第8讲 立体图形的表面积竞赛班 教师版

第8讲

立体图形的表面积

1. 掌握一些求不规则立体图形的表面积的方法. 2. 理解立体图形在分割和拼接过程中表面积的变化

本讲着重介绍求立体图形的表面积的方法,其中之一是三视图法,并介绍了立体图形在粘贴、分割过程中表面积的变化规律，要引导学生做好总结．

如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱． 1．在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．

G（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．） H

2．长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体的体积：V

长方体

EDaFCcBb?2（ab?bc?ac）；

长方体

?abc．

A

3．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S

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正方体

?6a2，V

正方体

?a3．

分割后立体图形的表面积

【例 1】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么

它的表面积减少了多少?

【分析】 原来正方体的表面积为5?5?6?150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它

们的面积为(3?2)?2?12，所以减少的面积就是12．

［拓展］ 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的

几何体的表面积是多少？

［分析］ 我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：

10?10?6?600．

【例 2】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面

上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

【分析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正

方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况

是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：（2454?2400）?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．

［巩固］ 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l

厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）

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［分析］ 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同

时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．

从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．

【例 3】 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个

截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．

【分析】 原来正方体的表面积为：6?3a?3a?6?9a2（平方厘米），

六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6?a?a?6a2（平方厘米）；

挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a?a?4?2?8a2（平方厘米）； 根据题意可得：54a2?6a2?3?8a2?2592，解得a2?36（平方厘米），故a?6厘米．

［巩固］ 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方

1体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖

21法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

4

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［分析］ 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2?2?2?8（平方厘米）；左右方

11向、前后方向：2?2?4?16（平方厘米），1?1?4?4（平方厘米），??4?1（平方厘米），

2211111，这个立体图形的表面积为：8?16?4?1??29（平方厘米）. ??4?（平方厘米）

44444

【例 4】 （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘

米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

【分析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；

按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．

图1 图2 图3 图4 【例 5】 如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每

条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【分析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了

(3?1)?(4?1)?(5?1)?9刀，而原正方体一个面的面积1?l?1(平方米)，所以表面积增加了9?2?1?18(平方米)．原来正方体的表面积为6?1?6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6?18=24(平方米)．

［巩固］ 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，

这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

［分析］ 10?10?6?600(平方厘米)．

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【例 6】 右图是由27块小正方体构成的 3?3?3的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小

正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

3

【分析】 对于由n块小正方体构成的n?n?n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12?

（n?2）块，一面涂有红色的有6?(n?2)2块，没有涂色的有(n?2)3块．由题设条件，一点红色

也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即(n?2)3?8?8，解得n?6．

［铺垫］ （05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方

体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

［分析］ 长：3?1?1?5厘米；宽：1?1?1?3厘米；高：1?1?1?3厘米；所以原长方体的表面积是：

（3?5?3?5?3?3）3?2?78平方厘米．

组合立体图形的表面积

【例 7】 如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表

面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

4?4?(1?1?2?2?4?4)?4?100(平方米)． 【分析】

［巩固］ 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表

面积．

［分析］ 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：

小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．

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【例 8】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面

积是多少平方厘米？

【分析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、

前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．

［拓展］ 按照上题的堆法一直堆到N层(N?3)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值

是多少？

N(N?1)［分析］ 每增加一层，每一个“大面”就增加到个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加

2到3N(N?1)个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3N(N?1)是一个完全平方数，N的最小值是几(N?3)？”因为N和N?1互质，所以N和N?1必须有一个是完全平方数，一个是平方数,2N?3n2?1的3倍，但N?1不能是平方数的3倍，因为如果N?1是平方数的3倍，设N?1?3n此时N被3除余2，不可能是完全平方数，所以N是平方数的3倍，N?1是完全平方数，开始试验：

当N?3?12?3，不符合题意；

当N?3?22?12，N?1?13，不是完全平方数； 当N?3?32?27，N?1?28，不是完全平方数；

当N?3?42?48，N?1?49，是完全平方数，所以N的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为3?48?49?842.

