高数各章综合测试题与答案

第十一章 无穷级数测试题

一、单项选择题 1、若幂级数

5nx?1x??在处收敛，则该幂级数在处必然( ) a(x?1)?n2n?1?(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.

2、下列级数条件收敛的是( ).

(?1)nn (A) ?; (B)

n?12n?10??n?1?(?1)n?1n31; (C) ?(?1)(); (D)

2n?1n?1?n?(?1)n?1n?1?3. n3、若数项级数

?an?1?n收敛于S，则级数

??an?1?n?an?1?an?2??( )

(A) S?a1; (B) S?a2; (C) S?a1?a2; (D) S?a2?a1. 4、设a为正常数，则级数

?sinna3???n2??( ).

n?n?1???(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a有关. 5、设f(x)?x,0≤x?1，而S(x)?其中bn?212?bsinnπx,???x???，

nn?11S(?)等于( ) f(x)sinnπx,(n?1,2,?)，则?021111(A) ?; (B) ?; (C) ; (D) .

4224

二、填空题 1、 设

11，则u?4(u?)?( ) ??nnn22n?1n?1??2、 设

?a?x?1?nn?1?n?1的收敛域为??2,4?，则级数

?na?x?1?nn?1?n的收敛区间为( )

3、 设f(x)???2,?1?x≤0，则以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于( ) 3x,0?x≤1?2a0?4、 设f(x)?πx?x,?π

2n?1则b3?( )

(?1)n2n5、级数?的和为( )

n?1?2n?1?!?三、计算与应用题 1、求级数

?1nx?3;的收敛域 ???nn?3n?1?2、求

1的和 ?2nn?1?n?1??223、将函数f(x)?ln1?x?2x展开为x的幂级数，并求f??(n?1)?0?

n2?1n4、求?nx的和函数

2n!n?0?x5、 已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?xn?1e，n为正整数，且fn(1)??e，求函数项级数n?f?x?的和函数.

nn?1n6、 设有方程x?nx?1?0，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根x0，并证明当

???1 时，级数?xn收敛.

n?1?四、证明题

设an??π40tannxdx

（1） 求

1?an?an?2? ?n?1nan收敛 ??nn?1??（2） 试证：对任意常数??0，级数

?111提示：?an?an?2??，??an?an?2??1.

nn?n?1?n?1n?111?an1??,??????1 ,所以an?n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2第十一章 无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A； 2、D；3、B；4、C；5、B. 二、

1、1；2、??4,2?；3、三、

1、答案：0,6?. 2、答案：

32π；4、；5、cos1?sin1. 23?53?ln2 84?xn1提示：原式为级数?2的和函数在x?点的值.

2n?1?n?1?xn1?xn1?xn1?xn1?xn????而?2,分别求出?和?的和函数即可. 2n?2n?12n?2n?12n?2n?12n?2n?1n?2?n?1??(?1)n?2n?1n?1?11?3、答案：f(x)??x,x???,?

n?1?22?n?0?f(n?1)(?1)n?2n?1. ?0??n!?n?12提示:f(x)?ln1?x?2x?ln?1?2x??ln?1?x?

??xn2?1n?x2x?24、答案：?nx????1?e?1,???x???

n?02n!?42???n2?1n?n?x?1?x?x???提示：?n?????， 2n!n?1!??2?n?1n!?2?n?0n?1??nn?11nx而xe??x,e??xn

n?1?n?1?!n?0n!x??5、答案：

?f?x???eln?1?x?,xnn?1x???1,1?

xxe n提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为fn(x)?????xxxxx，记，则可得S(x)??ln(1?x) fx?e?eS(x)???????nn?1n?1nn?1nn?1n6、提示:设fn(x)?xn?nx?1,则fn?(x)?0,?x?0?,故fn(x)在?0,???内最多有一个正根.而fn(0)??1?0,fn(1)?n?0,所以有唯一正根x0.由方程xn?nx?1?0知,

n?1?x01?0?x0??,故当??1 时，级数?xn收敛.

nnn?1?111四、提示：?an?an?2??，??an?an?2??1.

nn?n?1?n?1n?111?an1??,??????1 ,所以an?n?1n?1nn?1nn?1n 因为an?an?2

第十章 曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题 1、已知

?x?ay?dx?ydy为某二元函数的全微分，则a等于( ) 2?x?y?(A) ?1; (B) 0; (C) 1; (D) 2.

2、设闭曲线c为x?y?1的正向，则曲线积分

?ydx?xdy的值等于( ) ??x?yc (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设?为封闭柱面x2?y2?a?20≤z≤3?，其向外的单位法向量为

?n??co?s,c?os?,，则co?s?xcos??ycos??zcos??ds等于( ) ????222(A) 9πa; (B) 6πa;; (C) 3πa; (D) 0.

