理论力学期末复习题已修改(运动学)

理论力学复习题

第二集 运动学

题2-1 杆AC沿槽以匀速 向上运动，并带动杆AB及滑块B。若AB＝l，且初瞬时 0.求当 60o

时，滑块B沿滑槽滑动的速度。

xB lcos (8) 正确解答：

将式（8）对时间求一阶导数，有

xB l sin

在坐标系Oxy中，A点的坐标为

yA lsin 代入上式，得

yA＝l cos

yA

lcos

yA

xB l yAtan

lcos

代入 60yA ，则有滑块B的速度为

o

B

其方向沿Ox轴正向。

题2-2 从水面上方高20m的岸上一点A，用长为40m的绳系住一船B。今在A处以 3m/s的均速拉绳，使船靠岸，求5s末船的速度是多少？在5s内船移动了多少距离。

正确答案：

取坐标系Ox如图2-2所示，则船的坐标为

xB 上式对时间求导数得船的速度为

B xB

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当t 5s时船的速度为

B

150

5m/s 30

负号表示速度方向与Ox轴正方向相反。

当t

0时，xB 34.64m 当t

5s时，xB 15m

t 0~5s之内船不改变速度方向，故在此时间内船移动的距离为

s 34.64 15 19.64m

题2-3 在图示机构中，曲柄OA转动的角速度为 ，角加速度为 ，且有

OA O1B BC O3D r,OO1 AB,CE OO12。试求D点的速度、加速度和轨迹。

正确解答：

因OA O1B,AB OO1,故杆AB作平动，于是有

B A r ,aB aA r ,aBn aAn r 2

又因O1C做定轴转动，且给知O1C 2r，故有

C 2 B 2r ，aC 2aB 2r ，aCn 2aBn 2r 2

因OC1＝O2C 2r,OO12 CE故三角板CDE作平动， 于是D点的速度和加速度分别为

D＝ C＝2r ，aD ＝aC ＝2r ，aDn aCn 2r 2

因为刚体上各点轨迹相同，故D点的轨迹与C点的轨迹相同，同为半径为2r的圆，但圆心位置各不相同，C点轨迹以O1为圆心，而D点轨迹则是2r为半径，圆心在D点正下方距D点2r处。

题2-4 杆AB在铅垂方向以匀速 沿滑槽向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕O轴转动，如图2-4所示。设运动开始时 ＝ 4，试求此后任意瞬时t，圆弧杆OC的角速度 和C点的速度。

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正确解答：

将上解中，以 ＝ 代人，即得正确结果

2Rsin

C

sin

C的方向与 转向一致。

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题2-5 在图示机构中，齿轮1固结在杆AC上，AB OO12,O1A O2B l。齿轮1和半径为r2的齿轮2相啮合，齿轮2可绕O2轴转动，且和曲柄O2B没有联系。若 bsin t，试确定t

正确解答： ’

(s)时，轮2

2

因为杆AC与轮l固结一起，且有O1A O2B,AB O1O2，故杆AC与轮1固结一起的刚体ABC作平动。平动刚体在同一时刻各点的速度及加速度均相同，故齿轮1、2啮合点D的速度、切向加速度与A、B两点的相同，即

D B A l lb cos t aD aBl l2bsin t a A

求得了轮2的切向速度和切向加速度，便可求得轮2的角速度和角加速度，即

2

D

r2

alblb

cos t 2 D 2sin t r2r2r2

当t

lb lb

(s)时，有 2 0 2 2sin( ) 2 2的转向为顺时针。 2 r22 r2

题2-6 半径为R的半圆形凸轮D，已知其运动的速度为 D、加速度为aD，方向如图2-6（a）所示。凸轮推动杆AB沿铅直方向运动。试求当 300时，杆AB

移动的速度和加速度以及A相对凸轮的速度。

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正确答案：

取杆AB上的A点为动点，动系为凸轮D，定系为地面。动点的绝对运动轨迹为铅垂线，相对运动轨迹为凸轮的轮廓线，即半径为R的圆曲线、牵连运动为平动。

（1）求速度

动点A的速度矢量图如图2-6（c）所示。根据速度合成定理，有

υa=υe+υr （1）

取投影轴x,y如图2-6（c）所示。将式（1）分别在x,y轴上投影，则有

x:

