南京市金陵中学2011届高三第四次模拟数学

南京市金陵中学2011届高三第四次模拟考试

数 学

注意事项：1. 本试卷满分160分，考试时间120分钟．

2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．

2

2. 命题：“若a，b，c成等比数列，则b＝ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是________．

3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．

4. 用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是________． 5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：

年级 高度近视眼患者人数 抽取人数 高一 18 x 高二 36 2 高三 54 y 若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________．

y2222

6. 双曲线x－＝1的渐近线被圆x＋y－6x－2y＋1＝0所截得的弦长为________．

4

7. 在共有2 013项的等差数列{an}中，有等式(a1＋a3＋?＋a2 013)－(a2＋a4＋?＋a2 012)＝a1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{bn}中，相应的有等式________成立．

π

8. 已知向量p的模是2，向量q的模为1，p与q的夹角为，a＝3p＋2q，b＝p－q，

4

则以a、b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．

?x－y＋5≥0，

?

9. 若x，y满足不等式组?x≤3，

??x＋y－k≥0，

且z＝2x＋4y的最小值为－6，则k的值为

________．

Sn

10. 已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且n＝对任意n∈N*恒成

Tn2n－1

a

立，则10的值为________．

b5

11. 已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋a≥0}，A，B的交集不是空集，则实数a的取值范围是________．

12. 定义在R上的函数f(x)的图象过点M(－6,2)和N(2，－6)，对任意正实数k，有f(x＋k)＜f(x)成立，则当不等式|f(x－t)＋2|＜4的解集为(－4,4)时，实数t的值为________．

13. 平面四边形ABCD中，AB＝3，AD＝DC＝CB＝1，△ABD和△BCD的面积分别为

22

S，T，则S＋T的最大值是________．

??xQ＝yP＋xP，

14. 在直角坐标系xOy中，点P(xP，yP)和点Q(xQ，yQ)满足?按此规则由点

?yQ＝yP－xP，?

OQ

P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若＝m，∠POQ＝θ，其

OP

中O为坐标原点，则y＝msin(x＋θ)的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为________．

二、 解答题：本题共6小题，共计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

315. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx－(x∈R)．

2

π?

(1) 若x∈?0，?2?，求f(x)的最大值；

1BC

(2) 在△ABC中，若A＜B，f(A)＝f(B)＝，求的值．

2AB

16. (本小题满分14分)已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB1＝8，E，F分别是线段A1A，BC上的点．

(1) 若A1E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A1FD. (2) 若BD⊥A1F，求三棱锥A1AB1F的体积．

17. (本小题满分14分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，

x2－a?＋2a＋，x发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝?2

?x＋1?3

∈，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．

x

(1) 令t＝2，x∈，求t的取值范围；

x＋1

(2) 省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

x2y2222

18. (本小题满分16分)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，⊙O：x＋y＝b，点A，F分

ab

别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．

(1) 若P(－1，3)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；

PA

(2) 是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，

PF

说明理由．

12

19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)x＋2lnx(a为正数)．

2

(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值； (2) 求f(x)的单调区间；

(3) 设g(x)＝x2－2x，若对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

an?a2n＋1＋1?

(本小题满分16分)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n≥1，n∈N*)． 2an＋1

?an＋1?

(1) 求证：数列?1?是常数列；

an＋?an?

22

(2) 求证：当n≥2时，2＜an－an－1≤3； (3) 求a2 011的整数部分.

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数学附加题 注意事项：

1. 附加题供选修物理的考生使用．

2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．

3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．

21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修41：几何证明选讲

如图，设AB为⊙O的任意一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.

求证：(1) l是⊙O的切线；(2) PB平分∠ABD.

B. 选修42：矩阵与变换 已知点A在变换T：]→]＝]的作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B坐标为(－3,4)，求点A的坐标．

C. 选修44：坐标系与参数方程

2x＝2，t＋11

求曲线C1：被直线l：y＝x－所截得的线段长．

22t

y＝2t＋1

???

D. 选修45：不等式选讲

abcbca

已知a、b、c是正实数，求证：2＋2＋2≥＋＋.

bcaabc

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小；

(2) 求平面OAB与平面OCD所成二面角的余弦值．

222

23. (本小题满分10分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙．

(1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；

(2) 比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．

[来源学科网ZXXK]

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数学参考答案及评分标准 31

1. 25 2. 2 3. －9 4. R 5. 6. 4

22

a1·a3·a5?a2 011197π7. ＝a1 006 8. 29 9. 0 10. 11. 12. 2 13. 14. ?，2??? a2·a4·a6?a2 0101784

3?1－cos2x?13

15. (1) f(x)＝＋sin2x－

222

13π?＝sin2x－cos2x＝sin?2x－.(4分) ?223?

