@@@情境五，1 构件的基本变形与强度计算

情景五 构件的基本变形与强度计算

情境描述

本情境的研究对象是变形固体，属于材料力学的范畴。工程构件的基本变形与强度计算不仅是本情境的学习重点，也是工程力学课程的学习重点。已学过的刚体静力分析的基本概念与理论以及静力平衡问题（属于静力学范畴）为学习本情境打下了基础。情境五将重点讨论工程构件的四种基本变形和强度、刚度计算，除为后续课程（机械构件及工装夹具设计）提供最基本的原理和方法外，还力图

为同学们的终身学习与职业生涯发展以及工程素养的培养寻求（奠定）科学支撑。学习目标

? 明确材料力学的任务、研究对象与方法，理解变形固体的基本假设，认

知工程构件的四种基本变形，建立起强度、刚度、稳定性的概念。 ? 建立起内力、应力的概念，理解并测定材料的机械性能指标，能用截面

法求拉（压）杆横截面上的正应力，并能对拉（压）杆进行强度校核、截面尺寸选择和确定结构的许用载荷。

? 理解连接件剪切与挤压破坏的受力和变形特点，能正确地判断剪切面和

挤压面，能熟练运用剪切强度条件和挤压强度条件对连接件进行强度计算。

? 建立圆轴扭转变形的相关概念，正确绘制扭矩图，熟悉横截面上剪应力

的分布规律，并能应用圆轴的强度、刚度条件对扭转圆轴进行设计计算。 ? 熟悉平面弯曲概念，会将实际受弯构件简化成梁的力学模型，熟悉纯弯

曲时截面上正应力分布规律，能绘出弯矩图并对直梁进行弯曲强度计算，找出提高梁弯曲强度的主要措施 。 ? 培养工程意识、质量意识与社会责任意识。 学习任务

? 变形固体及其相关概念认知。

? 轴向拉（压）杆的变形及其强度计算（设计）。 ? 连接件剪切与挤压变形及其实用计算（设计）。 ? 圆轴的扭转变形及其强（刚）度计算（设计）。 ? 直梁弯曲的强（刚）度计算（设计）。

任务一 变形固体及其相关概念认知

【能力目标】

? 认知材料力学的任务、研究对象与方法；

? 通过观察构件的四种基本变形，初步建立起强度、刚度、稳定性的概念。

【知识目标】

? 理解变形固体的基本假设与材料力学的研究方法。 ? 熟悉工程构件的四种基本变形形式与受力特点。

【重点难点】强度、刚度、稳定性的概念是重点；变形固体的基本假设是

难点。

【学习资料导读】

5.1 变形固体及其相关概念 在前面几个情境中，我们将物体视为不发生变形的刚体， 讨论其平衡问题。事实上，物体在力的作用下，不但或多或少 总有变形发生，而且还可能破坏。因此，不仅要研究物体的受 力，还要研究物体受力后的变形和破坏，以保证我们设计制造 的机械或结构能实现预期的设计功能和正常工作。要研究物体 的变形与破坏，同学们就不能再接受刚体的假设，而必须将物 体视为变形体，这一点非常重要！（可加惊叹号图片） 5.1.1 工程构件设计的基本要求与材料力学的任务（可分二点写）

工程构件的安全性与经济性——材料力学及其任务（本节可依据程嘉佩书修改） 工程设计与材料力学（工程构件安全性的基本要求与材料力学的任务）

在静力学中讨论了物体的受力分析和平衡条件，据此可分析机器构件的受力状态。而探讨这些构件在载荷（外力）作用下能否安全工作，则属于材料力学的范畴。

在工程实际中，所有的结构物和机械装置都是由许多构件（即不能再拆卸的元件）组成的（如图5-1-1a、b所示的起重机和的单缸内燃机）。当它们承受载荷时，每个构件都必须安全可靠，才能保证整个结构物和机械设备正常工作。

为此，首先要求构件在载荷作用下不发生破坏，例如起重机的钢丝绳在起吊重物时不允

许发生断裂，齿轮在工作时轮齿不应折断（图5-1-2），否则将会引起严重的后果。

（a ） （b ）

图5-1-1 工程结构与机械装置 图5-1-2 强度问题 有些构件虽不发生破坏，但并不一定能保证构件或机械正常工作，如车床主轴，若变形过大（图5-1-3），则影响加工精度，破坏齿轮的正确啮合，引起轴与轴承的不均匀磨损，从而造成机器不能正常工作。

(a) (b)

图5-1-3 刚度问题

此外，受压的细长杆和薄壁构件，当载荷增加时，还可能出现突然失去初始平衡形态的现象，称为丧失稳定。例如顶起汽车的千斤顶螺杆（图5-1-4a ）、挖掘机的长活塞杆（图5-1-4b ），当压力较小时，受压构件能保持直线平衡状态；但当压力增加到一定程度时，压杆会突然弯屈而丧失工作能力（图5-1-4c ），甚至弯曲折断，由此酿成严重事故。因此，对于这类细长杆，必须要求它们在工作中始终保持原有的直线平衡状态，即具有足够的稳定性。

（a） (b)

图5-1-4 稳定性问题

（a） (b) (c)