0 e rcos , e

r

cos

（2）

y:

e

a r

cos

sin etan

于是，杆AB移动的速度也即动点A的绝对速度为

A

杆AB相对于凸轮的相对速度为

r

（2）求加速度

加速度矢量图如图2-6（d）所示。由动系作平动时的加速度合成定理，有

aa=ae+arn+arτ （4）

取投影轴 ,n如图2-6（d）所示。将式（4）分别在 ,n轴方向投影，有

:

ansin aecos ar (5)n:

ancos aesin arn

(6)

2

2上式中ar( )24 2

e/cos0rn R R R，由式（6），有 a004 0acos30 a0sin30 3R

2所以

aa ar aasin aecos

由式（5），有

2

1 2 2

a0

于是．杆AB移动的加速度也即动点A的绝对加速度为

a2

A aa AB相对于凸轮的加速度为

ar 2

4 2000 arn 3R

3）

（

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题2-7 在图示的平底顶杆凸轮机构中，顶杆AB可沿铅直槽上、下运动，半径为R的凸轮以匀角速度 绕O轴转动。工作时顶杆与凸轮保持接触。偏心距OC=e，试求当OC水平时，顶杆AB的速度和加速度。

正确解答：

取凸轮中心C为动点，顶杆AB为动系，地面为定系。动点C的相对运动轨迹为过C点的水平直线，绝对运动轨迹为以O为圆心，以e为半径的圆，牵连运动为平动。 1． 求速度 动点C的速度矢量图如图2-7（d）所示，即 υυa=υe+r 将上式在x,y轴投影，有 a e e , r 0 于是,顶杆AB移动的速度为 AB e e 2.求加速度

动点C的加速度矢量图如图2-7(e)所示,即 将上式分别沿x,y轴投影,有

aa=ae+ar

x:

aan ar 所以

ar aan e2

y:

0 ae 所以 ae 0

于是，顶杆移动的加速度为 aAB ae 0

题2-8 长为r的曲柄OA以匀角速度 绕O轴反时针转向转动, 从而推动滑杆BCD沿铅直方向上升，如图2-8(a)所示。试求当曲柄与水平线夹角 600时，滑BCD的速度和加速度。

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正确解答：

取曲柄OA的端点A为动点，滑杆BCD为动系，地面为定系。动点A的绝对轨迹为以O为圆心，以r为半径的圆，相对轨迹为水平直线，牵连运动为平动。于是，动点A的速度与加速度矢量图分别为图2-8(c)、(d)所示。由几何关系可知，动点A的牵连速度和牵连加速度(即为滑杆BCD的速度和加速度)分别为

120

e acos r cos600 r

a a asin r sin6ean

22

r 2

题2-9 在图示系统中，轮O在水平面上作纯滚动，并与杆AB铰接于A点。在图示位置时，OA水平，轮心的速度为 0。试求杆AB中点M的速度。

正确解答：

系统中的轮O、杆AB均作平面运动。由于轮O作纯滚动，故与地面的接触点C为它的瞬心，于是A点的速度方向应垂直于AC连线。杆AB两端速度方向已知，分别作A、B两点速度的垂线，其交点P即为杆AB的速度瞬心，如图2-9（b）所示。

