《指数函数》

4.2.1 指数函数及其图像与性质

【教学目标】 1.知识与技能目标：

使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标：

在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观：

让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。

【教学重、难点】

教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。

【教学方法】

我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。

【教学过程】 1.流程 （1）教学流程：

创设情境 激发兴趣引出新知 形成概念深入探究 引导发现巩固提高 灵活运用归纳总结 新知梳理分层作业共同提高

（2）学生认知流程： 初步感知

2.教学过程设计

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形成概念 深入体验 强化新知 知识拓展 环节 动一动、想一想： 教学内容 ①一张纸对折几次，与课本的厚度相接近？ ②若条件允许，你们知道一张纸对折20次有多师生互动 学生：动手并思考。 教师提示： 1.课本150页, 75层纸。 2.一张纸大约厚0.1毫米， 学生：能得出x与y 的关系式为：y?2x 教师引导得：设计意图 让学生动手去发现，激发他们的学习积极性。 这两个问题为指数函数概念、形式的给出奠定基础.同时，也为下面指数函数的图像的研究提供了原材料。 一、创设情境激发兴趣 过程小结 高吗？ 问题1. 观察折纸过程中，求对折次数x与所得纸的层数 y 的关系式。 问题2.庄子曰：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。求木棒长度y与经历天数x的关系式。 二、引出新知，形成概念

y?2x,x?N 师生：一起分析得出x与y 的关系式为： 1y?()x,x?N 2这一过程让学生体会到生活中中处处有数学，处处用数学，从而激发他们学习热情和探索新知的欲望。 观察：由问题1、2得到的两个函数关系式： 教师引导： 1．自变量x的位置？ 2．底数是确定的还是变化 的？ 3．函数右边从整体上看都 是什么的形式？ 学生思考并回答问题。 教师：如果用a表示底数， 再将定义域推广到实数集 就得到指数函数的定义。 理解底数a教师：板书课题及定义 的限制条件（a＞ 0，且a≠1），对 学生来说是比较x提问：y＝2×3是指数函数困难的。 吗？ 考虑到学生的实际水平，对于底数a的限制，只作简单的说明。 1y?2x,x?N 与y?()x,x?N 2并思考它们有什么共同的形式特点？ （一）指数函数的定义： 一般地，函数 y?ax(a?0,a?1,x?R) 叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R． 强调： 1. 指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1． 2. 规定底数a＞0，且a≠1。 2

例1．判断下列函数是否为指数函数 （1）y?x4 （2）y?4x （3）y?3?4x （4）y?4?x 学生：各组派一名代表回答，并说明理由。 增加该例题的目的在于使学生巩固指数函数的定义，从而加深理解。同时，小题（4）为例2的求解做铺垫。 过程 小结 三、深入探究、引导发现

这一过程的设计从两个具体的函数出发，到一般再到具体，比较符合职高学生的认知能力。 （二）指数函数的图像与性质 1.绘制指数函数的图像 y?()的列表描点作图（1）动画展示：y?2,方法。 (1)列表：略 (2)描点： (3)连线： （2）教师演示：用几何画板软件工具绘制：函数y1＝2x和y＝()x的图像。 2 2.指数函数的性质 x12x教师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？ 学生：描点法。 教师：由于 传统、经典的函数作图方法—1y?2x, y?()x这两个指—列表描点作图，2旨在让学生对该数函数的底数比较特殊，也便于计算，我们用描点法容易做到。为了让同学们了解更多、底数更一般的指数函数图象，也便于归纳图象的特征，下面主要结合几何画板来教学。 方法的复习回顾，而利用软件工具绘制函数图像的方法则是本节课要给学生介绍的快捷、方便的作图方法。 学生：观察记忆，学习如何用几何画板绘制函数图像。 利用几何画板作图，学生兴趣很浓，而且图像非常美观。 借助信息技术，既锻炼了学生使用计算机软件工具的能力，也增加教学容量。 教师：将这6道题写在纸片（1）动手操作：在几何画板上作出下列函数的图像： 上，以抽奖形式让学生自由4y?2.3x, y?4x,y?()x, 33y?()x, y?0.7x,y?0.35x。 5抽取。 学生：每组派一个学生上来抽取题目，然后使用几何画板来作图。 3