图5-1-4 稳定性问题

根据上述分析，要保证工程构件在载荷作用下能安全可靠地工作，就必须使构件满足以下三个基本要求：

1．构件在载荷作用下不发生破坏，即构件应有足够的强度。

2．构件在载荷作用下产生的变形不超过允许的限度，即构件应有足够的刚度。

3．构件在载荷作用下其原有状态下的平衡应保持为稳定平衡，即构件要满足稳定性的要求。

因此，材料力学是从强度、刚度、稳定性三方面研究构件承载能力的科学。

设计构件时，首先要满足安全性要求，即满足强度、刚度和稳定性要求。此外，经济性要求也不可忽视。构件的安全性要求多用材料或用优质材料，而构件的经济性则要求少用材料或用廉价材料，材料力学提供了解决这一矛盾的理论基础。

：按照材料力学的理论来设计构件，可以合理地解决安全和经济二者的矛盾，求得在安全工作的前提下最经济地使用材料。因此，材料力学的奠基人伽利略曾说：“材料力学是一门美丽而有用的科学”！ 5.1.2 变形固体的基本假设与材料力学的研究对象 一、变形固体的基本假设

材料力学所研究的构件，由各种材料所制成，材料的物质结构和性质虽然各不相同，但都为固体。任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变——即变形。因此，这些材料统称为变形固体。

变形固体的性质比较复杂，在对构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了简化起见，

常略去材料的次要性质，并根据其主要性质作出假设，将它们抽象为一种理想的力学模型，作为材料力学理论分析的基础。在材料力学中对变形固体所作的基本假设有： 1．连续性假设 即假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。

实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。于是可认为固体在其整个体积内是连续的。基于连续性假设，固体内的一些力学量（例如点的位移）既可用连续函数表示，并可采用无穷小的高等数学分析方法来研究。连续性不仅存在于变形前，同样适用于变形发生之后。既构件变形后不出现新的空隙，也不出现重叠。

2．均匀性假设 即认为物体内各点的材料性质都相同，不随点的位置不同而改变。 3．各向同性假设 即认为物体受力后，在各个方向上都具有相同的性质。 实验证明，构件在载荷作用下产生的变形有弹性变形和塑性变形两种。当载荷不超过一定限度时，随载荷的卸除而消失的变形称为弹性变形。若载荷超过某一限度，再卸除载荷，则变形只能部分地恢复，而留下一部分永久变形，这种当载荷卸除后不能恢复的变形称为塑

性变形或永久变形。多数的构件在正常工作条件下只产生弹性变形，而且这些变形与构件原尺寸相比通常很小。所以，在材料力学中大部分问题只限于对弹性变形的研究，并且在研究平衡和运动等问题时，变形均可忽略不计。

二、材料力学的研究对象

综上所述，材料力学是将物体看作均匀、连续、各向同性的变形固体，且在大多数场合下只限于研究微小的弹性变形的情况。

5.1.3 杆件变形的基本形式

工程中构件的形状是多种多样的，如果构件的长度较横向尺寸大很多，这样的构件称为杆件。杆的横断面的形心连线称为杆的轴线。轴线是直线的杆件称为直杆，轴线是曲线的杆件称为曲杆。材料力学主要研究杆件，且大多数是直杆。

在载荷作用下，杆件的变形有下列几种基本形式： （1）轴向拉伸或压缩（图5-1-5a、b）； （2）剪切（图5-1-5c）； （3）扭转（图5-1-5d）； （4）弯曲（图5-1-5e）。

杆件的变形有时是复杂的，这种情况下，可将复杂的变形看成是上述几种基本变形的组合，称为组合变形。

（a） (a) （b） （c） （d） （e） 图5-1-5 杆件的基本变形形式（换图片）

任务二 构件在拉伸（压缩）时的强度计算

【能力目标】

? 能把简单的工程实际问题抽象为计算简图。

? 能用截面法求拉（压）杆横截面上的内力，会画轴力图。

? 通过低碳钢和铸铁的拉压试验，学会塑性材料与脆性材料主要力学性能

指标的测试方法。

? 会计算拉（压）杆横截面上的正应力，并能对拉（压）杆进行强度校核、

截面尺寸选择和确定结构的许用载荷。

【知识目标】

? 熟悉轴向拉伸与压缩时杆件的受力特点与变形特点。 ? 建立起截面法、内力、应力的概念。

? 掌握轴向拉（压）杆的变形计算，弄清楚胡克定律的两种表示形式及适

用条件。

? 理解低碳钢拉伸试验的应力—应变图及其特点（比例极限、弹性极限、

屈服极限、强度极限）及塑性指标的含义。

? 清晰的理解极限应力、许用应力、安全系数的概念。

【重点难点】

用截面法求内力、正应力计算、线应变、强度条件、材料的主要性能指标是学习的重点；用截面法求内力，确定结构的许用载荷是难点。

【学习资料导读】

5.2 轴向拉伸与压缩

：轴向拉伸与压缩是工程构件最简单的受力形式。 本任务所讨论的知识点和计算公式虽然形式上较简单，但所涉及到的一些基本概念和基本方法有一定的普遍性，它们将 贯穿于属于材料材料力学的内容（情境5、6、7）。因而，同学们不要忽视本任务的重要性。为了更好地学习后面的内容，我们力求把轴向拉伸与压缩的内容、思路、基本概念领会深透，并熟练掌握其基本方法。 祝你成功！ 5.2.1 轴向拉伸与压缩时杆件的受力与变形特点