?x2?y2?z2?a2xds等于( ) 4、设曲线c为?，则???x?y?z?0c

22

(A) 3a; (B) 0; (C) a; (D)

12a. 32225、设?为下半球z??a?x?y的上侧，?是由?和z?0所围成的空间闭区域，则

??zdxdy不等于( )

? (A) ?????dv; (B)

a?2π0d??a0a2?r2rdr;

(C) ?二、填空题

?2π0d??0a2?r2rdr; (D)

???z?x?y?dxdy.

?21、设c是圆周x?y?a222，则

???x?y?ds?( )

c????222、设质点在力F??y?3x?i??2y?x?j的作用下沿椭圆4x?y?4的逆时针方向运动

??一周，则F所做的功等于( )

3、设?是平面x?y?z?6被圆柱面x2?y2?1所截下的部分，则4、设?是球面x2?y2?z2?1的外侧，则

??zds等于( )

?????x?x2?y?z2223?dydz等于( )

5、设

?2xf(x)ydx?f(x)dy与路径无关，其中f?(x)连续且f(0)?0，则f(x)?( ) 2?1?xc三、计算与应用题 1、求I???exsiny?b?x?y?dx???eycosy?ax?dy，其中a,b为正常数，L为从点??LA?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点O?0,0?的弧.

?x2?y2?z2?a22、计算I??yds，其中L为圆周?.

L?x?y?z?02????3、在变力F?yz?izx?j?的xy作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

??x2y2z2???1上第一卦挂线的点M??,?,??，问?,?,?取何值时，力F所做的功W最a2b2c2大？并求出W最大值.

x2y2??z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S，π为S在点P处的切平4、设S为椭球面

22面，??x,y,z?为点O?0,0,0?到平面π的距离，求

z??S??x,y,z?ds.

2y25、求I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy，其中?为曲面z?1?x??0≤x≤1?的上

4?侧.

6、设对于半空间x?0内任意光滑有向闭曲面S，都有，

???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?eSx?02xzdxdy?0，其中函数f(x)在?0,???内具有连续的

f(x)?1，求f(x). 一阶导数，且lim?exxe?1? 答案：f(x)??x提示：由题设和高斯公式得

2x2x??0??xf(x)?f(x)?xf(x)?e??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy?????????dv

S?由S的任意性，知xf?(x)?f(x)?xf(x)?e2x?0，解此微分方程即可. 四、证明题 已知平面区域D?（1）

??x,y?0≤x≤π,0≤x≤π?，L为D的正向边界，试证：

Lsiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx； ????L（2）

52π≤?xesinydy?ye?sinxdx ?2L第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示

一、

1、D；2、C；3、A；4、B；5、B. 二、

1、?πa；2、?4π；3、63π；4、三、

1、答案：I??341π；5、. 231?xπ?π??2?a2b?a3.

2?2?提示：添加从O?0,0?沿y?0到点A?2a,0?的有向直线段L1，然后用格林公式. 2、答案：I?2π3a. 3提示：利用变量“对等性”I?3、答案：???Ly2ds??x2ds??z2ds?LL1a3ds. ??3Labc,??,?? 333Wmax?3abc. 9提示：直线段OM:x??t,y??t,z??t，t从0变到1，功W为

W??OMyzdx?zxdy?xydz??3???t2dt????

01x2y2z2 再求W????在条件2?2?2?1下的最大值即可.

abc4、答案：

z3ds???S??x,y,z?2π.

提示：曲面S在点P?x,y,z?处的法向量为?x,y,2z?，

切平面方程为：

xyX?Y?zZ?0， 22点O?0,0,0?到平面π的距离??x,y,z???5、答案：I??x?y??z2?. ?44?22?12??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy?π.

?2y2?1?0≤x≤1?所围的下侧，在?和?1所提示：添加曲面?1为平面xoy上被椭圆x?4围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在I?6、提示： （1） 左边=

??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy的积分等于??3xydxdy为0.

?1D?π0πesinydy??πe?sinxdx?π??esinx+e?sinx?dx，同理，

π0πsinx00π右边=π??eL+e?sinx?dx

?sin（2） 由（1）得

式知道

??xedy?yesinydx=π??esinx+e?sinx?dx，而由esinx和e?sinx泰勒展开

x0ππ??2?sin2x?dx≤π??esinx+e?sinx?dx，

00ππ而π

52?sinxdx?π???2π202.

第九章 重积分测试题

一、选择题

1、若区域D是xoy平面上以(1,1)，(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限中的部分，则(A) 2(C) 4??(xy?cosxsiny)dxdy?( ).

DD??cosxsinydxdy;(B) 2??cosxsinydxdy

D1D1??(xy?cosxsiny)dxdy(D) 0

2、设f(且f(x,y)?xy?xy,)连续，

??D2其中D是xoy平面上由y?0,y?x f(x,y)dxdy，

和x?1所围区域，则f(x,y)等于( ).