πππ2π

∵0＜x＜，∴－＜2x－＜.(6分)

2333ππ5π

∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)取最大值1.(7分)

3212

π?ππ5π

(2) ∵f(x)＝sin?2x－，x是三角形的内角，则0＜x＜π，－＜2x－＜.

?3?3331π?1

令f(x)＝，得sin?2x－＝，

?23?2

πππ5π∴2x－＝或2x－＝.

3636π7π

解得x＝或x＝.(9分)

412

1π7π

由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f(A)＝f(B)＝，∴A＝，B＝.

2412

π

∴C＝π－A－B＝.(11分)

6

π2sin

BCsinA42

由正弦定理，得＝＝＝＝2.(14分)

ABsinCπ1

sin

62

16. (1) 过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF. AE5EG5

∵1＝，∴＝，∴EG＝10＝BF. A1A8AD8

∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG.

[来源学科网]∴四边形BFGE是平行四边形．

∴BE∥FG.(4分)

又FG?平面A1FD，BE?平面A1FD， ∴BE∥平面A1FD.(6分)

(2) ∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD. 由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F＝A1， ∴BD⊥平面A1AF.

∴BD⊥AF.(8分)

∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，

AD

∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2.

ABFBBF

在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝.

AB8

π

∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，

2

BF1

∴＝，BF＝4.(10分) 82

∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD， 又平面ABCD∩平面AA1B1B＝AB，∠ABF＝90°，

∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．(12分) ∵∠AA1B1＝90°，AA1＝BB1＝8，A1B1＝AB＝8， ∴S△AA1B1＝32.

1128

∴V三棱锥A1AB1F＝V三棱锥FA1B1A＝×S△AA1B1×BF＝.(14分)

33

17. (1) 当x＝0时，t＝0；(2分)

1111

当0＜x≤24时，＝x＋.对于函数y＝x＋，∵y′＝1－2，

txxx

1

∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y＝x＋单调递增，

x1

当1＜x≤24时，y′＞0，函数y＝x＋单调递增，

x

∴y∈.

综上，t的取值范围是]．(5分)

2

3a－t＋，0≤t≤a，

32

(2) 当a∈]时，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋＝(8分)

321

t＋a＋，a≤t≤.

32

217

∵g(0)＝3a＋，g??＝a＋，

?2?36

11

g(0)－g??＝2a－. ?2?2

11g??，0≤a≤，?2?4

故M(a)＝

11g?0?，＜a≤

42

?

??

???

?a＋6，0≤a≤4，＝?211

3a＋，＜a≤?342.

71

(10分)

4

当且仅当a≤时，M(a)≤2，(12分)

9

4

故a∈]时不超标，a∈?，1]时超标．(14分)

?9

222

18. (1) ∵P(－1，3)在⊙O：x＋y＝b上， ∴b2＝4.(2分)

→→

又∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OP，∴OP·AP＝0，

即(－1，3)·(－1＋a，3)＝0，解得a＝4.

22xy

∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)

164222

(2) 设F(c,0)，c＝a－b，

PA

设P(x1，y1)，要使得是常数，则有(x1＋a)2＋y21＝λ，λ是常数．

PF

2222

即b＋2ax1＋a＝λ(b＋2cx1＋c)，(8分)

2222

比较两边，b＋a＝λ(b＋c)，a＝λc，(10分)

22222323

故cb＋ca＝a(b＋c)，即ca－c＋ca＝a，

3

即e－2e＋1＝0，(12分)

5－1

(e－1)(e2＋e－1)＝0，符合条件的解有e＝，

2

5－1

即这样的椭圆存在，离心率为.(16分)

2

2

19. f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．

x2

(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)

3

?ax－1??x－2?

(2) f′(x)＝(x＞0)．

x11

①当0＜a＜时，＞2，

2a1

在区间(0,2)和?，＋∞?上，f′(x)＞0；

?a?1?在区间?2，

?a?上，f′(x)＜0，

11

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和?，＋∞?，单调递减区间是?2，?.(6分)

?a??a?2

?x－2?1

②当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)

22x1111

③当a＞时，0＜＜2，在区间?0，?和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间?，2?上，f′(x)

?a??a?2a

1??1，2?.(10分) ＜0，故f(x)的单调递增区间是?0，和(2，＋∞)，单调递减区间是?a??a?

(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)max＜g(x)max.(11分) 由已知，g(x)max＝0，由(2)可知，

1

①当0＜a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，

2

故f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2 ＝－2a－2＋2ln2，

1

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)

2

11

②当a＞时，f(x)在?0，

?a]上单调递增，在]上单调递减， 2

1?1

故f(x)max＝f?＝－2－－2lna.

?a?2a111

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

22e

∴－2－2lna＜0，f(x)max＜0，(15分) 综上所述，a＞0.(16分)

an?a2n＋1＋1?