拉伸与压缩是四种基本变形中最简单的，也是最常见的。例如图5-2-1所示的简易吊车中，杆AB就是受拉伸的实例，图5-2-2所示的矿井支护简图中，支柱就是受压缩的实例。（用程P14内容换）

图5-2-1 简易吊车 图5-2-2矿井支柱

由此可见，杆件轴向拉伸与压缩的受力特点是：作用在杆件两端的两个力，大小相等，方向相反，作用线与杆的轴线相重合。在这种外力作用下，构件只能产生沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸与压缩。

想一想：下图所示各杆哪些属于轴向拉伸或压缩？ 图5-2-3 5.2.2 轴向拉伸（压缩）时横断面上的内力—轴力

一、内力的概念

构件在外力作用下将产生变形，同时在杆内产生附加内力。构件是由无数质点所组成的，在其未受外力作用时，质点间就存在着互相作用的内力，以保持其原有的形状。当构件受外力作用而产生变形时，各质点间的相对位置发生了改变，同时，质点间的内力也随着发生改变，它力图保持质点间原有的距离和联系，以抵抗外力使构件发生变形和破坏。这个由外力引起的内力的改变量，即引起的附加内力，就是材料力学所要研究的内力。

必须指出，内力是由外力引起的，它随着外力的改变而改变。但是，它的变化是有一定限度的，它不能随外力的增加而无限量地增加，当外力增加到一定程度，内力不再随外力增加而增加，这时构件就破坏了。由此可知，内力与构件的强度、刚度均有密切联系，所以内力是材料力学研究的重要内容。

二、内力的求法——截面法

求内力的方法是截面法。下面以轴向拉伸为例，说明截面法的步骤。

如图5-2-4所示的构件，在杆端沿杆的轴线作用着大小相等、方向相反的两个力F，杆件处于平衡状态，求m—m断面上的内力。

（1）为显示内力，用一假想截面将构件在m—m 断面处切开，将构件分为A段和B段。任意保留一段（如A段）为研究对象（图5-2-4b），弃去另一段（如B段）。

（2）在保留段A的m—m截面上，各处作用着内力，设这些内力的合力为N，它是弃去部分B对保留部分A的作用力。

（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开 后的任意一部分仍应保持平衡，故可对保留部分A建 立平衡方程。

5-2-4 轴向拉伸的内力计?Fx?0， N?F?0

故 N?F (a)

N即是截面m—m上的内力。由作用和反作用公理可知，若保留B段研究，也可得出同样

的结果（见图5-2-4c）。式(a)称为内力方程，它反映了截面上的内力N与该截面一侧外力间的关系。

拉压杆的内力N由于沿杆的轴线方向，故也称之为杆件横截面m—m上的轴力。通常规定拉伸时轴力取正号（即轴力的箭头背离截面），压缩时轴力取负号（即轴力的箭头指向截面）。计算轴力时可设轴力为正，这样求出的轴力正负号与变形保持一致。

上述利用假想截面将杆件切开，以显示并计算内力的方法，称为截面法。在其他基本变形中，内力也都用此方法求得。

三、轴力图

当杆受多个外力作用时，杆件不同部分的横截面上的轴力是不同的。为了形象地表示轴力沿杆长方向的变化情况，可用轴力图表示（图5-2-5）。

在轴力图上沿杆轴线方向的坐标轴表示横截面的位置，垂直于轴线的坐标轴表示相应横截面的轴力。正轴力画在x轴的上方，负轴力画在其下方，并要求注明轴力的值，这样不同

位置上的轴力变化情况就可形象地用图形示出。

（a） （b） （c） （e）

图 5-2-5 轴向拉压时的轴力图

【例5-2-1】直杆ABC如图5-2-5a所示，已知F1=2 0kN,F2=50kN，d1?20mm，

d2?30mm，试画出其轴力图。

解：（1）求约束反力 取整个杆件为研究对象，画受力图（图5-2-5b）。 由 ?Fx?0，F2?F1?R?0 得 （2）用截面法分段求轴力

AB段：将杆沿Ⅰ-Ⅰ处截开取左段进行研究，假定轴力N1为拉力（图5-2-5c）。

R=F2-F1=50-20=30kN

由 ?Fx?0，N1?F1?0 得 N1=F1=20kN

BC段：将杆沿Ⅱ-Ⅱ处截开取右段进行研究，仍假定轴力N2为拉力（图5-2-5d）。

由 ?Fx?0，?R?N2?0 得 结果为负，说明轴力为压力。

（3）画轴力图 根据轴力N1和N2的方程，可画出轴力图（图5-2-5e）。由图可见，

AB段和BC段截面上的轴力不同，但在同一段内各横截面的轴力不变，且全杆中绝对值最

N2=-R=-30kN

大的轴力产生在BC段，其值为

请思考：若不求固定端的约束反力R，轴力图是否也可画出？ Nmax=30kN

练一练：请你快速用截面法画出AD杆轴力图（在不画出各段杆的受力图及不写出各段平衡方程的情况下）。已知 P1=10kN；P2=20kN； P3=35kN；P4=25kN。 ABCDP1P2P3P4 图5-2-6 5.2.3 轴向拉伸（压缩）时横断面上的应力

