2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)课时卷(3-5章)

作业17

第3章 三角函数

§3.1 任意角与弧度制、任意角的三角函数

1．(2011年蚌埠质检)已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选B.由sin A >0且tan A <0可知，角A 的终边一定落在第二象限，选B.

2．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34

，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3

C ．－43或－43

3 D. 3 解析：选C.依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得 tan α＝3或33，则a ＝－43或－43

3. 3．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点(－12，32

)，2α∈[0,2π)，则 tan α＝( ) A ．－ 3 B. 3

C.33 D ．±33

解析：选B.由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan 2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝ 3.

4．α是第四象限角，tan α＝－512

，则sin α＝( ) A.15 B ．－15

C.513 D ．－513

解析：选D.由α为第四象限角，设角α终边上点P (x ，y )满足x ＝12，y ＝－5，则r ＝x 2＋y 2

＝122＋(－5)2＝13，所以sin α＝y r ＝－513

，故选D. 5．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α

等于( ) A ．－61010 B.61010

C.105

D ．0 解析：选D.在y ＝－3x 上不妨取点(－1,3)，(1，－3)．

则当终边上点为(－1,3)时，sin α＝310

＝31010， cos α＝－110

＝－1010，∴10sin α＋3cos α＝0. 当终边上点为(1，－3)时，sin α＝－31010，cos α＝1010

， ∴10sin α＋3cos α

＝0. 6．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．

解析：根据题意知tan α＝－6x ＝－35

，所以x ＝10. 答案：10

7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．

解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1，得P 点按逆时针方向转过的角度为α＝2π3

，所以Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即(－12，32

)． 答案：(－12，32

) 8．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12

，则cos α＝__________. 解析：∵α是第二象限的角，∴cos α<0.

又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255

. 答案：－255

9．(1)确定tan (－3)cos8·tan5

的符号； (2)确定lg(cos6－sin6)的符号．

解：(1)∵－3、5、8分别是第三、第四、第二象限角，

∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，∴原式>0.

(2)∵6为第四象限角，∴cos6>0，sin6<0，故cos6－sin6>0.∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)，∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0.

10．(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；

(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3

角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2

所在的象限． 解：(1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3

， ∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3

＋k π，k ∈Z }． (2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3

(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3<2π?－37≤k <187

，k ∈Z . ∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内与θ3终边相同的角为2π7，20π21，34π21

. (3)∵α是第二象限角，

∴k ·360°＋90°<α

∴2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z .

∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴负半轴上．

∵k ·180°＋45°<α2

m ·360°＋45°<α2

m ·360°＋225°<α2

为第一或第三象限角． 11．(探究选做)一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果其半径等于2，那么它的面积等于多少？

解：设扇形的半径为r ，圆心角为α，依题意有2r ＋rα＝2πr ，

即2＋α＝2π，所以α＝(2π－2)弧度． 如果其半径等于2，

那么它的面积S ＝12r 2α＝12

×2×(2π－2)＝2π－2. 作业18

§3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．(2011年南阳联考)若α∈(0，π)，sin α＋cos α＝3－12

，则 tan α 的值为( ) A ．－33或－3 B ．－33

C ．－ 3

D ．－32

解析：选C.sin α＋cos α＝3－12?sin αcos α＝－34?tan α＝－33

或tan α＝－ 3.α∈(0，π)，0

<α<0，则tan α＝( ) A.43 B.34

C ．－43

D ．－34 解析：选C.依题意得，sin α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43

，故选C. 3．(原创题)已知cos(π3＋α)＝－13，则sin(α－π6

)的值为( ) A.13 B ．－13

C.233 D ．－233

解析：选A.∵π3＋α＝π2＋(α－π6

)， ∴cos(π3＋α)＝cos[π2＋(α－π6)]＝－sin(α－π6)＝－13

， ∴sin(α－π6)＝13

，故选A. 4．如果 sin 3θ－cos 3θ>cos θ－sin θ， 且θ∈(0,2π)，那么θ的取值范围是( ) A ．(0，π4) B ．(π2，3π4

) C ．(π4，54π) D ．(54

π，2π) 解析：选 C.由条件得(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ＋1)>0，即(sin θ－cos θ)(2＋sin θcos θ)>0，

∵2＋sin θcos θ>0，

∴sin θ－cos θ>0，

又θ∈(0,2π)，

∴θ∈(π4，5π4

)，故选C. 5．函数y ＝sin x ·cos x 1＋sin x ＋cos x

的值域是( ) A ．[－2－1，2＋1]

B ．[－2＋12，2＋12

] C ．[－22－1，22

＋1] D ．[－2＋12，－1)∪(－1，2－12

] 解析：选D.令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，－1)∪(－1，2]，则 sin x ·cos x ＝t 2－12

，所以有y ＝t －12，由t ∈[－2，－1)∪(－1，2]得y ∈[－2＋12，－1]∪(－1，2－12

]，故选D. 6．化简：sin(－1071°)·sin99°＋sin(－171°)·sin(－261°)＋tan(－1089°)·tan(－540°)＝________.

