浅谈矩阵的一些形式论文定稿版

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JISHOU UNIVERSITY

本科生毕业论文

题 目： 作 者： 学 号： 所属学院： 专业年级： 指导教师： 完成时间：

浅谈矩阵的一些形式

武 敏 20084041013 数学与统计学院 2008级数学与应用数学 莫宏敏

职 称：

副教授

2012年5月14日

吉首大学教务处制

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独创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.

论文题目： 浅谈矩阵的一些形式 作者签名： 日期： 年 月 日

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论文题目： 浅谈矩阵的一些形式 学生签名： 日期： 年 月 日

导师签名： 日期： 年 月 日

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目 录

摘 要 ................................................................. I Abstract .............................................................. II 1 绪 论 ............................................................... 1 2 知识点 .............................................................. 2 3 矩阵的一些形式 ..................................................... 4

3.1 单位方阵 ...................................................... 4 3.2 特殊方阵 ...................................................... 5 3.3 逆矩阵 ........................................................ 6 3.4 矩阵的转置 .................................................... 7 3.5 对称矩阵 ...................................................... 7 3.6 共轭矩阵 ...................................................... 8 3.7 厄米特矩阵 .................................................... 9 3.8 直和 .......................................................... 9 4 矩阵的实际应用 .................................................... 11 参考文献 .............................................................. 16

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浅谈矩阵的一些形式

摘 要

矩阵是数学中一个重要的概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用中的一个重要工具.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过半个多世纪的发展，现在已经成为独立的一门数学分支——矩阵论.矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理学、科技等方面都十分广泛的应用.为此，本文较为系统的总结了矩阵的一些形式，如单位方阵、特殊方阵、逆矩阵和矩阵的实际应用等以进一步提高对矩阵的学习和把握.

关键词:方阵;逆转;转置;对称;共轭;直和

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Discussion on some form of matrix

Abstract

Matrix mathematics is an important concept, is the algebra is one of the main research objects, research and application of mathematics is an important tool. The matrix itself has properties dependent on the properties of the elements, matrix by initially as a tool after more than half a century of development, has now become an independent branch of Mathematics -- matrix theory. The application of matrix in many aspects, not only in mathematics, physics, mechanics, but also in the respect such as science and technology has very broad application. Therefore, this article systematically summarizes the matrix of some forms, such as the unit square, special matrix and the matrix of the reversal of the matrix to further improve the learning and understanding.

Key words: A square matrix；Inverse matrix ；Transpose ；Symmetric ；Conjugate ；Straight and

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1 绪 论

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明的这个术语.而现在矩阵已由一种工具发展成为了一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.实际生活中制作表格、魔方和工业控制系统等当中无处不充实着矩阵的力量和魅力.本文主要总结了矩阵的几类主要形式，单位方阵，特殊方阵，逆矩阵，矩阵的转置，对称矩阵，共轭矩阵，直和，以及矩阵的现实应用价值以促进对矩阵相关知识的提高掌握.

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2 知识点

定义2.1由m n个数aij K（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n)排成

的m行、n列的长方形表

a11a12

a21a22

am1am2

a1n a2n

amn

称为数域K上的一个m n矩阵.其中的aij称为这个矩阵的元.两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等.

定义2.2 设A= aij 是一个m n矩阵.定义A的转置矩阵AT为一个n m矩阵，它的

j,i 元即

a11a21

a12a22

AT=

a1na2n

am1 am2

amn

从定义可以看出转置矩阵就是把原矩阵的行列对调而得到的矩阵.上（或下）三角形矩阵的转置矩阵是下（或上）三角形矩阵.

定义2.3 对矩阵A的行施行以下3种类型的变换：

1.把矩阵的某一行乘一个数后加到另一行上； 2.交换矩阵的两个行；

3.用一个非零数乘矩阵的某一行：

称为矩阵的初等行变换。类似地，对矩阵的列施行的相同类型的变换： 1.把矩阵的某一列乘一个数后加到另一列上； 2.交换矩阵的两个列；

3.用一个非零数乘矩阵的某一列：

称为矩阵的初等列变换.显然，对矩阵A施行初等行（或列）变换相当于对转置矩阵AT施行相应的初等列（或行）变换.

