华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答

华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答 2006.11 系别___________班级__________学号__________姓名___________ 题号 得分 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 评卷人 一、填空题（每小题3分，共24分） 1．的值为，主值为 . 2．；且所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。 3．4．在映射 0 。 下，集合的像集为： . 5．为的 1 阶极点。 6．7．在 处展开成Taylor级数的收敛半径为 . 。 的频谱密度函数8．已知。 得分 ，其中，则评卷人 二、（6分）设a、b是实数，函数复平面解析，则分别求a、b之值，并求. 在解：是复平面上的解析函数，则在平面上

满足C—R方程，即：

故

得分

对 成立，

评卷人

三、（8分）验证数，并求以

是z平面上的调和函

为实部的解析函数，使

故

是调和函数。

.

解：（1）

（2）利用C—R条件，先求出

的两个偏导数。

则

由 故 得分

评卷人

四、（6×4=24分）计算下列各题：

1．

解：令 原式

，设C为正向圆周。

，则由高阶求导公式得：

2．，C为正向圆周。

解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式

在 内将 展为Laurent级数：

故：

3．

解：由于是偶函数，故

原式

则定积分可化为复积分

令

令

则 在 内有2个简单极点与

由留数定理知：

故原式

4．

解：令 容易验证

在上半平面有两个简单极点

满足若尔当引理

原式得分

评卷人

级数。

在复平面有孤立奇异点

时，

与

，

解：

（1）

（2）

时

（3）

时

（4）

时

得分

评卷人

六、（6分）试求z平面的下半平面在分式线性映射

下的象区域.

解：在实轴上依次取，

由分式线性映射的保圆性知： 故 实轴在

决定了

下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：

在得分

下的象区域为评卷人

。

七、（8分）求一保形映射，把区域 圆内

映成单位

部。

解：

得分 评卷人 八、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 解：令 ，对方程两边求拉氏变换得： 得分 评卷人 九、（6分）证明题：设续， 在内解析，在上连试证：当证：令 时， 因为 在

在 内解析，在 上连续，所以也在内解析，

上连续。根据Cauchy积分公式有：

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