上例说明，杆件的强度与横截面的内力密集度有关，内力密集度又称为应力。垂直于横截面与轴力方向一致的应力称为正应力，用符号?表示，其单位为帕（?a）或兆帕(??a)。

1Pa?1N/m2?10?6MPa仅凭轴力能判断杆件的强度是否足够吗？请看下面列子：用同一材料制成粗细不同的两根拉杆，在相同的拉力下，哪根杆先被拉断？为什么？ （a） (b) 图5-2-7

为了求出横截面上任一点的正应力，必须弄清轴力在横截面上的分布规律。由于内力分布与杆件的变形有关，因此首先要观察杆 件的变形。

设一等截面直杆在轴向拉伸时，由实线位置变成虚线位置（图5-2-8a），受力前所画的与轴线垂直的横实线ab、cd在受力

c?d?，cd后变成虚线a?b?、它们相对于ab、

只是位置发生变化而形状和方位均未改变。

分析上述变形，可作出如下假设：变形

前为平面的横截面变形后仍为平面。这一假 设称为平面假设。

图5-2-8 轴向拉伸的纵向变形计算 设想杆件是由无数纵向纤维所组成，根据平面假设可知：每条纤维在杆件受拉伸时，其伸长量是相等的。由实验得知，变形与受力之间存在着一定的关系，由于各纤维伸长量相等，故每条纤维的内力是相等的，也就是说内力在横截面上是均匀分布的（图5-2-8b）。因此，

横截面上的正应力为

??NA （5-2-1） 式中：N为横截面上的内力（轴力）；A为横截面的面积。正应力的正负号与轴力的正负号一致，即拉应力为正，压应力为负。

【例5-2-2】 试计算例【例5-2-1】中杆件各横截面上的正应力。 解：根据式（5-2-1），AB段内各横截面上的正应力 ?1?

BC段内各横截面上的正应力

N1A1?4N1?d12?4?200003.14?202?63.7??a (拉应力)

?2?N2A2?4N2?d22?4?(?30000)3.14?302??42.2??a (压应力)

【例5-2-3】 图5-2-9a所示为一构架吊重结构示意图，AB和BC杆的横截面面积分别为A1?1000mm2，A2?500mm2。试求各杆件的应力。

解：（1）求杆件的外力 取B点为研究对象画受力图（图5-2-9b）；由平面汇交力系的平衡条件

?F?

x?0，?TABcos30?TBCcos45000?0 (a)

Fy?0，TABsin30?Tsin45BC0?G?0 (b)

（a） （b） 图5-2-9 构架吊重结构示意图

联立解(a)、(b)可得 TAB?Gcos30?sin30???80000cos30?sin30???58.6k?

TBC??TABcos30cos45????58600cos30cos45????71.8k?

（2）求各杆件的内力 用截面法可求得

NAB?58.6k? NBC??71.8k?

(3)求各杆件的正应力 由式（8-1）可得 ?AB?NABA1?58600?1000?58.6??a

A2??71800?500??143.6??a ?BC?NBC

即AB和BC杆的横截面分别产生58.6??a的拉应力和143.6??a的压应力。

练一练：

1．作图５-2-10所示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面上的应力。 2．类似例5-2-3 图5-2-10 图5-2-11 5.2.4 轴向拉伸压缩时的变形

杆件受轴向拉伸(压缩)时，其变形特点是沿杆件纵向伸长(缩短)，同时沿横向缩小(扩大)，如图5-2-12所示。

图5-2-12 轴向拉伸变形示意图

一、纵向变形及虎克定律

杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用?L表示。设杆件变形前的长度为L，变形后的长度为L1，则其绝对变形

?L?L1?L

显然，拉伸时绝对变形为正，压缩时绝对变形为负。 绝对变形与杆件的长度有关，为去掉杆件原长对变形的影响，常用单位长度的变形量来表示杆件的变形程度，称之为纵向线应变（或线应变），用?表示

???LL （5-2-2）

?为无量纲的量，其正负号取决于绝对变形。

实验证明：在弹性范围内，变形与轴力及杆件的长度成正比，与杆件的横截面积成反比。这一关系称为胡克定律。可用下式表达

?L?NLEA （5-2-3）

式中的比例常数E称为材料的拉压弹性模量，它表征材料对拉伸或压缩变形的抵抗能力，其数值可用试验方法测得，其常用单位为G?a(G?a?109?a)。几种常用材料的E值见表5-2-1。

表5-2-1 几种常见材料的E和?值

由式(5-2-3)可知，EA的数值愈大，则杆件的纵向变形愈小，故EA称为杆件的抗拉（压）刚度。

将式(5-2-1)、式(5-2-2)代入式(5-2-3)中，可得虎克定律的另一形式

??E?? （5-2-4）

故虎克定律也可简述为：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。

二、横向变形及泊松比

杆件在受拉伸或压缩时，不但沿杆件纵向发生变形，同时沿杆件横向也发生变形。由图5-2-12可知其横向绝对变形为

?b?b1?b

式中b和b1分别代表杆件变形前后的横向尺寸。横向线应变为

????bb (5-2-5)

实验指出，在弹性范围内，杆件的横向线应变与纵向线应变成正比，又由于?与??的符号相异，故有

??????(5-2-6)

式中?为比例常数，称为泊松比或横向变形系数。?为无量纲的量，其值也可由试验测得，常用材料的?值列于表5-2-1中。

【例5-2-4】 在一根由两种材料组成的变截面杆（图5-2-13a）上，已知载荷

F1?6k?，F2?F3?4k?，杆的各段长度l1?1m,l2?l3?0.5m，横截面面积A1?100mm，A2?50mm,A3?35mm,第Ⅰ段和第Ⅱ段为钢杆，Es?200G?a,第Ⅲ

222段为铜杆,Ec?95G?a。试求：（1）AB杆的总变形；（2）各段的纵向线应变。

解：（1）求AB杆的总变形 用截面法分别沿1-1、2-2、3-3处截开，且均取右段研究（图5-2-13b、c、d），在列出平衡方程后，即可求得

N1?F1?F2?F3?6k?