定义2.4设A为n阶方阵，若数 和非零向量x满足

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Ax x

则称 为A的特征值,x为A的对应于特征值的特征向量.

定义2.5若A与B两个方阵，使得AB=BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换。

若A是任何一个n阶方阵，则可以很简单证明A与本身以及In是可交换的. 两可逆矩阵乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积.

若矩阵A2 I，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵即为一对合矩阵.一对合矩阵为其本身的逆矩阵.

定义2.6两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后之和，亦即

A B

'

A' B'

与两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积.即为

'

AB B' A'

定义2.7两矩阵之和的共轭为该二矩阵共轭之和，亦即A B A B.

两矩阵之积的共轭为该二矩阵共轭的同方向乘积，亦即AB A B.共轭矩阵，有时也可写成A*.我们可得共轭矩阵A的转置等于其A的转置写为A'（A共轭转置）

'

转置矩阵的共轭，亦即 A A'.

定义2.8 如果A为一n阶方阵，则A A'为厄米特矩阵，并且A A'为反厄米特矩阵.

A ' 及反厄由此定义我们可得每一带有复数元素的方阵A可写作厄米特矩阵B 1A

A ' 之和. 米特矩阵C 1A

定义2.9如果A diag(A1,A2, ,As)与B diag(B1,B2, ,Bs)其中Ai与Bi的阶均相同

（对于所有的i=1,2， ，s）则AB diag(A1B1,A2B2, ,AsBs).

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3 矩阵的一些形式

3.1 单位方阵

i<j， 设方阵A=（aij），若其元素aij=0，i>j，则称A为上三角方阵，反之，aij=0，

则称为下三角方阵.因此

a11a12

0

a22

0 0 a110

a21a22

an1an2 a110 0

a22

矩阵D=

0 0

a1n

a2n

为上三角，而 ann

0 0 为下三角.

ann

0 0 其上与下三角之元素均为零，称此矩阵为对角矩阵，常写

ann

成

D=diag(a11,a22,a33, ,ann)

上述对角矩阵D，其对角元素a11=a22= =ann=k时，D称为纯量矩阵，若进一步假设k=1，则此矩阵称为单位方阵，常以In表示. 例如

100

10 010 I2= 而 I3= 01 001

当单位矩阵的阶明显或不重要时则只以I表示之.很明显地，In In 共有p项时，其和为p In diag(p,p,p, ,p)且Ip I I 共乘以p次，其乘积则仍为I.

123

单位方阵与整数1有一些相同的性质.例如，若A ，则456

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I2 A A I3 I2AI3 A.

3.2 特殊方阵

若A与B两个方阵，使得AB BA，则称A与B为可交换矩阵或谓之交换.若A是任何一个n阶方阵，则可以很简单证明A与本身以及In是可交换的. 若A与B之关系为AB BA，则矩阵A与B称为反交换.

若矩阵A=Ak 1，其中k为正整数，则称A为周期矩阵，此时，若k=1，即A2 A则

A称为等幂方阵.

2 2 4

为等幂方阵. 例3.21 证明 134

1 2 3

2 2 4 2 2 4 2 2 4

13 = 13 =A 证明 A2= 13444

1 2 3 1 2 3 1 2 3

故其为等幂方阵.

若矩阵Ap 0，其中p为正整数则称A为零幂方阵，此时，若p为Ap 0的最小正整数则称A为指数p的零幂方阵.

13 1

为3阶零幂方阵. 526例3.22 证明A=

2 1 3 13 1

526证明 A2=

2 1 3

13 000 1

5 = 33 269 2 1 3 1 1 3

且

0 00

339 A3=A2 A=

1 1 3

13 1

5 =0 26 2 1 3

故得证.

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3.3 逆矩阵

如果A和B为两个方阵，并且AB BA=I则B称为A的逆转，我们可写成B=A 1（B等于A的逆矩阵）.矩阵B亦有一逆矩阵A写成A=B 1.

