第22章 二次函数全章导学案

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课题 22.1 二次函数（1）

导学目标知识点：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进 一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；

3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取 合理见解的能力。

课 时：1课时

导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：

一、课前导学 1、填表

2、探究

（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为是什么？ ①

（2）．多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？

②

n边形有 条对角线。因此，n边形的对角线总数。 （3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x

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的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

这种产品的原产量是20件，一年后的产量是年后的产量是 件，即两年后的产量为 。③

二、合作探究

探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？

一般地，形如的函数，叫做二次函数

其中，是自变量，a为 ， b为 ，c为 ， 做一做： 数和常数项。 (1)

(2)

(3)

(4)y x(1 x)

1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系

3x2 7x 12 (5)y (x 1)2 (x 1)(x 1) (6) y －

2、函数y ax2 bx c，当a、b、c满足什么条件时，

(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？

三、展示点评 四、课堂检测

1.下列函数中,哪些是二次函数

?

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(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x.

2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数

(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C与宽a之间的函数关系 ，是的函数。

(2)、写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系， 是的函数。

(3)、菱形的两条对角线的和为26，求菱形面积S与一对角线长x之间的函数关系 ， 是 的 函数。

(4)、某商品的价格是2元，准备进行两次降价。如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y随x的变化而变化，y与x之间的函数关系式为： 是的函数。

3. m为何值时，函数y (m2 m)x2 mx (m 1)是以x为自变量的二次函数？

注意：二次函数的二次项系数不能为零 拓展延伸（课外练习）：

31、观察：①y＝6x2；②y＝－2 x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是____次．一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的

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___________．

2、函数y m 2 x2 mx 3（m为常数）．

(1)、当m__________时，该函数为二次函数；

(2)、当m__________时，该函数为一次函数．

3、n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________． 4、下列函数中是二次函数的是（ ）

11

A．y＝x＋2 B． y＝3 (x－1)2 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝x－x 5、在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为

s 5t2 2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ）

A．28米 B．48米 C．68米 D．88米 6、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．

（1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2

1

（4）y＝3x3＋2x2 （5）y＝x＋x

7、已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)

课后反思：

小组评价： 教师评价：

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课题 22.1 二次函数（2）

及函数的性质 课 时：1课时

导学方法：观察、归纳、分析 导学过程：

导学目标知识点：会用描点法画出二次函数y ax2的图象，概括出图象的特点

一、课前自学

我们知道，一次函数y 2x 1，反比例函数y 是 、 ，

探究：描点法画函数y x2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

3

的图象分别x

思考：观察函数y x2的图象，你能得出什么结论？

2

1．二次函数y x是一条曲线，把这条曲线叫做

____________．

22

2．二次函数y x中，a＝______，抛物线y x

的图象开口_______．

3．自变量x的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物y x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y x2的_________．

因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y x2有____________点（填“最高”或“最低”） ．

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二、课堂导学

例1：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y 2x2 （2）y 2x2

注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

理一理

2

2

2．抛物线y x与y －x2关于________对称，因此，抛物线y ax2与

y －ax2关于_______ 对称，开口大小_______________．

3．当a 0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a 0时，a越大，抛物线的开口越_________；因此，a越大，抛物线的开口越________，反之，

a越小，抛物线的开口越________．

例2：已知y (k 2)xk

2 k 4

是二次函数，且当x 0时，y随x的增大而增大．

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（1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴．

解 ：

例3：已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

解 ：

回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．

三、展示点评

四、拓展延伸（课外练习）：

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1．填空：

（1）抛物线y 5x，当时，y有最值，是 （2）当m= 时，抛物线y (m 1)x（3）已知函数y (k k)x

2

k2 2k 1

m2 m

2

开口向下．

是二次函数，它的图象开口y

随x的增大而增大．

2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）y 4x （2）y

3．已知抛物线y kx

k2 k 10

2

12x 4

中，当x 0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．

4.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出 MON的面积．

课后反思：

小组评价： 教师评价：

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课题 22.1 二次函数（3）

导学目标知识点：

会画出y ax2 k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 课 时：1课时

导学方法：观察、归纳、分析 导学过程：

一、课前自学

同学们还记得一次函数y 2x与y 2x 1的图象的关系吗？你能由此推测二次函数y x2与y x2 1的图象之间的关系吗？，那么

y x2与y x2 2的图象之间又有何关系？ 探究：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

y x，y

2

x2－1，y x2+1

解：

描点并连线

观察图象，思考：

(1)

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1与y x2+1的形状_____________． (2)、抛物线，y x2，y x2－

22

(3)、可以发现，把抛物线y x向______平移______个单位，就得到抛物线y x+1；

把抛物线y x向_______平移______个单位，就得到抛物线

2

y x2－1．

归纳．

因此，把抛物线y ax2向上平移k（k 0）个单位，就得到抛物线

2

把抛物线y ax向下平移k（k 0）个单位，就得到抛物线

二、课堂导学

例1：

(1)、如果要得到抛物线y x2 4，应将抛物线y x2 1作怎样的平移？

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1

(2)、不画图象，说出函数y x2 3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由

4

1

函数y x2通过怎样的平移得到的．

4

111

例2： 已知函数y x2， y x2 3， y x2 2．

333

(1)、分别画出它们的图象；

(2)、说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(3)、试说出函数y

12

x 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 3

三、讨论交流（展示点评） 四、拓展延伸（课外练习）：

1．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．

2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

3．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

12

x 9的开口4

12

看作是由抛物线y x向平移

4

4．抛物线y

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5．函数y 3x 3，当y随x的增大而减小．当数取得最 值，最 值y= ．

