作业习题、思考题新

习题1

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时刻的速度。

解：（1）由r?4t2i?(3?2t)j，可知x?4t2 ，y?3?2t 消去t得轨道方程为：x?(y?3)2，∴质点的轨道为抛物线。 （2）由v?dr，有速度：v?8ti?2j dt从t?0到t?1秒的位移为：?r??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j

0011（3）t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?t2i?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由v?drdv，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i； dtdt1222（2）而v?v，有速率：v?[(2t)?2]?2t2?1 ∴at?dv?dt2tt2?12，利用a2?at2?an有： an?a2?at2?2。 2t?1思考题1

1-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?

（A）v?v,v?v；（B）v?v,v?v；（C）v?v,v?v；（D）v?v,v?v 答：（C）

1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。 答：B

1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的v?t图像，由图可知

（A）两个质点一定从同一位置出发 （B）两个质点都始终作匀加速运动 （C）在t2s末两个质点相遇 （D）在 答：D

时间内质点B可能领先质点A

习题3

3-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)，在本题中，kx?mg，所以k?9.8；

∴ ??k9.8??98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状

态为原长，那么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以：x?0.1cos 即：x??0.1cos(98t) （98t??）3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2??A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：

当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时， 相位为

?， 34?。 3而质点2在 x2??A/2 处，且向右运动， 相位为

所以它们的相位差为?。

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后

?，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6解：根据题意，对于A、B两点，????B??A??，?x?2m， 6x?xA?x2???2?， 而相位和波长之间满足关系：????B??A??B??代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u???T?12m/s。

3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

（t?）??0]，则P点的振动式为： 解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?x1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， u?x1x?x1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?有：?0?)??]；

uux??0]，则P（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y?Acos[?（t?）uyP?Acos[?（t?点的振动式为：

xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， u?xx?x1有：?0??1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]。

uuyP?Acos[?（t?

3-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 3（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，u??/?T0， .ms则：

2?2???，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0) T?O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)

1?由图形可知：t?s时：yO?0.05，有：0.05?0.1cos(??0)

33?5?dyO考虑到此时（舍去） ?0，∴?0?，

33dt??那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；

?3)；

（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)

1?s时：yA?0，有：cos(??A)?0 335?7?dyA考虑到此时（或?A?） ?0，∴?A??66dt5?7?)，或yA?0.1cos(?t?)； ∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?66由图形可知：t?（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：

35??7?t???t?5?xA?，所以：xA??0.233m 。

6330

3-13．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！

由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10?3cos(?t??0)。 （1）当t?0时，yO当t?1时，yOt?0??2.5?10?3，考虑到：

dyOdtt?0?0，有：?0???3，

t?1?0，考虑到：

dyOdt?3t?1?0，有：???3??2，??5?， 6∴原点的振动表达式：yO?5?10cos(5??t?)； 635??t?kx?) 63?5?124?5?24???3??t?x?)； 而k??，∴y?5?10cos(u60.8256253?x25?k?x???3.27rad 。 （3）位相差：???2??24（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10cos(?3

习题6

6-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处O点的场强E。

解：电荷元dq产生的场为：dE?dq；

4??0R2?Ydq?d?Ro?dEX根据对称性有：dEy?0，则：

?E??dEx??dEsin????0?Rsin?d??， ?24??0R2??0R方向沿x轴正向。即：E?

?i。

2??0R6-6．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面，

??d当x?时，由?E?dS?2E??S和?q?2x??S，

s12有：E??x； ?0?d2?0??d当x?时，由?E?dS?2E??S和?q??d?S，

s22有：E?

思考题6

E?d。图像见右。 2?0?d2O?d2x?d2?06-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力；

（D）以上说法都不正确。 答：（C）

6-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)

??16-7．由真空中静电场的高斯定理?E?dS??q可知下面哪个说法是正确的？

s?0(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C)

6-8．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为

?11???? ?rR?qq?11?(C) (D)???

4??0?r?R?4??0?Rr?(A)

qq (B)

4??0r4??0答：(B)

6-9．设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中

的U0和b皆为常量)：

答：(C)

习题7

7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。

解：圆弧在O点的磁感应强度：B1?；

?0I??0I，方向：⊙ ?4?R6R

的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：

2?f2?546?10?9?0.4?32?x???1.0?10m ?3a0.437?109-13．波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为0.002cm的光栅

上，紧靠光栅后用焦距为2m的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。

解：两种波长的第三谱线的位置分别为x1、x2，

f1fx由光栅公式：dsin???k?，考虑到sin??tan??，有：x1? k?，x2?k?2，

ddff2所以：?x?x1?x2?k???3?20?10?9?6?10?3m。 ?5d2?109-14．波长600nm的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在sin??0.20处，第四

级缺级。试求：

（1）光栅常数(a?b)；

（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a；

（3）按上述选定的a、b值，在光屏上可能观察到的全部级数。 解：（1）由(a?b)sin??k?式，对应于sin??0.20处满足：

0.20(a?b)?2?600?10?9，得：(a?b)?6.0?10?6m；

（2）因第四级缺级，故此须同时满足：(a?b)sin??k?，asin??k??，

a?bk??1.5?10?6k?，取k??1，得光栅狭缝的最小宽度为1.5?10?6m； 4(a?b)sin??（3）由(a?b)sin??k?，k?，当??，对应k?kmax，

?2解得：a?∴kmax?a?b?6.0?10?6??10。 6000?10?10??因?4，?8缺级，所以在?90???90范围内实际呈现的全部级数为：

k?0，?1，?2，?3，?5，?6，?7，?9共15条明条纹(k??10在???90?处看不到)。

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