2007—2008学年第一学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)

2007—2008学年第一学期闽江学院线性代数考试试卷及答案(A)

2007—2008学年第一学期闽江学院考试试卷（A）

5、设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，则下列选项中错误的是（ ）；

适用年级专业：06电子商务本、07通信 考试形式：闭卷笔试 (A)

E A| | E B； (C) R(A) R(B)；

考试课程：《线性代数》 (B)A B； (D) A与B有相同的特征值和特征向量.

班级 姓名 学号 6、设有向量组（I） 1, 2, , m和向量组（II） 1, 2, , m, 1, 2, , s，则

下列正确的是（ ）；

(A) 若（I）线性无关，则（II）线性无关;

(B) 若（II）线性相关，则（I）线性相关; 一、（18 %）选择题： (C) 若（I）线性相关，则（II）线性相关；

(D) 即使（II）线性无关，（I）也未必线性无关.

x3

13x 23y 43z 2

1、若y

0 2 2,则

3

02 （ ）；

z

2 1

1

2

1

二、（12 %）填空题：

(A) 6 (B) -6 (C) 0 (D) 无法确定 1、若A 101

2、设n阶方阵A，B等价，则下列正确的是（ ）；

223

，且R A 2，则k ；

1 1k

（A） A B (B) A B (C) A B 2、设A为5阶方阵，且R(A) 2，A*

为A的伴随矩阵，则方程组A*

x 0的基础解

(D) 若A 0，则必有B 0；

系所含解向量个数为______________；

3、设A2

5A 6E O，则A的特征值只能是（ ）；

3、已知向量 (2, 1,4)T与向量 (1, 2,x)T正交，则x＝ (A) 2或3 (B) 1或－1 (C) 0或1 (D) －2或－3 4、设

1, 2, , s是n (n≥s)元齐次线性方程组

AX 0的基础解系，则

4、n元非齐次线性方程组Ax b与其对应的齐次线性方程组Ax 0满足（ ）；

R(A)

（A）若x1,x2为Ax 0的解，则x1 x2也为Ax b的解；

5、设A为3阶方阵，且A 1

（B）若xAx b的解，则1

1,x2为2

(x1 x2)也为Ax b的解；

4，则

2

A=______________； （C）若Ax 0有非零解，则Ax b有唯一解； （D）若Ax 0只有零解，则Ax b无解.

6、设

12

是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵 2(AT)2 1

必有一个特征值等于______.

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三、（50%）计算题：

12 1

1 1、（8%）计算4阶行列式D

01 1

21 102； 2031

3、（12%）设有向量组 1 1,2,1,0 T

, T

2 2,1, 1, 3 , 3 1,0, 3, 1 T

，

T

4 0,2,0,3 . 则

（1）求该向量组的秩；

（2）求该向量组的一个极大无关组;

（3）且用该极大无关组表示其余向量.

12 2、（10%）设A 2 01 2 ，试求（1）A 1； （2）AAT

.

131

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4、(8%) 已知三阶矩阵A的特征值为 1，2， 2，试求行列式A* A2

2A 3E.

四、（10 %）讨论题：

1 2x1 kx2 x3 1

5、(12%) 设实对称矩阵A 23

213

，则求一个正交的相似变换矩阵T使A化为对

设线性方程组

kx1 x2 x3 2，则问

336

4x1

5x2 5x3 1

角矩阵.

（1）k

取何值时，该方程组无解、有唯一解、无穷多解？ （2）并在有无穷多解时，求出其所有解.

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2

2、（4%）如果矩阵A满足A A 4E O，其中E为单位矩阵，则试证明A E可 1

逆，并求 A E .

五、（10%）证明题：

1、（6%）设向量组 1,

2, 3线性无关，且令向量组： 1 1 2 2, 2 2 2 3 3,

3 3 3 1. 则试证明向量组 1, 2, 3线性无关.

