数列公式性质总结

一 定义（n≥2，n∈N）

1 等差：an－an?1=d 1′ 等比： 二 通项公式

1

?an=q（q≠0） an?1an?a1?(n?1)d （推导方法：累加法） an?am?(n?m)d?d=an?amn?m

1′an?a1?qn?1(a1?q?0) （推导方法：累乘法） an?am?qn?m?qn?m=anam三 ?an?性质

1 A是a与b的等差中项?a，A，b成等差数列2A?a?b?A=a+b。 221′ G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G?a?b?G??ab。

2 m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=2ak 2′ m?n?p?q(m,n,p,q?N?) 则am?an?ap?aq；当n+m=2k时,得an?am=ak2 3 {an},{bn}为等差数列,则{an?k},{k?an},{an?bn},{kan?b}为等差数列. 3′{an},{bn}为等比数列,则{a1},{k?an},{an2},{a2n?1},{anbn}{n}为等比数列. anbn4 等差?an?中，an,an?k,an?2k,an?3k,?为等差数列，公差为kd. 4′ 等比?an?中，an,an?k,an?2k,an?3k,?为等比数列，公比为qk.

5 {an}为等差数列，则Sk、S2k5′

?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k（k项的和）是等差数列. 公差为k2d

?an?是等比数列，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k（k项的和）是等比数列. 公比为qk。

另外（k项的积）a1?a2????????an，an?1?an?2????????a2n，a2n?1?a2n?2????????a3n,也是等比数列，公比为(qnn)

6 {an}是等差数列，设A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，C?a2n?1?a2n?2???a3n，则有2B?A?C；

6′ {an}是等比数列,设A?a1?a2???an,，B?an?1?an?2???a2n，C?a2n?1?a2n?2???a3n， 则有B2?A?C

7 3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d, a, a+d； 4个数: a-3d, a-d, a+d, a+3d

a,a,aq，也可设为a,aq,aq2. q8 {an}是等差数列?an?kn?b（k,b是常数）（n?N?）?an关于n的一次函数

7′ 三个数成等比数列，设为

n(n?1)dd??d=n2+?a1??n=An2?Bn?sn关于n的二次函222??数。若d?0，sn有最小值。若d?0，sn有最大值。

ann8′ {an}是等比数列?an?1?q?A?B?an关于n的指数型函数。

q?a1na {an}是等比数列?Sn?q?1??Aqn?A?sn关于n的指数型函数。 1?q1?q{an}是等差数列?Sn?na1?9

{an}有穷等差数列，则a1?an?a2?an?1????????ai?1?an?i????。

?a2?an?1????????ai?1?an?i????。

9′{an}有穷等比数列，则a1?an10 等差数列{an}中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(如：a1，a4，a7，

a10??????仍为公差为3d的等差数列)

10′ 等比数列{an}中,每隔k项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为qk?1 (如：a1，a4，a7，

a10??????仍为公比q3的等比数列)

11

{an}是等差数列,公差为d，则an，an?1，??????a2，a1也是等差数列，其公差为?d.

a2，a1也是等比数列，其公比为

1q

11′{an}是等比数列,公比为q，则an，an?1，???12 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{lgan}是公差为lgq的等差数列

Sn常用的性质：

（1）在等差数列{an}中,当项数为2n 时,S偶?S奇?nd,S奇a?n（中间两项）, S偶an?1当项数为2n -1时,S偶?S奇S奇n ?a（中间项）,?nS偶n?1anS2n?1?bnT2n?1an?1Sn(2).若等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn(n为奇数),则?2Tnbn?12.或

(3)在等差数列{an}中.Sn=a,当Sn=m,Sm=n时Sn?m(4)

Sm?b,则Sn?m?n?m(a?b),特别地, 当Sn?Sm时,Sn?m?0,

n?m??(n?m)

Sn}也为等差数列. n{an}是等差数列,则数列{(5){an}是等差数列,①若首正a1>0,公差d<0,则当an>0且an?1?0,则Sn最大,当an>0,an?1?0 且an<0且

an?2?0,则Sn=

Sn?1最大.

②若首负

a1<0,公差

d>0,则当

an?1?0,则Sn最小,当

an<0,an?1?0 且an?2?0,则Sn=Sn?1最小。

6

?an?是等比数列，当项数为2n(n?N?)，则S偶?S奇?nd,当项数为2n?1(n?N?)，则S奇S偶an?1?S奇an；

7

?S偶?an,S偶n?1.在等比数列{an}中,当项数为?S奇n2n

(n

?N*)时,

S奇1?,. S偶q8

若{an}等比数列,则Sn?m

?Sn?qn?Sm

四、通项公式的求法

(n?1)?S1 利用Sn求通项公式： an??1．

S?S(n?2)n?1?n2 已知递推公式求通项公式。 类型1：

例an类型2：

an?1?an?f(n) 转化为an?1?an?f(n)， 累加法(逐差相加法)。 ?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

an?1?f(n)， 累乘法(逐商相乘法)。 anaaaa例an?a1?(2)?(3)?(4)????????(n)

a1a2a3an?1an?1?f(n)an 转化为

类型3：

。 an?1?pan?q （p，q为常数，(pq(p?1)?0)）待定系数法： 转化为an?1?t?p(a?t)，其中t?nq，转化为等比数列。 p?1五 数列求和

1 公式法

1 等差数列：Sn?1′等比数列：

(q?1)?na1 （推导：错位相减法） ?nSn??a1(1?q)a1?anq?(q?1)?1?q1?q?n(a1?an)n(n?1) （推导：倒序相加法）

?na1?d222、拆项法

例：求1?1,1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n项和。 aaaa111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa★3、错位相减法：

主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例：Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+?+?2n-1?xn

★4、 裂项相消法

①

1?1?1；

n(n?1)nn?11111?(?)；

(2n?1)(2n?1)22n?12n?11?1(1?1)； n(n?k)knn?k1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)11111?(?)， ② 2?2kk?12k?1k?11111111???2???； kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k1?n?1?n ③

n?n?111?(n?k?n)

n?k?nkn11④ ??(n?1)!n!(n?1)!5、倒序相加法 6 1+2+…+n=

12112223332

n(n+1) ， 1+2+…+n=n(n+1)(2n+1)，1+2+…+n=n(n+1) 。

426六 数列的分类

①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?.

④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

等比数列的单调性，

?0，则{a}为递增数列?1?q?1且{aa?0，则{a}为递减数列

11nn?an. ?an.

?0，则{a?2?0

（3）当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; （4）当q<0时,该数列为摆动数列.

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