第二、三节 n维向量

线性方程

第二节

线性方程

一,向量的概念定义 n 个数组成的有序数组 α = (a1 , a 2 , , a n ) 称为

维向量. 一个 n 维向量.的分量或坐标. a1 , a2 ,, an 称为向量 α 的分量或坐标.

行向量

α = (a1 , a 2 , , a n ) a1 a2 α = a n

列向量

或 α = (a1 , a 2 , , a n )T

线性方程

维向量. 一般用希腊字母α , β , γ 等表示 n 维向量.

分量全部为零的向量称为零向量, 分量全部为零的向量称为零向量,记为 θ . 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等 加减法, 相等, 向量可视为特殊的矩阵 因此 向量的相等,加减法, 数乘等概念完全与矩阵相同 等概念完全与矩阵相同. 数乘等概念完全与矩阵相同设 α = (a1 , a 2 , , a n ),β = (b1 , b2 , , bn ),

则 α + β = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , , a n + bn ),

kα = ( ka1 , ka 2 , , ka n ) .

线性方程

向量的线性运算满足以下八条运算律: 向量的线性运算满足以下八条运算律:

(1) α+β=β+α (2) α+(β+γ)=(α+β)+γ (3) α+θ=α (4) α+(α)= θ (5) (k+l)α=kα+lα (6) k(α+β)=kα+kβ (7) (kl)α=k(lα) (8) 1α=α维向量, 为实数. 其中α, β, γ 都是n维向量 k, l 为实数4

线性方程

除了上述八条运算规则,显然还有以下性质: 除了上述八条运算规则,显然还有以下性质:

(1' ) 0α = θ , kθ = θ (其中 0 为数零 , k为任意数 ) ;( 2' ) 若kα = θ , 则或者k = 0, 或者α = θ ;

( 3' ) 向量方程 α + x = β 有唯一解 x = β α . 移项规则例1 设 3(α 1 α ) + 2(α 2 + α ) = 5(α 3 + α ) , 其中 α 1 = ( 2,5,1) , α 2 = (10,1,5) , α 3 = (4,1,1) , 求 α . 解 3α 1 3α + 2α 2 + 2α = 5α 3 + 5α ,6α = 3α 1 + 2α 2 5α 3 ,

1 α = ( 3α 1 + 2α 2 5α 3 ) = (1,2,3) . 6

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练习: 练习:P141 习题三

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第三节

线性方程

一,向量组的线性组合定义 给定 n 维向量α 1 ,, α s 和 β , 若存在 s 个数

k1 ,, k s ,使 β = k1α 1 + + ksα s ,则称 β 是向量 的一个线性组合 组 α 1 ,, α s 的一个线性组合 ,或称 β 能被向量组

α 1 ,, α s 线性表示( 线性表出) . 线性表示( 线性表出)如果向量组( 如果向量组 ( Ⅰ ) α 1 , , α s 中每个向量均可由向 量组( 量组( Ⅱ) β 1 , , 线性表出, 则称向量组( β t 线性表出, 则称向量组( Ⅰ) 可由 向量组( 线性表出; 向量组 ( Ⅱ ) 线性表出 ;如果两个向量组可以互相表出,则称等价. 如果两个向量组可以互相表出 则称等价. 则称等价8

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例如, 例如 β =(2,1,1), α1=(1,0,0), α2=(0,1,0), α3=(0,0,1), 因为 β = 2α1α2+α3 , 的线性组合, 即β 是 α1,α2,α3 的线性组合 线性表示. 或者说 β 可由α1,α2,α3 线性表示

零向量能被任何向量组 α 1 ,, α s 线性表示: 线性表示:

θ = 0α 1 + + 0 α s .中每个向量可被该向量组线性表示: 向量组α1 ,, α s 中每个向量可被该向量组线性表示:

α j = 0α 1 + + 1 α j + + 0 α s .9

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称 ε1 = (1, 0 , , 0) , ε 2 =

(0 , 1, , 0) , , ε n = (0 , 0 , , 1) 为n维基本单位向量组. 维基本单位向量组.

任意一个 n 维向量α = (a1 , a2 ,, an ) 都能被向量

线性表示: 组 ε 1 , ε 2 ,, ε n 线性表示:

α = a1ε 1 + a 2ε 2 + + anε n .

线性方程

x1 b1 x2 b2 对线性方程组 Ax = b , x = , b= , x b n n 将系数矩阵A分裂成列向量 A = (α 1 ,α 2 , ,α n ) ,则方程组改写为 x1α1 + x2α2 + + xnαn = b ,解的问题, 线性方程组 Ax = b 解的问题,等价于常数列 b 被 A 的列向量组线性表示的问题. 列向量组线性表示的问题. 线性表示的问题

线性方程

1 1 2 2 例1 设 α 1 = 0 , α 2 = 2 , α 3 = 1 , β = 5 , 1 1 0 4 线性表示? β 能否由 α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示?