N2?F2?F3?0 N3??F3??4kN

画出轴力图（图5-2-13e）。分段计算纵向绝对变形

AC段 ?l1?N1l1EsA1?6?10?1?10333200?10?100?0.3mm

CD段 ?l2?N2l2EsA2N3l3?0

DB段 ?l3?ECA3??4?10?0.5?1095?10?35333??0.6mm

故AB杆总的纵向变形为

?l??l1??l2??l3?0.3?0.6??0.3mm

(2) 计算各段的纵向线应变

AC段 ?1??l1l1?0.31000?0.3?10?3

CD段 ?2?0

DB段 ?3?

?l3l3??0.6500??1.2?10?3

图5-2-13 轴向拉压变形计算 想一想： 两根相同材料制成的拉杆如图5-2-14图所示。试说明它们的绝对变形是否相 同？如不相同，哪根变形大？另外，不等截面直杆的各段应变是否相同？为什么？ 练一练： 图5-2-14 图5-2-15 设杆长为l，各段的断面面积分别为A 1.阶梯直杆的受力情况如图5-2-15所示。和A1，且A?2A1，弹性模量为E。试求：（1）杆的绝对变形；（2）各段横截面上的应力。

工程中常用材料在常温、静载下的许用应力可参考表5-2-3。

表5-2-3 常见材料的[?]值

二、构件在拉伸（压缩）时的强度计算

由以上分析可知，为了保证构件正常地工作，拉（压）杆的实际工作应力不应超过材料的许用应力，即

??NA≤??? （5-2-12）

上式称为拉（压）杆的强度条件。应用这个强度条件，可以解决下列三类强度计算问题： （1）强度校核 对于给定的构件，根据载荷可以求出内力，然后计算其工作应力，并与材料的许用应力相比较，检查是否满足（5-2--12）式。

（2）设计截面 根据载荷计算出内力，结合工程实际需要，选择材料及截面形状，用下式确定截面面积

A≥

N??? （5-2-13）

（3）确定许可载荷 根据给定的构件的截面面积和材料的许用应力，可按下式求 出构件的许可内力

N≤???·A （5-2-14） 然后根据许可内力确定许可载荷。

必须指出，利用上述强度条件计算受压直杆时，仅限于较短粗的直杆。对于细长的受压杆件，其主要矛盾是稳定性问题，将在以后讨论。

【例5-2-5】 图5-2-27所示为铸造车间吊运铁水包的双套吊钩。吊钩杆部横截

b?25mm,h?50mm，面为矩形，杆部材料的许用应力???=50Mpa，铁水包自重8k?，

最多能容重30k?的铁水。试校核吊杆的强度。

解：因为总载荷由两根吊杆来承担，因此每根吊杆的轴力应为

N?F2?12(30?8)?19k?

吊杆横截面上的应力为

??NA?19?10325?50?15.2??a

由于 ?＜??? 故吊杆的强度足够。

【例5-2-6】 一简易吊架如图5-2-28a所示。已知在铰接点B吊起重物的最大重量

Q?20k?，AB?2m,BC?1m，杆AB和BC均用圆钢制作，材料许用应力

????58??a。试确定两杆所需直径。

（a） （b）

图5-2-27双套吊钩的铁水包 图5-2-28简易吊架受力图

解：（1）先计算两杆内力大小 用截面法将两杆切开，因为两杆都是二力杆件，故内力均为轴力。设AB杆轴力为N1，BC杆轴力为N2，画受力图(图5-2-28b)。

由静力学平衡方程得

?Fy?0, N1sin60?Q?0?

解得 N1?Qsin60??200.866?23.1k?

?由 ?Fx?0, ?N1cos60?N2?0

解得 N2??N1cos60??23.1??12??11.6k?

由计算结果可知，杆1受拉力，杆2受压力。

（2）确定杆的直径 根据式5-2-13，两杆横截面面积应分别满足以下要求：

AB杆 A1=

?d124≥

N1???=

23.1?10583=400mm2

BC杆 A2=

?d224≥

N2???=

11.6?10583=200mm2

(式中杆2的内力取的是绝对值)。 由此求出AB杆直径为 d1≥

BC杆直径为

400?43.14?22.6mm

d2≥

200?43.14?16mm

根据计算结果，可以统一取两杆直径为23mm。

【例5-2-7】 图5-2-29为简易悬臂式吊车，斜杆横截面面积A1?9.6cm2，水平杆AC为两根10号槽钢，每根槽钢的截面积A2?12.74cm2,此二杆的许用应力????120??a。若不计结构自重，试求电动葫芦在图示位置时，允许起吊的最大重量。

（a） （b） 图5-2-29 悬臂式吊车结构及受力图

解：（1）受力分析 取节点A为研究对象，画受力图（图5-2-29b），由图可知a?30,由静力学平衡方程得

? ?Fx?0， N2?N1cos30?0 (a)

0? ?Fy?0， N1sin30?G?0 (b)

联立(a)、(b)解得

N1?Gsin30??2G (c)

N2?N1cos30??1.73G (d) (2) 求许可起吊重量 由式（5-2-14），斜杆AB允许承担的最大拉力为

N1????A1?120?10?9.6?106?4?115k?