123 6 2 3 100

11 = 010 =I，两个乘积中，任一个矩阵为另例3.31 因为 1330

1 124 10 001

一个矩阵的逆矩阵.但并非每一个方阵均有逆矩阵，在此我们可以证明如果A有一逆矩阵，则该逆矩阵也是唯一的.

C为三个方阵，例3.32 令A，B，并且AB I及CA I，则 CA B=C AB ，于是B=C，

因此，B C A 1为矩阵A的唯一逆矩阵.

如果A与B为同阶之方阵，且它们的逆矩阵分别为A 1与B 1，则 AB B 1 A 1，亦即两有逆矩阵的矩阵的乘积的逆矩阵为其个别逆矩阵反方向的乘积. 例3.33 证明： AB B 1 A 1. 由定义 AB

1

1

1

AB AB AB

1

I.故

B 1A 1 AB B 1 A 1A B B 1 I B B 1 B I 并且 AB B 1A 1 A BB 1 A 1 AA 1 I

由例3.33知 AB 为唯一的；因此 AB B 1 A 1.

若矩阵A2 I，即称A为对合矩阵，例如，单位方阵亦为一对合矩阵.一对合矩阵为其本身的逆矩阵.

例3.34 证明：若且若 I A I A 0，则矩阵A为对合.

证明 假设 I A I A I A2 0因此A2 I故A为对合. 假设 A为对合；则 A2 I故 I A I A I A2 0.

1

1

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3.4 矩阵的转置

将一n m矩阵A的列与行互相调换而成的m n矩阵，称为A的转置，写成A'（A转置）.

14

123 . 例3.41 A= 的转置A'= 25 456 36

注意，在A矩阵的第i列第j行的元素aij，转置后则为A'的第j列第i行的元素.如果A'和B'分别为A与B的转置矩阵，且k为一纯量，我们立即可得

''

a A' A 与 b kA kA'

进而可得两矩阵的和的转置为此二矩阵转置后的和，亦即

'

A B A' B'

两矩阵乘积的转置为此两矩阵转置后的反顺序乘积. 亦即

'

AB B' A' '

例3.42 证明： A B A' B'.

'

证明 令A= aij 与B= bij ，我们只须分别检视A'，B'与 A B 的第i列和第j行

的元素为aji，bji与aji bji.

3.5 对称矩阵

若方阵A使得A' A，称A为对称.因此，假设aij aji（对于所有的i，j），则

A= aij 为一对称矩阵.

3 12

为对称矩阵，并且kA（k为任一纯量）也为对称矩阵. 24 5例3.51 A=

3 56

进一步可得若A为一n阶方阵，则A A'为对称矩阵.

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如果有一方阵A，使得A'= A，则称A为反对称。因此如果aij aji（对于所有i，j）则A方阵必然反对称，很明显地，此时其对角元素均为零.

0 23

为反对称，并且kA也为反对称，k为任一纯量. 例3.52 A= 204

3 40

例3.53 证明：如果A与B均为n阶对称方阵，则AB为对称，若且唯若A与B可交换.

'

证明 假设A与B可交换，故AB BA。则 AB B' A' BA AB，因此AB为对称.

''

假设AB是对称的，因此 AB AB，又 AB B'A' BA；得

AB BA，故矩阵A与B可交换.

3.6 共轭矩阵

令a与b为实数且i 1；则z a bi称为复数.复数a bi与a bi称为共轭，其中一个为另外一个的共轭。若z a bi，其共轭复数写为z a bi.

如果z1 a bi且z2 z1 a bi，则z2 z1 a bi a bi，亦即复数的共轭复数的共轭即等于其本身.

如果z1 a bi且z2 c di则 (I)

z1 z2 a c b d i且z1 z2 a c b d i a bi c di z1 z2

亦即两复数之和的共轭为该二复数共轭之和. (Ⅱ)

z1 z2 ac bd ad bc i且z1 z2 ac bd ad bc i a bi c di z1 z2

亦即，两复数之积的共轭为该二复数共轭的乘积.