解析：原式＝(－sin1071°)·sin99°＋sin171°·sin261°＋tan1089°·tan540°＝－sin(3×360°－9°)·sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)＝sin9°·cos9°－sin9°·cos9°＋tan9°·tan180°＝0.

答案：0

7．已知函数f (x )＝?????

2cos π3x ，x ≤2000，x －10，x >2000，则f [f (2010)]＝________. 解析：∵2010>2000，∴f [f (2010)]＝f (2000)．

∴f (2000)＝2cos 2000π3＝2cos 2π3＝2cos(π－π3

)＝－1. 答案：－1

8．(2011年焦作联考)已知 cos α＝－513

，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________. 解析：依题意，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125

，则 tan(2π－α)＝－tan α＝125. 答案：125

9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2

<α<π)．求下列各式的值： (1)sin α－cos α；

(2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2

＋α)． 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23

.(*) 将(*)式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29

， 故2sin α·cos α＝－79

， 又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.

(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－(－79)＝169

， ∴sin α－cos α＝43

. (2)sin 3(π2－α)＋cos 3(π2

＋α)＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)·(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝(－43)×(1－718)＝－2227

. 10．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)

. (1)化简f (α)；

(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15

，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3

，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin (α－π)·cos (－α)·(－cos α)cos (π＋α)[－sin (π＋α)]

＝－sin α·cos α·(－cos α)－cos α·sin α

＝－cos α.

(2)∵cos(α－3π2

) ＝－sin α＝15

， ∴sin α＝－15

. ∵α为第三象限角，

∴cos α＝－1－sin 2α

＝－2425＝－265

， 即f (α)＝－cos α＝265

. (3)f (－31π3)＝－cos(－31π3)＝－cos 31π3

＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12

. 11．(探究选做)已知函数f (n )＝sin n π6

(n ∈Z )．求值： (1)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)；

(2)f (1)·f (3)·f (5)·…·f (101)．

解：(1)∵sin (n ＋12)π6＝sin(n 6π＋2π)＝sin n 6

π，f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝8×12＋6，

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12

＋0＝2＋ 3. (2)∵f (2n －1)＝sin (2n －1)π6， 其周期为6，f (1)·f (3)·…·f (11)＝12·1·12·(－12)·(－1)·(－12

)＝－(12

)4. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，

∴原式＝[－(12

)4]8·f (1)·f (3)·f (5)＝2－34.作业19

§3.3 两角和与差的三角函数

1．(2010年高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4

)＝( ) A ．－7210 B.7210

C ．－210 D.210

解析：选A.∵cos α＝－45

，α是第三象限角， ∴sin α＝－35

， ∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4

＝22(－45－35)＝－7210

. 2．(2009年高考全国卷Ⅰ)已知tan α＝4，cos βsin β＝13

，则tan(α＋β)＝( ) A.711 B ．－711

C.713 D ．－713

解析：选B.由已知，得tan β＝3，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝71－12

＝－711，故选B. 3．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4

)＝( ) A ．－210 B.210

C ．－7210 D.7210

解析：选A.∵α∈(－π2，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45

， ∴cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210

.故选A. 4．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2

，则β＝( ) A.π12 B.π6

C.π3

D.π4

解析：选C.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝3314

， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝17×1314＋437×3314＝12

. ∴β＝π3，故选C.