20. (1) 易知，对一切n≥1，an≠0，由an＋2＝，得2an＋1依次利用上述关系式，可得 an＋1an－1ana2

＝＝＝?＝2＝＝1， 11111an＋an－1＋an－2＋a1＋1＋

anan－1an－2a11

?an＋1?

从而数列?1?是常数列．(4分)

an＋?an?

1

(2) 由(1)得an＋1＝an＋. an

an＋21

an＋1＋

an＋1

＝an＋1

. 1an＋

an

1

又a1＝1，∴可知数列{an}递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而0＜2≤1.(6分)

an

?an－1＋1?2＝a2－＋1＋2，

当n≥2时，a2＝nn1

?an－1?a2n－112

于是a2n－an－1＝2＋2，

an－1

22

∴2＜an－an－1≤3.(8分)

12

(3) 当n≥2时，a2n＝an－1＋2＋2，

an－1

112

∴a2＝＋?＋n22＋a1＋2(n－1)．

an－1a1

22

a1＝1，a2＝4，则当n≥3时，

112

a2n＝2＋?＋2＋a1＋2(n－1)

an－1a111

＝2＋?＋2＋1＋1＋2(n－1) an－1a211

＝2＋?＋2＋2n＞2n. an－1a2

112

a2 011＝2＋?＋2＋2(2 011－1)＋1＞4 021

a2 010a1

2

＞3 969＝63，(10分)

11

a2＋?＋2＋2(2 011－1)＋1 2 011＝2a2 010a1

11

＝4 021＋2＋?＋2

a1a2 0101111

＜4 020＋＋＋＋?＋

1462×2 0101111?＝4 022＋?＋＋?＋

2?232 010?1

＝4 022＋ 2

?1＋1＋?＋1?＋?1＋1＋?＋1?] ?4041199??2002012 010?

1

＜4 022＋ 2

?1＋1＋?＋1?＋?1＋1＋?＋1?] ?404040??200200200?1111

＝4 022＋?×38＋×160＋?＋×1 811?

?2?240200

来源:Z[xxk.Com]

[来源学科网Z.X.X.K]

12

＜4 022＋(19＋4＋10)＜4 039＜4 096＝64.(14分)

2

∴63＜a2 011＜64，即a2 011的整数部分为63.(16分)

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数学附加题参考答案及评分标准

21. A: (1) 连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD，∴OP∥BP，从而OP⊥l. ∵P在⊙O上，∴l是⊙O的切线．(6分)

(2) 连接AP，∵l是⊙O的切线， ∴∠BPD＝∠BAP.

又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°， ∴∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.(10分) B：]]＝]．(6分)

设A(a，b)，则由]]＝]， ??－b＝－3，得? ?a＋2b＝4，?

??a＝－2，∴?即A(－2,3)．(10分) ?b＝3，?

2

，①?x＝t＋1

C：C：?2t

y＝

?t＋1，②21

2

②y

得t＝，代入①，化简得x2＋y2＝2x. ①x

2

又x＝2≠0，∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．(6分)

t＋1

1

圆C1的圆心到直线l：y＝x－的距离

2

?1－0－1??2?1d＝＝. 22214

所求弦长为21－d2＝.(10分)

2

ab?2?bc?2?ca?2a2b2c2??abc???D：由?－?＋?－?＋?－?≥0，得2?2＋2＋2?－2?＋＋?≥0， bccaabbcabca222

abcbca

∴2＋2＋2≥＋＋.(10分) bcaabc22. 作AP⊥CD于点P，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，

P?0，2，0?，D?－2，2，0?，O(0,0,2)，M(0,0,1)． ???2?22

→→

(1) AB＝(1,0,0)，MD＝?－2，2，－1?，

?2?2

1→→

则cos〈AB，MD〉＝－，

2π

故AB与MD所成角为.(4分)

3

→→

(2) OP＝?0，2，－2?，OD＝?－2，2，－2?，

???2?22

设平面OCD的法向量n＝(x，y，z)，

→→则n·OP＝0，n·OD＝0，

2y－2z＝0，2即

22－x＋y－2z＝0，22

???

取z＝2，则n＝(0,4，2)．(6分)

易得平面OAB的一个法向量为m＝(0,1,0)，

22cos〈n，m〉＝，(9分)

3

22

故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为.(10分)

3

23. (1) p1＝pn(2－pn)，(2分) p2＝pn(2－p)n.(4分) (2) (用二项式定理证明)

nnn

p2－p1＝p{－2＋}

n

＝p{－2 ＋}

＝pn＞0.(10分)

nn

说明：作差后化归为用数学归纳法证明：(2－p)＞2－p也可．

[来源学科网Z.X.X.K]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6wpg.html