当矩阵A有复数的元素时，把A矩阵的元素变换为共轭，即称为A的共轭矩阵，写成A（A共轭）.

i i 1 2i 1 2i

例3.61 若A= 则= A 2 3i 2 3i 3 3

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如果矩阵A与B其共轭矩阵分别为A与B，且k为任一纯量，我们可得 c A A 与 d kA k A 利用上述 i 与 ii 之关系式，我们可以证明：

两矩阵之和的共轭为该二矩阵共轭之和，亦即A B A B. 两矩阵之积的共轭为该二矩阵共轭的同方向乘积，亦即AB A B.

共轭矩阵A的转置写为A'（A共轭转置），有时亦可写成A*。我们可得共轭矩阵A

'

的转置等于其转置矩阵的共轭，即为 A A'.

例3.62 从例题3.61

3 3 3 1 2i 1 2i' 1 2i'''A A = 而 = 且== AA 2 3i i2 3i i i2 3i

3.7 厄米特矩阵

方阵A= aij ，若A'=A则称A为厄米特矩阵.因此，如果aij=aji（对于所有i，j）则称A为厄米特矩阵，故很明显地，当A是厄米特矩阵时，其对角元素必为实数. 方阵A= aij ，若A'= A则称A为反厄米特矩阵，因此如果aij= aji（对于所有i与，则称A为反厄米特矩阵.因此，很明显地，其对角元素非零即为纯虚数. j）

3.8 直和

令A1，A2， ，As分别为m1，m2， ，ms阶方阵，一般化的对角矩阵A

A10

0

A2

A=

00

0 0 =diag(A1,A2, ,AS)

As

称为Ai的直和.

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12 1

12 ,则 例3.81 令A1= 2 ，A2= ，A3= 203 34 41 2

2

0 0

A1，A2，A3之直和为diag(A1,A2, ,A3)=

001234000 000 000

.

0 0

000100200

42 103

1 2

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4 矩阵的实际应用

矩阵的实际应用十分广泛.于此，特例举出本文中矩阵各类重要形式的应用.

ab c

应用4.1 证明矩阵 与 dba a 证明 由

b

b a c d

d

，对于所有a,b,c,d之值为可交换. c

d

c a b

b a

d ac bdad bc c

= = dc bc adbd ac

应用4.2 如果AB A且BA B，证明A与B均为等幂方阵.

证明 ABA (AB)A A A A2且ABA A(BA) AB A则A2=A故A为等幂方阵.利用BAB同理可证B也为一等幂方阵.

应用4.3 证明：如果A与B均为n阶方阵，则A与B可交换若且唯若A kI与

B kI可交换（对于每一纯量k）.

证明 假设A与B可交换，则AB BA，且 （A kI）（B kI）=AB k(A B) k2I =BA k(A B) k2I =（B kI）（A kI） 因此，A kI与B kI可交换.

再假设A kI与B kI可交换；则

（A kI）（B kI）=AB k(A B) k2I （B kI）（A kI）=BA k(A B) k2I

AB BA，故A与B可交换.

应用4.4质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素. 矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不遗漏，显示对应元素的关系也很清楚.矩阵图法还具有以下几个点： ①可用于分析成对的影响因素； ②因素之间的关系清晰明了，便于确定重点； ③便于与系统图结合使用.

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应用4.5 矩阵还可以应用于分类.分类的关键是计算相关性.我们首先对两个文本计算出它们的内容词，或者说实词的向量，然后求这两个向量的夹角.当这两个向量夹角为零时，新闻就相关；当它们垂直或者说正交时，新闻则无关.当然，夹角的余弦等同于向量的内积.从理论上讲，这种算法非常好.但是计算时间特别长.通常，我们要处理的文章的数量都很大，至少在百万篇以上，二次回标又非常长，比如说有五十万个词（包括人名地名产品名称等等.如果想通过对一百万篇文章两篇两篇地成对比较，来找出所有共同主题的文章，就要比较五千亿对文章.现在的计算机一秒钟最多可以比较一千对文章，完成这一百万篇文章相关性比较就需要十五年时间.注意，要真正完成文章的分类还要反复重复上述计算.在文本分类中，另一种办法是利用矩阵运算中的奇异值分解.现在让我们来看看奇异值分解是怎么回事.首先，我们可以用一个大矩阵A来描述这一百万篇文章和五十万词的关联性.这个矩阵中，每一行对应一篇文 章，每一列对应一个词.奇异值分解就是把上面这样一个大矩阵，分解成三个小矩阵相乘，如下图所示.比如把上面的例子中的矩阵分解成一个一百万乘以一百的矩阵X，一个一百乘以一百的矩阵B，和一个一百乘以五十万的矩阵Y.这三个矩阵的元素总数加起来也不过1.5亿，仅仅是原来的三千分之一.相应的存储量和计算量都会小三个数量级以上. 上述仅仅是矩阵巨大应用价值中的几个典范例子,现在我们直观的感受下矩阵的应用实例：