5．若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12

，则cos(α＋β)的值等于( ) A ．－32 B ．－12

C.12

D.32

解析：选B.∵α，β∈(0，π2)，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos(α－β2)＝32和sin(α2

－β)＝－12，可得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6

时，α＋β＝0，与α，β∈(0，π2)矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝2π3，此时cos(α＋β)＝－12

，选B. 6．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为________．

解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝12

. 答案：12

7．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35

，则tan αtan β＝________. 解析：由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝15，cos αcos β＋sin αsin β＝35，则有cos αcos β＝25

，sin αsin β＝15，sin αsin βcos αcos β＝12，即 tan αtan β＝12

. 答案：12

8．已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，则cos(α＋π4

)＝________. 解析：由于α，β∈(3π4，π)，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，故cos(α＋β)＝45，cos(β－π4

)＝－513，cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665

. 答案：－5665

9．(2011年济源质检)已知α∈(π2，π), 且sin α2＋cos α2＝62

. (1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2

，π)，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62

， 两边同时平方，得sin α＝12

. 又π2

<α<π， 所以cos α＝－32

. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2

. 由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45

. cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×(－35

) ＝－43＋310

. 10．(2009年高考广东卷)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2

)． (1)求sin θ和cos θ的值；

(2)若5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0<φ<π2

，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0?sin θ＝2cos θ.

∴sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1?cos 2θ＝15. ∵θ∈(0，π2)，∴cos θ＝55?sin θ＝255

. (2)由5cos(θ－φ)＝3 5cos φ得，

5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3 5cos φ

?5cos φ＋2 5sin φ＝3 5cos φ，

∴cos φ＝sin φ，

又0<φ<π2，∴cos φ＝22

. 11．(探究选做)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17

，求2α－β的值． 解：∵ tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17

＝13>0， ∴0<α<π2. 又tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－19

＝34>0， ∴0<2α<π2

. 此时tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17

＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2

<β<π， 则－π<2α－β<0.

∴2α－β＝－3π4

.

作业20

§3.4 简单的三角恒等变换

1．(2009年高考福建卷)函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )

A ．－1

B ．－12

C.12

D ．1 解析：选B.f (x )＝12sin2x ，∴最小值为－12

. 2．(2010年高考课标全国卷)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2

＝( ) A ．－12 B.12

C ．2

D ．－2

解析：选A.∵cos α＝－45

，α是第三象限的角， ∴sin α＝－35， ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2

＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2

＝1＋sin αcos α＝1－35－45

＝－12.故选A. 3．已知sin(π6＋α)＝13， 则cos(2π3

－2α)的值等于( ) A ．－59 B ．－79

C.59

D.79

解析：选B.∵π6＋α＋π3－α＝π2

， ∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13

， ∴cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝2×(13)2－1＝－79

，故选B. 4．(2011年亳州调研)已知sin θ＝45

，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225

C ．－45 D.2425

解析：选A.由题意，可知cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A.

5.

sin110°sin20°cos2155°－sin2155°

的值为( ) A ．－12 B.12

C.32 D ．－32

解析：选B.原式＝cos20°sin20°cos310°＝sin40°2cos50°＝12. 6．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4

＋2α)＝________.

解析：∵α为第三象限角，cos2α＝－35

， ∴sin2α＝45，∴tan2α＝－43

. ∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 答案：－17

7.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α

的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2

·1＋sin αcos α1－sin αcos α

＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：1

8．(2010年高考浙江卷)函数f (x )＝sin(2x －π4

)－22sin2x 的最小正周期是______． 解析：f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x ＝22sin2x －22cos2x －22×1－cos2x 2＝22sin2x ＋22

cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2，故该函数的最小正周期为T ＝2π2

＝π.故填π. 答案：π

9．(2010年高考北京卷)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin2x －4cos x .

(1)求f (π3

)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．

解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94

. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73

，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，

所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；

当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73

. 10．已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈(π2，π)，求sin(2α＋π3

)的值． 解：由已知得：(3sin α＋2cos α)(2sin α－cos α)＝0.

∴3sin α＋2cos α＝0或2sin α－cos α＝0.

由已知条件可知tan α<0，∴tan α＝－23.

sin(2α＋π3)＝sin2αcos π3＋cos2αsin π3

＝sin αcos α＋32

(cos 2α－sin 2α) ＝sin αcos αcos 2α＋sin 2α＋32·cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α

＝tan α1＋tan 2α＋32·1－tan 2α1＋tan 2α

. 将tan α＝－23

，代入上式得 sin(2α＋π3)＝－231＋(－23)2＋32×1－(－23)21＋(－23

)2 ＝－613＋5326＝53－1226

. 11．(探究选做)求证：cos 2α1tan α2

－tan α2＝14sin2α. 证明：法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2 ＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2

＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2

＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2

cos α ＝12sin αcos α＝14

sin2α＝右边． ∴等式成立．

法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2 ＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2

＝12cos 2α·tan α ＝12

cos αsin α ＝14

sin2α＝右边． ∴等式成立．

作业21

§3.5 三角函数的图像与性质

1．(2009年高考江西卷)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2

，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2 C.3＋1 D.3＋2

解析：选B.依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x <π2时，π6≤x ＋π6<2π3

，f (x )的最大值是2，故选B.