横杆AC允许承担的最大压力为

N2?2???A2?2?120?10?12.74?106?4?305k?

将N1、N2代入式（c）、式（d）分别得：

G1?1152305?57.5k? ?176k?

G2?1.73所以整个悬臂吊车允许起吊的最大重量不得超过57.5k?。 理一理：

1 .螺旋压板夹具如图5-2-30所示。已知螺栓为M18，材料许用应力????50??a， 若工件在加工过程中所需的夹紧力Q?2.5kN，试校核该螺栓的强度（螺栓内d1?15.3mm）。

2. 10吨起重机的吊钩(图5-2-31)，螺纹部分的外径d?56mm，内径d1≈50mm， 材料许用应力????80??a。试核算在满载时螺纹部分的强度。

练一练： 依照以上的解题思路与技巧，请你在1~4题中任选两题独立完成；小组合作探究创新与实践问题。

图5-2-30 图5-2-31

3. 在图5-2-32所示的简易吊车中，已知木杆AB横截面面积A1?100cm2，许用应 力???1?7??a；钢杆BC的横截面面积A2?6cm2，许用应力???2?160??a，试求许可吊重。

4. 三角架ABO由两杆AO及BO组成（图5-2-33）。已知在节点O处受有载荷

P?350kN，杆AO由两根槽钢构成，杆BO为一根工字钢，??300。若它们的许用拉应

力和许用压应力均为160??a，试选择两杆的截面面积。

图5-2-32 图5-2-33

解：（1）取销钉为研究对象，画出的受力图如图5-3-6b所示。 （2）由剪切强度设计直径

??P22?d4≤???

d≥

2P????=13mm

（3）校核销钉的挤压强度

?= jyP2d?t1=

750013?8=72MPa＜???jy? ?能满足挤压强度要求。可选择销钉直径d≥13mm。

【例5-3-2】 在厚度为t?5mm的钢板上，冲压直径d?18mm的圆孔，如图5-3-7a所示。钢板的剪切强度极限?b?400??a，试求冲床必需具有的最小冲压力P。

解：剪切面为圆孔侧面，其面积

A???d?t

冲压时，剪应力不应小于材料的剪切强度极限，即

??QA≥?b

因此，冲床所需的冲压力

3P?Q≥?b?A??b???d?t?400?3.14?18?5?113?10?113k?

故最小冲压力

P?113k?

（a） （b） （c）

图5-3-7 冲压加工

理一理： 通过以上例题，同学们可以看出剪切（或挤压）变形的实质及其实用强度计 （1）剪切变形的实质是连接件沿二力间的截面发生错动。解决剪切问题的关键是确定 剪切面、剪切面积及其剪切面上的内力(剪力)Q。剪切面可以是平面（如键的剪切面及销钉的横截面都是平面），也可以是曲面（如冲孔时的剪切面是圆柱面，剪切面积等于落料的周长乘以其厚度）。作用在剪切面上的内力为剪力，记作Q。因为Q是内力，故需（2）挤压变形的实质是在接触处发生局部塑性变形或压溃。解决挤压问题的关键是确算的一般方法与步骤： 要用截面法沿剪切面将构件切开，在剪切面上画出剪力Q，然后再用平衡方程求得。 定挤压面、挤压面积及其挤压面上的挤压力。挤压面可以是平面（如键的挤压面），也 平面上的投影面积表示）。对于相接触的连接件与被连接件而言，挤压力并不是内力， 1. 如图5-3-8所示，凸缘联轴器用四个螺栓联接，螺栓内径d?10mm,对称地分布在

D0?80mm的圆周上。若所传递的力矩m?200??m，螺栓许用剪应力????60??a，

可以是曲面（如铆钉的挤压面为半个圆柱面，但在计算时，以挤压面在垂直于挤压力之只需将相互挤压的两物体分离开，任取其一研究，即可由平衡方程确定挤压力。 练一练（课外实践）： 依照以上的解题思路与技巧，请你在1~5中任选两题在课外独立完成或合作完成解题任务。小组合作探究创新与实践问题。 提示： 1.解题时仍需注意受力图绘制与力矢量字母书写的规范性！ 2.若有疑问，请在课程平台留言。 试校核螺栓的剪切强度。

图5-3-8 图5-3-9

2. 已知铆接钢板的厚度t=10mm,铆钉直径为d?17mm（图5-3-9），铆钉的许用剪应力????140??a，许用挤压应力??jy??320??a，??24k?，试作强度校核。