1 1 2 2 1 1 2 2 解 (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 0 2 1 5 → 0 2 1 5 , 1 1 0 4 0 0 2 2 x1 = 1 x2 = 3 , ∴ β = α 1 + 3 α 2 α 3 . x = 1 312

线性方程

例2

设向量组α 1 = (1, 4, 0, 2) , 2 = ( 2, 7, 1, 3) , αT T

α 3 = (0, 1, 1, a)T , β = (3, 10, b, 4)T ,问: a, b 满足什么条件时,

(1) β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出,且表示法唯一; 线性表出,且表示法唯一;

(2) β 不能由α 1 , α 2 , α 3 线性表出; 线性表出;(3) β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出 ,但表示法不唯一, 线性表出,但表示法不唯一, 并求一般表达式. 并求一般表达式 .

解

1 4 0 2

1 2 2 0 3 0 3 7 1 10 0 1 1 2 → 0 1 1 b 1 1 b 0 1 a 2 3 a 4

线性方程

1 2 1 2 0 3 0 3 0 1 1 2 0 1 1 2 → → 0 0 a 0 1 b 2 , 0 0 1 1 b 0 1 a 2 0 0 a 0 1 b 2 0 (1) b ≠ 2 时 , β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出; 线性表出;

(2) b = 2 且 a ≠ 1 时 , β 可由 α 1 , α 2 , α 3 唯一表出; 唯一表出;(3) b = 2 且 a = 1 时 , β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表出; 线性表出;

但表示法不唯一. 但表示法不唯一.

线性方程

二,向量组的线性相关性定义 设向量组α 1

不全为零的 ,, α s ,若存在 s 个不全为零的

数 k1 ,, k s ,使

k1α1 + k2α2 ++ ksαs =θ ,线性相关, 则称向量组 α 1 , , α s 线性相关,线性无关. 否 则称向量组 α 1 , , α s 线性无关.

线性方程

2 4 2 1 2 1 例3 设 α 1 = , α 2 = , α 3 = , 3 5 4 1 4 1

有 3α 1 α 2 α 3 = θ , 于是 α 1 , α 2 , α 3 线性 相关 . 线性相关 相关.

包含零向量的向量组一定线性相关: 包含零向量的向量组一定线性相关

0 α 1 + + 1 θ + + 0 α s = θ .单个向量线性相关当且仅当它为零向量: 单个向量线性相关当且仅当它为零向量

kα = θ , k ≠ 0 α = θ .16

线性方程

定理 在 s ≥ 2 情况下,向量组 α 1 ,, α s 线性相关的充分 情况下,

必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示. 必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示. 其余向量线性表示 证 若 α1 ,, α s 线

性相关, 即存在不全为零的数 k1 ,, k s , 线性相关,

k1α1 + k2α2 ++ ksαs = θ , k2 ks 不妨设 k1 ≠ 0 , 则 α1 = α2 αs , k1 k1 线性表示; 即 α 1 可由 α 2 , , α s 线性表示;使反过来, 线性表示, 反过来,不妨设 α 1 可由 α 2 , , α s 线性表示,即

α 1 = k 2α 2 + + k sα s ,

于是

1 α 1 + k 2α 2 + + k sα s = θ ,17

线性相关. 故 α 1 , , α s 线性相关.

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线性无关的含义 的含义: 向量组 α 1 ,, α s 线性无关 的含义:由 k1α 1 + k 2α 2 + + k sα s = θ

k1 = k 2 = = k s = 0定理 设 α 1 , , α s 为列向量, 则向量组线性相关 为列向量, (线性无关 的充分必要条件是齐次线性方程组 线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组 线性无关 非零解, 有(无)非零解 无 非零解

Ax = θ 其中 A = (α 1 , , α s ) .

这又取决于 r ( A) < s 或 r ( A) = s .18

线性方程

例4

判断下列向量组的线性相关性: 判断下列向量组的线性相关性

1 0 3 1 3 0 (1) α 1 = ,α2 = 1 ,α3 = 7 , 2 4 2 14 (2)

解

α 1 = (1 , 1 , 1) , α 2 = (1 , 2 , 3) , α 3 = (1 , 3 , 6) , 1 0 3 1 0 1 0 3 1 3 0 → 0 3 3 → 0 1 0 0 0 1 1 2 1 7 0 0 0 2 2 4 2 14

3 1 , 0 0 19

线性相关. r ( A) = 2 < 3 , 线性相关.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6x7i.html