（2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图像有何共同的特征： y?4xy?2.3x4y?()x3教师：让学生自由发挥，说说他们观察到的有共性的图像特征。 学生：容易发现： ①都过点（0，1）； ②图像都在x轴上方； 学生很容易观察它们呈上升或下降的整体特征，从而对指数函数图像的分类形成初步的认识。。 让学生自己去动手操作、观察发现，并引导他们对所发现的知识进行归纳、分类，目的在于让学生成为数学课堂的主人，同时努力达到“使学习过程成为学生愉悦的主动认知过程”这一目标。 1 -6-4-2-61 -4-21 -1-1③有的图像呈上升趋势；有y?0.35x3y?()x5y?0.7x的图像呈下降趋势。 教师：引导学生去观察图像 呈上升或下降这一图像特征与它们的底数存在的关系。 学生:发现呈上升趋势的3个图象，底数都大于1；呈下降趋势的3个图象，底数都大于0小于1；从而对“指数函数图像形按底数分成两类”形成初步的认识。 -6-4-21 -1-6-4-21 -1-6-4-21 -1图1 三、深入探究、引导发现 图2 是否存在关系？ 类。

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教师：引导学生一起观察发现：底数大于1的三个函数，虽然它们的弯曲程度不同，但是都呈上升的趋势；底数大于0小于1的三个函数也类似，形成“指数函数的图象按底数分成两类，即底数大于1的指数函数图像呈上升趋势，底数大于0且小于1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。 思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两（3）验证猜想：使用几何画板让学生去观察：当取教师：动画展示，验证猜想。 运用几何画板来验证猜想，这一过程也很好地维护了数学知识的严谨性。 由特殊到一般，由感性到理性，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律，学生很容易接受． 让学生通过对比完成0＜a＜底大于0小于1的任何一个值时，虽然弯曲程度在 变，但它们始终都呈单调递减趋势，底大于1也如此。由此验证了他们的猜想，也得到了指数函数的两类图象： 三、深入探究、引导发现 过程小 结

（4）归纳指数函数的性质： 通过前面对图像特征的充分认识，引导学生一起将这些图像特征转化成数学语言，即得到指数函数的性质。 a＞1 0＜a＜1 教师：引导学生对当a＞1时的指数函数图象进行下列三个方面归纳整理： ① 经过的特殊点； ② 图象的范围（左右、上下方向） 图 象 定义域 值域 定点 R (0，＋?) ③ 图象从左向右的变化趋势（上升或下降） 从而得到指数函数的性质，并整理成表格。 完成当0＜a＜1时，1的情况，体验成恒过点（0,1），即当x=0时，函数值y=0 学生： 指数函数图像的性质。 功的喜悦，也加深单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 练习．画出下列函数的简图： 学生：动手作图。 x对知识的理解。 巩固指数函数的图像的分类及特征。 ?1?(1)y?3， (2)y??? ?3?x 这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考，并对猜想进行验证，在这一过程中不仅让学生的主体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维，从而有效的达到对知识的理解。 5

例2．判断下列函数???,???在内的单调性 （1）y?5x （2）y?3?x （3）y?2 解：（1）因为底数a?5?1,所以，函数y?5x在x3师生： 例2的目的（1）学生回答，教师板书； 在于考察学生对（2）教师适当地提示，学生完成. （3）学生独立完成。 本节课指数函数的定义及性质的理解程度，（1）的解决学生应该没有问题，（2）（3）的解决需要结合实数指数幂的运算，但是有了例1的铺垫，（2）（3）也就容易解决了。 思考题也是???,???内是增函数。 （2）因为y?3?x?(3?1)x???， 底数?1??3?x 四、巩固提高灵活运用 a?1?1,所以，函数y?3?x在???,???内是减 3 x3x函数。 ?1?x33??（3）因为y?2?2，底数 ?(2)???? 五、归纳总结新知梳理 a?32?1.259?1,所以，函数y?2x3在???,???内是增函数。 思考题: 比较下列各题中两个值的大小： 0.20.4教师：引导学生结合例2（1）指数函数性质的（2）函数性质进行分析，运用，有了例2（1）5 ?2___5?2.1?1??1? （2）??___ ?? 将单调性具体到对两个点的铺垫，学生不难?3??3?进行讨论。 理解，培养学生数形结合分析问题能力。 新知梳理： 教师提问： 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？又掌握了哪些方法？ 对本节课知识进行整理，让学生领悟研究一个函数的方法和模式：从定义——图 象——性质的过程。

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必做题： 1．写出一个指数函数，并画出其简图。 2．判断下列函数???,???在内的单调性 （1）y?0.9x； （2）y?()??x2； （3）y?3. x2 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，其中必做题目的在于巩固新知，而选做题1也是跳 六、分层作业共同提高 选做题： 1．比较下列各题中两个值的大小： （1）0.7___ 0.744.2 （2）3___ 3?2?2.1 一跳就能够着的题目，增强学生的自信心。选做题2目的在于结合网络技术，锻炼学生的计算机软件工具的使用技能。 2.利用助学光盘中的软件“指数函数的图像与性质”作图，并将结果（截图）发送至“lmf0711@21cn.com”邮箱： 【板书设计】

4.2.1 指数函数及其图像与性质 【教学反思】

1x（1）y?5 与y?() 53x2x（2）y?() 与y?() 23x 7

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