应用4.6人口流动问题（矩阵高次幂的应用）

设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1） 在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6万

人经商；

（2） 在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商； （3） 在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商； （4） 在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工.

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势. 现做如下解答：

解 若用三维向量(xi,yi,zi)T 表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T.而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n→∞时(xn,yn,zn)T的发展趋势.

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依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

X1=0.7x0+0.2y0+0.1z0 Y1=0.2x0+0.7y0+0.1z0

即

1 0.70.20.1

1 = 0.20.70.1

1 0.10.10.8

0 0

A 0 0

0 0

Z1=0.1x0+0.1y0+0.8z0

以(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T代入上式，即得

1 12.9

1 9.9 1 7.2

即一年后从事各业人员的人数分别为12.9万、9.9万、7.2万人. 以及

2 1 2

2 A 1=A

1 2

0 11.73

= 10.23 0 0 8.04

即两年后从事各业人员的人数分别为11.73万、10.23万、8.04万人. 进而推得

n

n=A n

n 1

n n 1=A n 1

0

0 0

即n年之后从事各业人员的人数完全由An决定.

在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题 学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题.这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决.不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具.

应用4.7电阻电路的计算:如图所示的电路中，已知R1=2Ω，R2=4Ω，R3=12Ω，R4=4Ω，R5=12Ω，R6=4Ω，R7=2Ω，设电压源us=10V，求i3,u4,u7.

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（应用4.7图） 现求解如下：

解 设各个网孔的回路电流分别为ia,ib和ic，由物理学定律，任何回路中诸元件上电压之和等于0.

据图可列出各回路的电压方程为 (R1+R2+R3)ia-R3ib=us -R3ia+(R3+R4+R5)ib-R5ic=0 -R5ib+(R5+R6+R7)ic=0 可写成矩阵形式为：

0 R1 R2 R3 R3

RR R33 R4 R55

0 R5R5 R6 R7

ia 1

= 0 u ib s ic 0

把参数代入，列方程如下：

0 18 12

1228 12

1218 0

ia 1

= 0 u ib s ic 0

简写成 AI=bus

其中I=( ia,ib,ic)T.已知us=10，解矩阵方程得

1000.9259

U= 0100.5556

0010.3704

意味着

ia 0.9259 I= ib=0.5556 ic 0.3704

任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述.直流电路构成的是实系数方程，它

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的解为实数；而交流电路构成的是复系数方程，它的解为负数.所以用矩阵方程和计算机软件就显得更为重要.由此题我们看出矩阵在表示数方面有简洁直观、表现力强的特点，是理论与实际结合的一个很好的触点.

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参考文献

1 天津大学数学系代数教研组编著.线性代数及其应用,第2版 . 2 张 杰，邹杰涛主编.线性代数及其应用， 中国财政经济出版社. 3 刘剑平主编.线性代数及其应用,第2版. 华东理工大学出版社. 4 河北农业大学理学院.线性代数及其应用,第2版. 高等教育出版社. 5 陈怀琛，杨 威主编.工程线性代数，电子工业出版社.

6 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,高等代数.第3版.高等教育出版

社.

7 陈志杰主编.高等代数与解析几何（上），第1版，高等教育出版社， 2000. 8 方世杰译.矩阵原理及题解，晓国出版社.

9 李新，何传江主编.矩阵理论及其应用，重庆大学出版社.

10 R A 合 恩，C R 约翰逊著，杨奇译.矩阵分析，天津大学出版社.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6wk1.html