【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图

形的表面积．

【分析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2

个上面?2个左面?2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9?8?10)?2?54(平方厘米)．

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上下面 左右面 前后面

【例10】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，

该如何打包？

⑴当 b?2h时，如何打包？ ⑵当 b?2h时，如何打包？ ⑶当 b?2h时，如何打包？

【分析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积?正面周长?长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，

图2的正面周长是8h?6b，图3的周长是12h?4b.两者的周长之差为2（b?2h）.

当b?2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b?2h时，按图2打包；当b?2h时，按图3打包.

ahb图1图2图3

［巩固］ 用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最

小是多少?

［分析］ 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10?2个7?5

的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7?5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3?5的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大．

同样要想最小，可把7?5面做衔接的面，可得到10个长方体的 连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5?7的面，减少了10个3?7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2?(7?15?15?10?10?7)?650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．

［巩固］ 要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ ［分析］ 考虑所有的包装方法，因为6?1?2?3，所以一共有两种拼接方式：

第一种按长宽高1?1?6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.

第二种按长宽高1?2?3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列

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方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.

【例11】 有一个棱长为 5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求

这个立体图形的内、外表面的总面积．

【分析】 将此带孔的正方体看做由八个2?2?2?8cm3的正方体(8个顶点)和12个1cm3的正方体(12条棱)

粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积4cm2，所以总的表面积为：(4?6)?8?6?12?4?12?216(cm2)．

［拓展］ 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371

个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？

［分析］ 设长方体棱长为分别为x、y、z.，他们只能取正整数，则有：

?x?y?z?455 ?4(x?2?y?2?z?2)?8?455?371?因为455?5?7?13方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2?(11?5?11?3?3?5)?206再计算24个宽都是1的长条，面积是8?(11?3?5)?152，总面积为358.

【例12】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

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25块积木

【分析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3?3?3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.

1.

一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【分析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数?2?增加的面数．

原正方体表面积：1?1?6?6（平方米），一共锯了（2?1）?（3?1）?（4?1）?6次 6?1?1?2?6?18（平方米）．

2. 在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问

剩下的立体图形的表面积是多少？

【分析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面

积不变：50?50?6?15000（平方厘米）．

3. 右图是4?5?6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、

二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？

【分析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；

两面涂红色的在棱长处，共

(4?2)?4?(5?2)?4?(6?2)?4?36块； 一面涂红的表面中间部分：

(4?2)?(5?2)?2?(4?2)?(6?2)?2?(5?2)?(6?2)?2?52块．

4. 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米

的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.

【分析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这

个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：12?3?3(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：3?8?24(平方厘米)．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：12?4?4(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：4?12?48(平方厘米)．这个玩具的表面积为：24?48?72(平方厘米)．

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5.

用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

【分析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．

该图形的表面积等于(9?7?7)?2?46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米． 6. 用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最

小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？

132

【分析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，

所以表面积为(3?4?3?3?3?4)?2?66(cm2)；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，

长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为(18?1?18?2?1?2)?2?112(cm2)

(1)

(2)

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父亲的遗嘱

从前，有一个老头，他临终时叫来五个儿子，对他们说：“孩子，我快要死了，临死前，我要给你们讲一个寓言，你们要用心听，听完后要解释给我听。”

儿子们不知道老头要讲什么，都恭敬地站好。老头用目光扫视了一下他们，就开始讲了：

“森林里有棵橡树，很高很粗，树枝上结满了果实。它的根很深，吸收着地下的养分，暴风吹了它多少次，也吹不倒。

“有一天，一个樵夫来到森林里，看中了这棵橡树，他卷起袖子，砍起树来。天快黑时，他砍倒了大树。他把树枝砍光，把树干拖到木匠作坊里，锯成木板，装上大车，运走了。回家后，他用木板做了一只木桶，套上箍，每天往桶里倒满刚酿好的冒泡酒，然后卖给要办喜事的农民。就这样，他过了很长一段日子。 “时间久了，有一天桶箍坏了，木桶板都松了，酒漏光了，于是桶干裂了。主人没有及时加上新的箍，木桶板都散开了。后来，孩子们抽走了桶箍，在街上滚圆环，女主人把木桶片和桶底当柴烧了。就这样，好好的一只桶，现在无影无踪

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