(A) xy; (B) 2xy; (C)xy?1 ; (D) xy?3、设I1?1 8其中

D2222222cosx?ydxdy,I?cos(x?y)dxdy,I?cos(x?y)dxdy,23??????DDD???x,y?x2+y2≤1，则( ).

? (A) I3?I2?I1; (B) I1?I2?I3; (C)I2?I1?I3 ; (D) I3?I1?I2

4、设空间闭区域?由x2?y2?z2≤1及0≤z确定，?1为?在第一挂限的部分，则( ). (A) (C)

???xdv?4???xdv; (B) ???ydv?4???ydv;

??1??1???zdv?4???zdv; (D) ???xyzdv?4???xyzdv

??1??15、设空间闭区域????x,y,z?2?r2rx2+y2≤z≤2?x2-y2，I????zdv，则下列将I??化为累次积分中不正确的是( ). (A) I?(C) I??2π01d??rdr?202211zdz; (B) I??0d??d??0?cos???2sin?d?;

211?y2002ππ402?πzdz??02πz(2?z)dz; (D) I?4?dx?dy?22?x2?y2x?y2zdz

二、填空题

?x2y2?1、设区域D为x?y≤R，则I????2?2?dxdy的值等于( )

ab?D?222、设D???x,y?x2+y2≤1?，则limr?0?dx?021πr2xe??D2?y2ln(1?x?y)dxdy的值等于( )

3、积分I?4、积分I?22xe?y2dy的值等于( )

Rx?y2?z2≤R2???f(x2?y2?z2)dv可化为定积分??(x)dx，则?(x)等于( )

05、积分I?2x?y2?z2≤1???(ax?by)2dv的值等于( )

三、计算与应用题 1、求I????Dx2?y2?ydxdy，其中D是由圆x2?y2?4和(x?1)2?y2?1所围的平

?面区域. 2、求I???eDmaxx2,y2??dxdy，其中D???x,y?0≤x≤1,0≤y≤1?.

?y2?2z3、计算I????(x?y?z)dv，其中?由曲线?绕z轴旋转一周而成的旋转曲面

?x?0?22与平面z?4所围的立体. 4、计算I????(x?z)dv，?由z=?x2?y2及z=4?x2?y2确定.

yx5、计算I??1214dy?1edx??1dy?edx.

22yyyx1y6、设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

2(x2?y2)（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧z?h(t)?h(t)面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？

四、证明题

设函数f(x)在?0,1?上连续，并设

?10111f(x)dx?A，证明I??dx?f(x)f(y)dy?A2.

0x2第九章 重积分测试题答案与提示

一、

1、A；2、D；3、A；4、C；5、B. 二、

?x2y2?πR214π22?4221、?2?2?；2、1；3、?1?e?；4、4πxf(x)；5、?a+b?.

ab4215??三、 1、答案：I?16?3π-2?. 9提示:将D看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：I?e?1

22提示：为确定maxx,y，必须将D分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.

??3、答案：I?256π 322提示:旋转曲面的方程为x?y?2z,用柱面坐标计算I?可.

4、答案：I??2π0d??220rdr?r2(r2?z)dz即

24π. 8π20π4010提示:

2,xdv?0zdv?4d?d??cos???sin?d?. ???????????5、答案：I?3ee. ?82提示：交换积分次序.

6、答案：t?100小时

提示：先利用三重积分求出雪堆的体积V??h(t)0dz1x2?y2≤?h2(t)?h(t)z??2???dxdy?13π2h(t)； 12π3h(t)； 4 再求出雪堆的侧面积S?21x?y≤h2(t)22??221?zx?zydxdy?由题意

dVdh(t)13??0.9S，所以??，解出h(t)并令其等于0，则可得结果. dtdt10y1x111dxf(x)f(y)dy. ??002四、提示：交换积分次序， 并利用

第八章 多元函数微分法及应用测试题

一、选择题

?10dy?f(x)f(y)dx??dx?f(x)f(y)dy?000?sinxf(t)dt?( ). 1、已知函数f(x)在??1,1?上连续,那么

?x?cosy (A)f(sinx)?f(cosy) (B)f(sinx)cosx?f(cosy)siny (C) f(sinx)cosx; (D) f(cosy)siny

2、在矩形域D:x?x0??,y?y0??内，fx(x,y)?fy(x,y)?0是f(x,y)?c（常数）

的（ ）.

(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件 3、若函数f(x,y)在区域D内的二阶偏导数都存在，则（ ）

（A） fxy(x,y)?fyx(x,y)在D内成立； （B）fx(x,y),fy(x,y)在D内连续；

（C） f(x,y)在D内可微分； （D）以上结论都不对

4、lim2xy的值为（ ）

x?03x4?y2y?0(A)? ； (B) 不存在； (C)

xz2； (D) 0. 35、设有三元函数xy?zlny?e?1，据隐函数存在定理，存在点?0,1,1?的一个邻域，在

此邻域内该方程（ ）.

（A）只能确定一个具有连续偏导的隐函数z?z?x,y?；

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