3. 一螺栓联接如图5-3-10所示，已知P?200k?，??20mm，螺栓材料的许用剪应力????80??a，试求螺栓的直径。

图 5-3-10 图 5-3-11

4. 如图5-3-11所示的普通平键连接，已知轴的直径d?80mm,平键的尺寸

b?24mm,h?14mm, 平键的许用应力????40??a，???m?3.2k??m，求平键所需的长度l。

jy??90??a。若传递的力矩?5. 为保证压力机在超过最大压力160k?时重要机件不发生破坏，在压力机冲头内装有图5-3-13所示的保险器。保险器材料采用灰铸铁，其剪切强度极限?b?360??a，试设计保险器的尺寸?。

图 5-3-12

【拓展知识】

5.3.3 剪切虎克定律

杆件发生剪切变形时，受剪部分相邻截面相对错动，使表面的矩形变为平行四边形（图5-3-8）原为直角的角度改变了一个微小量?。在剪切变形中，直角的改变量?称为剪应变。它是个微小量，以弧度（rad）表示。

（a） （b） 图5-3-8 剪切变形示意图

用两个横截面和四个纵向面，从发生剪切变形的杆内取出一个微小六面体，建立坐标系（图5-3-9）。设定它的三个棱边长分别为dx、dy、dz。在六面体的左右两侧面有等值而反向的剪应力?，组成一个力偶。显然，六面体要保持平衡，在上下两侧面也必然有等值反向的剪应力??。由平衡条件

图5-3-9 微六面体 ?z0 ?Mz?0 ??dxdydz??dxdyd 解得 ???? （5-3-6） 上式表明：在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是剪应力互等定理。

实验指出：剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力?和剪应变?成正比。这一关系称为剪切虎克定律。用公式表示为

??G? （5-3-7） 比例系数G称为剪切弹性模量，其单位与?相同，它表示材料抵抗剪切变形的能力。不同材料的G值可从有关手册中查出。对于各向同性材料，也可用下列关系求出 G?E2?1??? （5-3-8）

式中E为材料的拉压弹性模量，?为泊松比。

知识、技能归纳 1.基本概念 剪切，挤压，剪切面，挤压面，许用剪应力，许用挤压应力，剪切弹性模量。 2.基本理论 剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力?与剪应变?成正 比。即 ??G? 3.基本方法和基本公式 剪切实用计算法，剪切强度条件表达式： ??QA???? 挤压实用计算法，剪切强度条件表达式： ?jy?PAjy

?????jy? 任务四 圆轴的扭转变形及其强（刚）度计算

【能力目标】

? 能根据轴所传递的功率（P）、转速（n）计算外力偶矩（M）。 ? 会用截面法求指定截面的扭矩，并正确的画出扭矩图。

? 能熟练运用扭转强度、刚度条件，对圆轴进行强度、刚度计算。

【知识目标】

? 理解圆轴扭转变形的受力特点与变形特点。 ? 掌握扭矩图的画法及正、负号的规定。

? 掌握圆轴扭转的应力、变形及截面极惯性矩、抗扭截面模量的计算公式。 ? 掌握截面上剪应力的分布规律。

【重点难点】

圆轴扭转时横截面上的剪应力及强度计算，圆轴扭转时的变形及刚度计算是重点；用截面法求扭矩，扭转角计算，判断危险截面与危险点的位置是学习的难点。

【学习资料导读】

5.4 圆轴的扭转

5.4.1圆轴的扭转概念认知

在日常生活中，拧干衣服（图5-4-1a） 时，可见到明显 在旋紧螺丝的扭转变形；而我们常用的起子和钥匙，（图5-4-1b）和开门（图5-4-1c）时，它们也产生难以觉察的微小扭转变形。 图5-4-1

在工程中，承受扭转的构件也是很常见的。机械中的轴，在传递动力时，往往受到力偶作用。如汽车传动轴（图5-4-2），左端受发动机的主动力偶作用，右端受传动齿轮的阻抗力偶作用；又如汽车转向轴（图5-4-3），两端分别承受驾驶员作用在方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用。这些构件（AB轴）的两端都受到一对数值相等、转向相反、作用面均垂直其轴线的力偶作用。它们的变形特点是：杆件的各横截面绕轴线发生相对转动（图5-4-4），这种变形称为扭转变形。

图5-4-2 汽车传动轴 图5-4-3 汽车转向轴

图5-4-4 扭转变形

想一想：如图5-4-5所示，哪些轴产生扭转变形？ 图5-4-5 工程中作用于轴上的外力偶矩通常并不直接给出，而是给出轴的转速和轴所传递的功率，它们的换算关系为

M?9550Pn （5-4-1） 式中M为外力偶矩（??m）， P为轴传递的功率（kW），n为轴的转速（rmin）。 在确定外力偶矩的方向时，应注意输入力偶矩为主动力偶矩，其方向与轴的转向相同；输出力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转向相反。 由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称为轴。本任务亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。 想一想：减速箱中，高速轴直径大还是低速轴直径大？为什么？ 5.4.2 扭矩与扭矩图

一、扭矩

已知作用在轴上的外力偶矩，则可用截面法计算轴横截面上的内力。如圆轴AB(图5-4-6a)，在外力偶矩?A、?B和?C作用下处于平衡状态，现求任一横截面m?m上的

内力。假想沿截面m?m将轴分为两段，保留左段（或右段）为研究对象，用内力替代移去段轴对所研究段轴的作用效应。因轴上外力全是力偶，故内力也必然是一个内力偶，这个内力偶的矩称为扭矩，用?n表示（图5-4-6b）。取轴线为x坐标轴，由该段轴的平衡条件

