i))*heaviside(x)*i)/(2*pi)

三、已知下列稳定的LTI系统的微分方程，分别作出它们的系统频域频率响应的幅值和相位特性曲线。

d2y(t)dy(t)d2e(t)?4?y(t)??5e(t) 1、3dt2dtdt2程序代码：

>> b=[1 0 5]; >> a=[3 4 1];

>> [H,w]=freqs(b,a); >> subplot(2,1,1); >> plot(w,abs(H)); >> title('幅频特性'); >> grid on;

>> subplot(2,1,2); >> plot(w,angle(H)); >> title('相频特性'); >> grid on; >>

波形图：

d3y(t)d2y(t)dy(t)de(t)?10?8?5y(t)?13?7e(t) 2、

dt3dt2dtdt程序代码：

波形图：

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>> b=[13 7]; >> a=[1 10 8 5]; >> [H,w]=freqs(b,a); >> subplot(2,1,1); >> plot(w,abs(H)); >> title('幅频特性'); >> grid on;

>> subplot(2,1,2); >> plot(w,angle(H)); >> title('相频特性'); >> grid on; >>

四、已知周期三角波信号的傅里叶级数系数为：

n???4jn?0?22sin()Cn??n? 2n?0?0?利用Matlab画出该周期信号的频谱（其中?10?n?10，画出幅度和相位）。 程序代码：

>> N=10; >> n1=-N:-1;

>> c1=(-4*j*sin(n1*pi/2))./n1.^2./pi^2; >> c0=0; >> n2=1:N;

>> c2=(-4*j*sin(n2*pi/2))./n2.^2./pi^2; >> cn=[c1 c0 c2]; >> subplot(2,1,1) >> n=-N:N;

>> stem(n,abs(cn)); >> ylabel('Cn的幅度'); >> subplot(2,1,2); >> stem(n,angle(cn)); >> ylabel('Cn的相位'); >>

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波形图：

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2013年12月14日 姓名：王玮 学号：1216404013

思考题：

1、 从信号分解的角度，谈谈对傅里叶变换及其物理意义的理解。

答：傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，

首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。\任意\的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2、 简述系统频域频率响应曲线的意义。

答：频响曲线是在上述的测试电路中，使信号发生器的输出信号频率发生连续变化（即通常说的“扫频”）并保持幅度不变，在输出端通过示波器或者其它一些记录仪将放大器对于这种连续变化相应的输出电平记录下来，就可以在一个坐标上描绘出一个电平对应频率的曲线。是直观反映设备性能的曲线。

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