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2007——2008学年 第一学期

闽江学院期末考试试卷参考答案纸（A）（教师专用）

系 别： 任课教师：_______________ 考试科目：《线性代数》（06电子商务、07通信） 考试班级： 一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．(B) 2．(D) 3．(A) 4．(B) 5．(D) 6．(C)

122 101 9 29

（2）AAT 01 2 213 251 （10分）

131 2 21 9111

3

．

解

：

（

1

）

121

210

( 1, 2, 3, 4)

1 1 3

0 3 1

1 0 0 0

2100

0 121

2 0 3 2

0 0 3 4

3 0 3 1

0100

0 121

2 0 3 2

0 001

3 0000 2 1 0

二、填空题（每空2分，共12分）

1. k

11

2．5 3． 1 4. n s 5. 6. 2 22

0 1 1

0 4/3 0

011

00 005/3

0 4/3

（6分） 11

00

三、计算题（共50分）

1．解：

所以，R{ 1, 2, 3, 4} R( 1, 2, 3, 4) 3； （8分）

（2）易得： 1, 2, 3为向量组 1, 2, 3, 4的一个极大线性无关组； （10分）

12 1

01 1D

1 10203

1 1

2

11 10201 1 2 12 11203

1 1

5

2

21 102201 12

（4分）

101 131023 3

（3）且得： 4 分）

54

1 2 3。 （1233

4．解：由条件可得A可逆，且|A| 4，则

A*的特征值为： 4, 2, 2；A2的特征值为：1, 4, 4； 2A的特征值为： 2, 4, 4；3E的特征值为：3, 3, 3；

所以，A A 2A 3E的特征值为：2，5，9； (6分)

*2

故A A 2A 3E＝90。 (8

1 13 0

23 30

2．解：(1)

01

1 5 （8分）

5 7

7

*2

122100 122100 10074 6

(A E) 01 2010 01 2010 010 2 12

131001 001 1 11 001 1 11

分)

1

5．解：A的特征多项式为 E A 2

2 3

3 ( 9)( 1)

1

74 6

所以，A 1 2 12 ； （5分）

1 11

1

3

3

所以A的特征值为： 1 0, 2 9, 3 1； （3分）

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123 101 r

（1）当 1 0时，解方程AX 0，则由A 213 011 ，故得一个

336 000

基础解系为： 1 ( 1,

1,1)T，并单位化得： 1 ( T； （5分）

（2）当 2 9时，解方程(9E A)X 0，则由

2k 1

A k 11 5k2 k 4 (k 1)(5k 4)，

45 5

所以，（1）当k 1且k

4

时，线性方程组有唯一解； 5

当k 1时，R(B) R(A) 2 3，故非齐次线性方程组有无穷多解；

当k 分）

（2）当k 1时，故非齐次线性方程组有无穷多解，且有

4

时，R(B) 3 R(A) 2，故非齐次线性方程组无解。 （55

8 2 3 10 1/2 r

9E A 28 3 01 1/2 ，故得一个基础解系为：

3 33 000

2 (1/2,1/2,1)T，

并单位化得： 2 T； （7分）

（3）当 3 1时，解方程( E A)X 0，则由

21 11 01 1 1 1001

2 1 112 01 1 1 B (A,b) 1 11

45 5 1 0000 0000

即可求得其一个特解为： （7 * (1, 1,0)T；分）

2 2 3 110

r

E A 2 2 3 001 ，故得一个基础解系为： 3 ( 1,1,0)T，

3 3 7 000

并单位化得： 3 ( T （9分）

x1 0T

下面求导出方程组的通解：由同解方程 得基础解系： (0,1,1)，

x2 x3

0 1

所以所求的通解为：x k k 1 1 。 （10

1 0

分）

五．证明题（6%＋4%）

1. 证明：设k1 1 k2 2 k3 3 0，即

(k1 k3) 1 (2k1+2k2) 2 (3k2 3k3) 3 0， （2分）

因为 1， 2， 3线性无关，则有方程：

0

1

9 令T ( 1, 2, 3)，则T是一个正交矩阵，且有TAT 。 （12 1

分）

四．（10%）讨论题：

解：因为线性方程组的系数矩阵的行列式为

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k1 k3 0

2k1+2k2 0， ………………………………（*） （4

3k 3k 0

3 2

分）

101

又 2

20 12 0， 方程（＊）只有唯一零解，即k1 k2 k3 0

033

所以向量组 1, 2 , 3线性无关. （6分）

2. 证明：由A2 A 4E O可得：A2 E A E 2E，即

(A E)(A E) (A E) 2E，得(A E)

分）

所以，A E可逆，且分）

A 2E

E （22

A E

1

A 2EA. （4

E22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6y24.html