?Mx?0

?MC?0 ?MC

即 Mn?M得 Mn?M若取右端轴研究（图5-4-5c）同样可得

AAMn?MB?MA?MC

（a） （b） （c）

图5-4-6 扭矩计算示意图

在轴左、右段截面上的两个扭矩，大小相等，转向相反。为了使截面两侧求出的扭矩具有相同的正负号，特作如下规定：按右手螺旋法则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，若大拇指的指向与横截面的外法线方向一致，则扭矩为正；反之为负。计算扭矩时一般按正扭矩假设，若求得结果为负，则说明扭矩实际转向与假设相反。

二、扭矩图

当轴上外力偶较多时，不同截面的扭矩就不一定相等。为了清楚地看出各截面扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。画扭矩图时，取平行于轴线的直线为x轴，横坐标x表示各横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示相应截面的扭矩，正扭矩画在x轴上侧，负扭矩画在下侧。下面以实例说明扭矩图的画法。

【例5-4-1】 传动轴如图5-4-7a所示。主动轮A输入功率PA?50kW,从动轮B、C、D 输出功率分别为PB?PC?15kW，PD?20kW，轴的转速为n?300rmin，试画出轴的扭矩图。

解：由公式（5-4-1）求各外力偶矩

MA?9550PA9550?50??1592N?m n300

MB?MC?

9550PC9550?15??477.5N?mn300MD=

9550PDn= 9550?20?637N?m

300（a） （b） （c） （e）

图5-4-7 传动轴的扭矩图

由于轴BC、CA、AD三段的扭矩不等，故可用截面法分别计算各段的扭矩。在BC段内的截面Ⅰ-Ⅰ上，设有正扭矩MnI，如图5-4-7b所示。由平衡条件

?Mx?0 MB?MnI?0

得 MnI??MB??477??m

负号说明扭矩实际转向与假设相反，在该段轴内扭矩图为一水平线（5-4-7e）。同理，在CA段内，设在Ⅱ-Ⅱ截面上有MnII，如图5-4-7c所示，由

MnII?MC?MB?0 得 MnII??MC?MB??954N?m

在AD段内，设在Ⅲ-Ⅲ截面上有MnIII，如图5-4-7d所示，由

MnIII?MD?0 得 MnIII?MD?637??m

根据以上计算结果，按比例画出扭矩图（图5-4-7e）。由图可见，绝对值最大的扭矩在CA段内，且Mnmax?954??m。

合作学习： （1）以小组为单位，用简捷方法画出扭矩图，并尝试总结出扭矩图的规律（图5-4-8） （2）若将主动轮A与从动轮D位置调换，最大扭矩为多少？发生在那段轴上？我 们从中能受到什么启发？ MBMCMAMD BC图5-4-8

AD 5.4.3 圆轴扭转时的应力及强度条件

一、圆轴扭转时的应力

研究圆轴扭转时的应力，应先观察实验现象，提出假设，并从变形、物理和静力学三个方面的关系分析，从而导出应力计算公式。

取一等直圆轴，实验前在其表面画上一些圆周线以及与轴线平行的纵向线（图5-4-9a）；

两端施加外力偶矩为M的力偶作用后，圆轴即发生扭转变形（图5-4-9b）。在变形微小的情况下，可以观察到

如下现象：

（1）所有纵向线都倾斜了一个相同的角度?，轴表面原来的小方格扭成了平行四边形。

（a） （2）圆周线的形状、大小不变，且它们之间的距离也不变，仅绕轴线旋转了不同的角度。因而圆轴在扭转变形时长度和直径都不变。

根据这些现象可以提出圆轴扭转的平面变形假设：圆轴的横截面变形以后仍为平面，其形状和大小不变，且半径线仍为直线。按照这一假设，扭转变形中，横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。可

（b） 见圆轴扭转时横截面上没有正应力，而只有剪应力。

下面从三个方面讨论，建立横截面上的剪应力计算

公式：

1、变形几何关系 沿m?m和n?n两个横截

图5-4-9 扭转演示图 面，从轴上取出长为dx的一个微段来研究（图5-4-10）。设两截面相对转动了一个角度d?。根据平面变形假设，在n?n截面上的O2C和O2D均旋转了一个角度d?而移动到O2C?和

O2D?的位置。C点和D点移动的距离为

CC??DD??Rd?

圆轴表面纵向线倾斜的角度

??tan??DD?AD?Rd?dx

即 ??Rd?dx (a) 显然，?即为圆轴表层的剪应变。同理可求出，杆内距圆心为?处的剪应变

????d?dx (b)

在同一截面,d?dx为一常数，故上式表明：横截面上任一点的剪应变??与该点到圆心的距离?成正比。

（a） （b）

图5-4-10 扭转变形分析

2、物理关系 根据剪切虎克定律 ??G? 则 ???G??

于是 ???G?(d?dx) (c)

上式表明:横截面上任意点处的剪应力??与该点到圆心的距离?成正比。因而，同一圆周上各点的剪应力相等。又因γρ发生在垂直于半径的平面内，所以??也垂直于半径，如图5-4-11所示。

3、静力学关系 在横截面上离圆心为?处，取一微面积dA，如图5-4-11所示。由于在横截面上剪应力垂直于半径，因此，微面积dA上剪应力的微小合力对圆心之矩等于

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