2．函数f (x )＝sin(2x ＋π3

)的图像的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12

C ．x ＝π3

D ．x ＝π6

解析：选A.2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12

(k ∈Z )， 当k ＝0时，x ＝π12

.故选A. 3．函数f (x )＝tan x ＋1tan x ，x ∈{x |－π2

}的图像为( )

解析：选A.∵f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )

＝－tan x －1tan x ＝－f (x )，∴函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除B 、C.

当0

时，f (x )>0，排除D. 4．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )

A ．2π，3

B ．2π，1

C ．π，3

D ．π，1

解析：选C.由题可知f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6

－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.

5．(2011年阜阳调研)同时具有下列性质：“①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立；②图

像关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π3

]上是增函数”的函数可以是( ) A ．f (x )＝sin(x 2＋π6) B ．f (x )＝sin(2x －π6

) C ．f (x )＝cos(2x ＋π3) D ．f (x )＝cos(2x －π6

) 解析：选B.依题意知，满足条件的函数的周期是π，以x ＝π3为对称轴，且在[－π6，π3]上

是增函数，对于A ，其周期为4π，因此不正确；对于C ，f (π3)＝－1，但该函数在[－π6，π3

]上不是增函数，因此C 不正确；对于D ，f (π3

)≠±1，因此D 不正确．综上可知，选B. 6．若函数f (x )＝cos ωx cos(π2

－ωx )(ω>0)的最小正周期为π，则ω的值为________． 解析：由于f (x )＝cos ωx cos(π2－ωx )＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω

＝π?ω＝1. 答案：1

7．如图是函数f (x )＝sinπx x 2－bx ＋c

的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为43，则b ＋c ＝________.

解析：当sinπx 取最大值1，且x 2－bx ＋c ＝(x －b 2)2＋c －b 24取最小值时，f (x )＝sin πx x 2－bx ＋c

取得最大值，由图像知，此时x ＝b 2＝12，所以b ＝1，c －14＝34

，c ＝1，故b ＋c ＝2. 答案：2

8．已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：

①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图像的一

个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2

，0]上单调递减． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

解析：①因为函数f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x sin x 是偶函数；②因为f (x ＋2π)＝(x ＋2π)sin(x ＋2π)＝(x ＋2π)sin x ＝x sin x ＋2πsin x ≠f (x )，所以函数f (x )的最小正周期不是2π；③f (π＋x )＝(π＋x )·sin(π＋x )＝－(π＋x )sin x ，而－f (π－x )＝－(π－x )·sin(π－x )＝－(π－x )sin x ，两者不恒等，所以(π，0)不是函数f (x )＝x sin x 的对称中心；④

求导可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当函数f (x )在区间[0，π2

]上时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0，所以函数f (x )＝x sin x 在[0，π2]上单调递增，当函数f (x )在区间[－π2

，0]上时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≤0，所以函数f (x )＝x sin x 在[－π2

，0]上单调递减． 答案：①④

9．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间[－π6，π2

]上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x

＝2sin x cos x ＝sin2x ，

所以函数f (x )的最小正周期为π.

(2)由－π6≤x ≤π2，得－π3

≤2x ≤π， 所以－32≤sin2x ≤1，

即f (x )的最大值为1，最小值为－32

. 10．(2011年南阳调研)已知函数f (x )＝1－2sin 2(x ＋π8)＋2sin(x ＋π8)cos(x ＋π8

)． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求函数f (x )的单调递增区间．

解：f (x )＝cos(2x ＋π4)＋sin(2x ＋π4)＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x . (1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2

＝π. (2)当2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，即k π－π2

≤x ≤k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝2cos2x 是增函数，故函数f (x )的单调递增区间是[k π－π2

，k π]，k ∈Z . 11．(探究选做)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x

，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．

解：由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4

，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4

，k ∈Z }． 因为f (x )的定义域关于原点对称，

且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )

＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x

＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．

当x ≠k π2＋π4

，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x

＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x

＝3cos 2x －1

所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12

§3.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1．(2009年高考湖南卷)将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数

y ＝sin(x －π6

)的图像，则φ等于( ) A.π6 B.5π6

C.7π6

D.11π6

解析：选D.将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6

)的图像，即sin(x ＋φ)＝sin(x －π6)，从而有φ＝－π6＋2k π，(k ∈Z )．∵0≤φ<2π，故φ＝11π6

.故选D. 2．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin(2x －π3

)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )

A ．向左平移π4

个长度单位 B ．向右平移π4

个长度单位 C ．向左平移π2

个长度单位 D ．向右平移π2

个长度单位 解析：选B.由y ＝sin(2x ＋π6)――→x →x ＋φy ＝sin[2(x ＋φ)＋π6]＝sin(2x －π3)，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3

，解得φ＝－π4，即向右平移π4

个长度单位，故选B. 3．(2009年高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图像向右平移π6

个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6

)的图像重合，则ω的最小值为( ) A.16 B.14

C.13

D.12

解析：选D.将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图像向右平移π6

个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图像与函数y ＝tan(ωx ＋π6

)的图像重合，根据正切函数的周期是k π，故其充要条件是－πω6＋π4＝k π＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12

(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12

，故选D. 4．(2010年高考江西卷)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作

出三个函数y ＝sin 2x ，y ＝sin(x ＋π6)，y ＝sin(x －π3

)的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是( )

解析：选C.当x ＝2k π(k ∈Z )时，y ＝sin2x ＝sin[2(2k π)]＝0，y ＝sin(x ＋π6)＝sin(2k π＋π6)＝12

>0，y ＝sin(x －π3)＝sin(2k π－π3)＝－32

<0，显然周期最小的函数为 y ＝sin2x ，过函数y ＝sin2x 的图像上的点(2k π，0)(k ∈Z )作一直线x ＝2k π(k ∈Z )，则此直线与另外两条曲线的两个交点的纵坐标分别为1

2，－32

，结合各选项可知有错误的图像为C.

5．(2010年高考天津卷)右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )

在区间[－π6，5π6

]上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈Z )的图像上所有的点( )

A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变

B ．向左平移π3

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变 D ．向左平移π6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：选A.观察图像可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×(－π6

)＋φ＝0，得φ＝π3，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)，故只要把y ＝sin x 的图像向左平移π3

个单位长度后，再把各点的横坐标缩短到原来的12

倍(纵坐标不变)即可．

解析：y ＝A cos(ωx ＋φ)，则A ＝4，T ＝0.8，∴ω＝2.5π，代入最高点(0.4,4)得φ＝π， ∴y ＝－4cos2.5πx .

答案：y ＝－4cos2.5πx

7．定义一种运算：(a 1，a 2)?(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝(3，2sin x )?(cos x ，cos 2x )的图像向左平移n (n >0)个单位长度，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为______．

解析：由新定义可知f (x )＝3cos2x －sin2x ＝2cos(2x ＋π6

)，将函数f (x )的图像向左平移n (n >0)个单位长度后得到y ＝2cos(2x ＋2n ＋π6)的图像，该函数为偶函数，则2n ＋π6

＝k π(k ∈Z )，即n ＝k π2－π12，又n >0，所以n 的最小值为5π12

. 答案：5π12 8．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6

)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2

]，则f (x )的取值范围是____________． 解析：∵f (x )与g (x )的图像的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω>0，

∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x －π6)，∵0≤x ≤π2.∴－π6≤2x －π6≤5π6

， ∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－32≤3sin(2x －π6)≤3，即f (x )的取值范围为[－32

，3]． 答案：[－32

，3]

9．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线

近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .

(1)求这段时间的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解：(1)由图示可知，这段时间的最大温差是：

30－10＝20℃.

(2)图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像，所以12·2πω

＝14－6，解得ω＝π8

. 由图示可知，A ＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20.