轮O的角加速度 0为 0 0

r

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A点的速度则为

A 00 杆AB的角速度为

AB

A

PA

杆AB中点M的速度为 M PM AB

其中PM2 (rcos300)2 rsin300)2 故

M 2.394r32

rr (2.232r)2 5.762r2 PM 2.394

4

1.38 0

题2-10 平面机构如图2-10（a）所示。长为r的曲柄OA以匀角速度 0顺时针转动，AB＝AD=l,BC=r。试求图示瞬时滑块C、D的速度及杆BC的角速度。

正确解答：

曲柄OA作定轴转动，滑块D、C沿水平滑槽滑动，故可知A、C、D点的速度方向。杆BD，DC作平面运动。由速度投影定理，有

Dcos300 A r 0 所以 D

BD杆的速度瞬心在P，由几何关系知， PDB为等边三角形，即PD=BD=PB=2l,杆BD的角速度为

BD D

2l

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而B点速度为

B PB BD 2lD

2l

D

因为杆BC在B、C两点的速度方向已知，故其速度瞬心在P1，如图2-10(b)所示。因2PB1cos30 BC r，

所以，PB PC 11

，于是，杆BC的角速度为

BC B 2 0

PB1

滑块C点的速度为

C PC1 BC 2 0题2-11 在图示机构中，固定齿轮O与运动齿轮A半径均为r。曲柄OA以匀角速度 0绕O轴反复摆动。其尺寸为r＝0.1m,BC=0.6m,O1C=0.2m。图示瞬时OA水平，A、B、C在同一铅垂线上， 0 3rad/s。试求该瞬时杆BC、杆O1C、齿轮A的角速度。

正确解答：

曲柄OA、杆O1C作定轴转动，故A、C点的速度方向已知，动齿轮A、杆BC作平面运动，齿轮O、A的啮合点P为动齿轮A的速度瞬心，A、B、C三点的速度方向如图2-11(b)所示。

因 A 2r 0, A A 2 0，所以，B点的速度 B为

B 0

r杆BC在B、C两点的速度方向已知，由速度投影定理，有 Bcos450 Ccos300

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所以

C

B 0 0 0.1 3 0.693m/s 杆O1C的角速度为

O1

C

O1C

/s 3.464ra d

为求杆BC的角速度，以B为基点，则C点的速度为 υυC BC=υB+其速度矢量图如图2-11(b)所示。取投影轴x，并将上式在x方向投影，有

0 Bcos15 CBcos30 所以 CB

00

Bcos15 0

cos30

杆BC的角速度 BC为

BC

5.91rad/s 0CB0.16cos30 CB Bcos150

题2-12 长度均为l的两杆AC与BC铰接于C，其端点A与B分别沿两直线运动，如图2-12（a）

所示。设ABCD构成一平行四边形时， A 0.2m/s, B 0.4m/s,l 0.2m。试求该瞬时C点的速度和两杆的角速度。

正确解答：

杆AB、BC均作平面运动。以A为基点，则C点的速度为

υC1 υA υCA (1)

式(1)中 C的大小、方向均为未知， CA的大小未知，共计3个未知量，暂不能求解。为此，再以B为基点，则C点的速度为 υC2=υB+υCB (2)

用两个基点求得υυυυB+CB=υA+CA

C应相同，即C2=υC1 (3) 故有 υ

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其速度矢量图如图2-12(b)所示。取投影轴x、y，并将式(3)在x轴方向投影，有

A CAcos300 Bcos600 即 CAcos300 A

Bcos600

A Bcos60

cos300

0.2 0.4

CA

1

而杆AC的角速度 AC为

AC

CA

l

2.31ra d/s 将式（3）沿y轴投影，有 CAsin300 Bcos300 CB 即

CB Bcos300 CAsin300 0.4而杆BC的角速度 BC为 BC 将式（1）沿x，y轴投影，有

1 0.577m/s 2

0.577

2.89ra d/s0.2

CB

l

Cx A CAcos300 0.2 Cy CAsin300 0.2m/s ( )

2

1

0.231m/s ( ) 2

0.306m/s C点的速度大小为

C C点的速度方向 tan ︱

Cx0.2

0.8696 410 ︱

0.23 Cy

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