自身具有阻滞作用的食饵--捕食者模型简单分析

具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型简单分析

【摘要】种群之间的食饵—捕食者模型由于在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。对其进行平衡点的稳定性分析，验证在自然界中的两种种群构成食饵—捕食者系统的相互关系。

【关键字】食饵—捕食者 自身阻滞作用

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平衡点稳定性

一、 问题重述

对于Volterra模型，多数食饵—捕食者系统观察不到那种周期动荡，而是趋于某种平衡状态，即系统存在稳定的平衡点。在Volterra模型中考虑自身阻滞作用的Logistic项建立具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型，并对模型的稳定性进行分析。

二、问题背景和分析

自然界中不同种群之间存在着既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群已靠捕食种群甲为生，食用于和鲨鱼、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。生态学称甲为食饵（Prey），种群已为捕食者（Predator），二者构成了食饵—捕食者系统。然而在自然界中由于资源有限和其他作用，种群自身也会阻滞自身的增长，从而他们构成了自身具有阻滞作用的食饵—捕食者系统。

三、模型假设

食饵在自然界中生存若没有捕食者情况下独立生存，自身增长符合Logistic增长，而捕食者在离开食饵没有其他的食饵，在有食饵的情况自身增长亦符合Logistic增长。

四、符号说明 符号 意义 t x1(t) x2(t) r1 r2 N1 时刻 食饵在t时刻的数量 捕食者在t时刻的数量 食饵的相对增长率 捕食者的相对增长率 食饵的自环境最大容纳量 捕食者的环境最大容纳量 食饵受捕食者的影响 捕食者消耗食饵 N2 ?1 ?2

五、模型建立、求解与分析 5.1模型建立

当某个自然环境中只有一个种群生存时，可以同Logistic模型（阻滞增长）

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述这个种群的演变过程，即：

xx?rx(1?)。

N.对于食饵种群在自然环境中生存时他不受捕食者捕食的增长为：

x1?f(x)?r1x1(1?.x1)， N1在有捕食者的情况下食饵还受到捕食者的捕食，故其还受到捕食者的干预从使食饵增长率减小，在此情况下食饵的增长为：

x1?f(x)?r1x1(1?.x1x??12)。 N1N2对于捕食者在自然环境中生存没有食饵其死亡导致数量减少，从而为：

x2?g(x)?r2x2(?1?.x2)， N2在有食饵的情况下，食饵降低了捕食者的死亡率是捕食者的增长模型为：

x2?g(x)?r2x2(?1?得到自身具有阻滞作用的食饵—捕食者模型：

.x2x??21)。 N2N1x1?f(x)?r1x1(1?..x1x??12)。 N1N2x2?g(x)?r2x2(?1?5.2模型平衡点求解

x2x??21) N2N1 根据以上模型设f(x)?0和g(x)?0，解其方程组即可得到平衡点。

x1x2?f(x)?rx(1???)?0111?N1N2??

xx21?g(x)?rx(?1???2)?022?N2N1?解得平衡点有：

p1?(0,0)、P2?(N1,0)、P3?(N1(?1?1),N2(?2?1))。

1??1?21??1?25.3模型稳定性分析

5.3.1稳点点求解

根据微分方程平衡点的稳定性分析先求出方程的系数矩阵A，其中：

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?fx'1A??'??gx1带入f(x)和g(x)得到：

fx'2?? 'gx2??r1x2?r?2x?r?111?1N1N2?A?x2?r?22?N1????r2x1?，

?r2?2x2?r2?2?N2N1??r1?1x1N2'将平衡点带入A中计算相应的p和q，其中p??(fx'1?gx)|Pi、2q?det(A|Pi)(i?1,2,3)，当p?0,q?0时稳定。经计算得到在各个平衡点稳定性如表1

表1 具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型的平衡点及稳点性 平衡点 p q 稳定条件 不稳定 p1?(0,0) P2?(N1,0) P3?( ?r1?r2 r1?r2(?1?1) ?rr12 ?rr12(?1?1) ?2?1 ?2?1 N1(?1?1)N2(?2?1)r(??1)?r2(?2?1)r1r2(?1?1)(?2?1) ,) 111??1?21??1?21??1?21??1?2根据表1，当?2?1时，由于食饵不能够为捕食者提供足够的食物，P2?(N1,0)点稳定，即捕食者将灭绝，食饵趋向环境最大容量；当?2?1时，由于食饵能够为捕食者提供足够的食物，P3?(N1(?1?1)N2(?2?1),)点稳定，二者共存下去，

1??1?21??1?2分别趋向非零的有限值，这也是食饵—捕食者保持共存的最大数量。两者不会共

同走向灭绝。 5.3.2 相轨线分析

设r1?1.0 、r2?1.8、 ?1?0.5 、?2?1.6、 N1?6.0 、N2?4.0得到f(x)、

g(x)的图像（图1）和相轨线（图2）。

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252015105x(t)y(t)005101520253035404550

图1?2?1的f(x)与g(x)的图像

876543210510152025

图2 ?2?1的f(x)与g(x)相轨线

由图1可以看出，当?2?1.6?1是食饵和捕食者会保持相对稳定并且捕食者不会

趋近0。

设r1?1.0 、r2?1.8、 ?1?0.5 、?2?0.8、 N1?1.6 、N2?1.0得到f(x)、

g(x)的图像（图3）和相轨线（图4）。

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