6．在同一直角坐标系中y ax b与y ax b(a 0,b 0)的图象的大致位置是( )

2

2

7

8、已知二次函数y

8x2 (k 1)x k 7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？

写出其函数关系式．

9、一条抛物线的开口方向、对称轴与y 1），求这条抛物线的函数关系式．

12

x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，2

课后反思：

小组评价： 教师评价：

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课题 22.1 二次函数（4）

导学目标知识点：

会画出y a(x h)2这类函数的图象，通过比较了解这类函数的性质． 课 时：1课时

导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：

一、课前自学

我们已经了解到，函数y ax2 k的图象，可以由函数y ax2的图象上下平

11

是否也可以由函数y x2平移而得呢？(x 2)2的图象，

22

画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 探究：

移所得，那么函数y

在同一坐标系中画出函数图象y 解：

121122

x，y x+1 ，y x－1 的图象。 222

二、合作探究（课堂导

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学）

观察图象，思考： (1)

(2)、抛物线y (3)、可以发现，

把抛物线y

121122

，与xy x+1 y x－1 的形状_____________． 222

1212

x 向______平移______个单位，就得到抛物线y x+1 ； 22

把抛物线y

1212

向_______平移______个单位，就得到抛物线 xy x－1 ． 22

归纳：

一般地，抛物线y ax2和抛物线y a x m 形状，位置

把抛物线y ax2向m个单位，可以得到抛物线y a x+m ；

2

把抛物线y ax向平移m个单位，可以得到抛物线y a －xm 。

2

2

2

11

(x 2)2和抛物线y 1(x 2)2分别是由抛物线y x2向222

1

左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线y (x 4)2，应将抛物线

2

1

y x2作怎样的平移？

2探索 ： 抛物线y

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三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）

1．画图填空：抛物线y (x 1)2的开口是 ，它可以看作是由抛物线y x2向平移个单位得到的． 2．抛物线y 4 x 2 与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．

3．把抛物线y 3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式 把抛物线y 3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为． 4．将抛物线y

2

12

x 1 向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_____ 2

5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y 2x2都相同的二次函数解析式___________________________． 6．对于抛物线y

1

(x 2)2，当xy随x的增大而减小； 2

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拓展延伸（课外练习）：

1．抛物线y 2 x 3 的开口___________；顶点坐标为________________；对称轴是_________；当x 3时，y______________；当x＝ 3时，y有_______值是_________．

2．若将抛物线y 2 x 1 向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．

3．抛物线y m x n 向左平移2个单位后，得到的函数关系式是

2

2

2

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课题 22.1 二次函数（5）

导学目标知识点：

掌握把抛物线y ax2平移至y a(x h)2+k的规律；会画出

)2+这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．k y a(x h

课 时：1课时

导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：

一、自主探究（课前导学）

由前面的知识，我们知道，函数y 2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数y 2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数y 2x2的图象，如何平移，才能得到函数

y 2(x 3)2 2的图象呢？

探究：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

111

y x2，y (x 1)2，y (x 1)2 2，并指出它们的开口方向、对称轴和

222

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(1)

(2)、抛物线y (3)、可以发现，

把抛物线y

12112x，y x－1 与y (x 1)2 2的形状_____________．

222

1212

x 向______平移______个单位，就得到抛物线y x－1 ； 2212

x向_______平移______个单位，向_______平移______个单位，就得2

1

(x 1)2 2． 2

把抛物线y

到抛物线y

归纳：

一般地，抛物线y ax2和抛物线y a(x h)2+k形状，位置。

把抛物线y ax2向m个单位，可以得到抛物线y a x+m ； 把抛物线y ax2向m个单位，向平移k个单位，可以得到抛

2

)2+。k 物线y a(x h

例1．巳知函数y 3x2，y 3(x 2)2，y 3(x 2)2 1， (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y 3x2得到抛物线

y 3(x 2)2和抛物线y 3(x 2)2 1；

(4)试讨论函数y 3(x 2)2 1的性质。

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4

2

10

5

5

10

2

y = 3 (x + 2)2 y = 3 (x + 2)2 14

y = 3 x2

6

8

探索

10 k (a、h、k 是常数，a≠0)的图象的开口方 你能说出函数 y a( x h)2 +

向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表： 开口方向 对称轴 2 a 0 y a( x h) +k

顶点坐标

a 012例 2. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. (1) y 3 x 3 4 ;28 10

(2) y - 2 x- 1 - 2 ;2

1 2 (3) y x 3 -2 ; 2 64

(4) y -

2 2 1 0.6 . x- 3

y = 3 (x + 3)22

y=10

1 2

(x + 3)2

25 5 10 15 20

2

y=

2 3

(x

1)2 + 0.6

4

y = 2 (x

1)2

2

6 三、讨论交流(展示点评)

8 四、课堂检测(当堂训练)

10

- 19 12

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