这时y ＝10·sin(π8

x ＋φ)＋20. 将x ＝6，y ＝10代入上式，可取φ＝3π4

. 综上，所求的解析式为：

y ＝10sin(π8x ＋3π4

)＋20，x ∈[6,14]． 10．(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2

＋φ)(0<φ<π)，其图像过点(π6，12

)． (1)求φ的值；

(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在[0，π4

]上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2

＋φ)(0<φ<π)， 所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12

cos φ ＝12sin2x sin φ＋12

cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ)＝12

cos(2x －φ)． 又函数图像过点(π6，12

)， 所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3

－φ)＝1. 又0<φ<π，所以φ＝π3

. (2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12

，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，可知

g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3

)， 因为x ∈[0，π4

]，所以4x ∈[0，π]， 因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3

)≤1. 所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14

. 11．(探究选做)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)．其中ω>0，|φ|<π2

. (1)若cos π4cos φ－sin 3π4

sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3

，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．

解：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4

sin φ＝0，得 cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，

即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4

. (2)法一：由(1)得f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3

. 又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4

)． 函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为

g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4

]． g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2

(k ∈Z )． 即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12

. 法二：由(1)得f (x )＝sin(ωx ＋π4

)． 依题意，T 2＝π3

. 又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋π4

)． 函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为

g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4

]， g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，

亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π4

)对x ∈R 恒成立． ∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π4

) ＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π4

)， 即2sin3x cos(3m ＋π4

)＝0对x ∈R 恒成立． ∴cos(3m ＋π4

)＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2

(k ∈Z )， ∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12

. 作业23

§3.7 解三角形

1．(2010年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能确定

解析：选A.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°?a 2－b 2－ab ＝0?b ＝－a ＋5a 2

A ．－223 B.223

C ．－63 D.63

解析：选D.依题意，得0°

a sin A ＝

b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝33.∴cos B ＝63

. 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：选 A.由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°.故选A.

4．(2010年高考北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α

的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )

A ．2sin α－2cos α＋2

B ．sin α－3cos α＋3

C ．3sin α－3cos α＋1

D ．2sin α－cos α＋1 解析：选A.四个等腰三角形的面积之和为4×12

×1×1×sin α＝2sin α.再由余弦定理可得正方形的边长为12＋12－2×1×1×cos α＝2－2cos α，故正方形的面积为2－2cos α，所以该八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.

5．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )

A.1627

B.23

C.33

D.34

解析：选 D.设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23

，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45

，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF

＝1－(45)245

＝34. 6．(2010年高考广东卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.

解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.

由正弦定理得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12

. 答案：12

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3

，则a ＝______. 解析：在△ABC 中，由正弦定理得1sin B ＝3sin 2π3

，解得sin B ＝12，因为b

答案：1

8．在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.

解析：如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题设可知BD ＝13a ，CD ＝23

a ，所以根据余弦定理可得

b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，

c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13

a cos135°，由题意知

b ＝2

c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13

a ＝2＋ 5. 答案：2＋ 5

9．已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足a ＋b ＝a 1tan A ＋b 1tan B

，求内角C . 解：由a ＋b ＝a 1tan A ＋b 1tan B

及正弦定理得 sin A ＋sin B ＝cos A ＋cos B ，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ，从而sin A cos π4－cos A sin π4＝cos B sin π4

－sin B cos π4，即sin(A －π4)＝sin(π4

－B )． 又0

故A －π4＝π4－B 或A －π4＋π4－B ＝π，得A ＋B ＝π2

， 所以C ＝π2

. 10．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513

，cos ∠ADC ＝35

，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2

. 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45

. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365

. 由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD

， 所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD

＝33×5133365

＝25. 11．(探究选做)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面

积，满足S ＝34

(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；

(2)求sin A ＋sin B 的最大值．

解：(1)由题意，可知12ab sin C ＝34

·2ab cos C ， 所以tan C ＝ 3.

因为0

. (2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A )＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12

sin A ＝3sin(A ＋π6)≤ 3. 当△ABC 为正三角形时取等号，

所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.作业24

§3.8 三角函数的综合应用

1．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯

塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°

方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，

与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为( ) A.26海里 B.13海里

C ．213海里

D ．152海里

解析：选B.连接AC ，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.

2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )

A ．5海里

B ．53海里

C ．10海里

D ．103海里

解析：选C.如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，

所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形

ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5

＝10(海里/小时)． 3．(2011年亳州质检)在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)则△OAB 的面积的取值范围是( )

A ．(0,1]

B ．[12，32

] C ．[14，32] D ．[14，34

] 解析：选D.直线OA 的方程是y ＝x cos θ，即x cos θ－y ＝0，点B 到直线OA 的距离d ＝|cos θsin θ－1|cos2θ＋1＝1－sin θcos θcos2θ＋1，|OA |＝1＋cos2θ，故△OAB 的面积是12|OA |·d ＝12(1－sin θcos θ)＝12(1－12sin2θ)∈[14，34

]．故选D. 4．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( ) A.2063

米 B ．106米

C.1063

米 D ．202米 解析：选A.如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，

折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.