高等数学一串讲讲义

第一章 函数 一、预备知识

1.一元二次方程与不等式 关于x的方程

（1）求根公式：

当△＞0时，方程有两个不同的实根：

，称为一元二次方程，

称为此方程的判别式.

当△＝0时，方程有一个二重实根：

当△＜0时，方程有一对共轭复根：

（2）根与系数的关系（韦达定理）：

（3）一元二次函数（抛物线）：

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.

对称轴顶点坐标.

（4）一元二次不等式 考虑不等式

，如果记一元二次方程

的两个不同实根分别为

，且

，根据一元二次函数的图形可知：

当 当

时，这个不等式的解集是时，它的解集是

.

；

用类似的方法可以求解不等式

例1.计算

的解集.

，

或

，

解：令 得

∴ 解集为

2.绝对值不等式 不等式 不等式

等价于等价于

.

或

；

3.二元一次方程组

两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.

当时，方程组有唯一解；

当时，方程组无解；

当时，方程组有无穷多解.

4.数列

（1）等差数列：相邻两项的差为定值， 即 通项公式：

，

称为公差.

前n项和公式： 当

时，

，

特别地：有.

（2）等比数列：相邻两项的商为定值，

即 通项公式：

，称为公比.

前n项和公式： 当 特别地：有

时，

.

二、函数的概念 1.定义域

①分母中含有自变量时，分母不能为零.

②偶次根式下含有自变量时，被开方式必须非负. ③对数式的真数含有自变量时，真数必须大于零.

④反正（或余）弦函数符号下含有自变量时，其绝对值不能大于1. （13年4月全国考题） 函数

的定义域是________.

答案：[2，5） 解析：

由

故定义域为[2,5）.

（13年1月全国考题）

设函数，则的定义域为________.

答案：

解析：

由

故定义域为.

2.函数相等的条件：两要素相等

定义域相等 对应法则相等 （13年7月浙江考题）

下列各对函数中，表示同一个函数的是

A. C.

与

与

答案：D

B.

D.

与与

解析：

，且定义域相同.

3.函数的四大性质

（1）有界性 （2）单调性 （3）奇偶性 （4）周期性 （13年4月全国考题） 设函数 A.

为奇函数 B.答案：A 解析：

,则

为偶函数 C.

为非奇非偶函数 D.

的奇偶性与参数a有关

是奇函数，故为奇函数.

（12年10月全国考题） 在区间

内，下列函数无界的是

A.sinx B.xsinx C.sinx +cosx D.cos（x+2） 答案：B

解析：xsinx为无界函数. 三、基本初等函数

六种基本初等函数有：常值函数，指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数.初等函数是由六种基本初等函数构成的.所以掌握基本初等函数的概念，性质是非常重要的.

（一）幂函数的性质 形如

的函数为幂函数，其中

，曲线

为任意常数.

性质： 对任意实数

＞0时，

都通过平面上的点（1，1）；

＜0时，

在（0，+∞）单调减少；

在（0，+∞）单调增加；

为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）； 为偶数时，

偶函数；

为奇数时，

为奇函数；

为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.

（α是常数）的图形：

幂函数

（二）指数函数 函数 函数时是单调减函数.

（a＞0，a≠1）称为以a为底的指数函数，常用的是以无理数e为底的指数函数.

（a＞0，a≠1）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞），当a＞1时是单调增函数，当0＜a＜1

图1给出了底数a分别取2，3， 函数

的图形.

和时

指数函数的一些基本运算规则：

（三）对数函数： 1.当a＞0且a≠1时，函数

的反函数称为以a为底的对数函数，记作，其定义域是（0，＋∞），

值域是（－∞，＋∞）.

常见的对数函数： 常用对数y＝lgx， 自然对数y＝lnx， 当a＞1时，

在定义域内是单调增加的； 当0＜a＜1时，

在定义域内是单调减少的.

2.对数的运算法则：

设a，b，x，y都是大于零的实数，则

.

（四）三角函数

1.常见三角函数关系式 （1）同角公式： 1）倒数关系：sinx·cscx＝1， cosx·secx＝1，tanx·cotx＝1.

2）商的关系： 3）平方关系：

，

，

.

（2）倍角公式： sin2x＝2sinxcosx cos2x＝cos2x－sin2x （3）半角公式（降幂公式）：

2.特殊角的三角函数值

A 0 1 sinA 0

cosA 1 1 0 tanA 0 cotA 1 3.三角函数的图像及简单性质 （1）正弦函数y＝sinx

正弦函数sinx是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的奇函数.

（2）余弦函数y＝cosx

余弦函数cosx是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的偶函数.

（3）正切函数y＝tanx

正切函数tanx是定义域为（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数.

（4）余切函数y＝cotx

余切函数cotx是定义域为{x│x∈R，x≠kπ}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数.

（五）反三角函数

1.反正弦函数：y＝arcsinx，x∈[－1，1]，值域为.

2.反余弦函数：y＝arccosx，x∈[－1，1]，值域为[0，π].

3.反正切函数：y＝arctanx，

x∈（－∞，＋∞），值域为.

四、分段函数、复合函数、反函数

会求分段函数的定义域，分段点的性质； 会将复合函数进行分解；

求反函数的步骤：反解，交换变量. （13年1月全国考题） 设函数

，则f（x）=

A.x（x+1） B.x（x-1） C.（x+1）（x-2） D.（x-1） （x+2）

答案：B

解析：

令x+1=t，则x=t-1，代入原式得

所以

，选B.

（12年4月全国考题）

设函数

答案：1

解析：

则=______.

（13年1月全国考题）

已知函数，则复合函数=________.

答案：解析：

.

（12年7月浙江考题）

设，则＝____________.

答案：

解析：

.

第二章 极限与连续 一、极限

（一）函数极限的定义：6种

,

数列极限：

（二）极限的计算 1.定义法

2.极限四则运算法则、复合函数法则

3.左、右极限：对于分段函数的分段点处的极限和连续性，一般需要分别讨论左、右极限.

4.利用函数连续性：

5.代数变形：因式分解、提取公因子、有理化、通分、变量替换 6.夹逼定理

7.重要极限

，

8.利用无穷小量与无穷大量的性质： ① 有限个无穷小的和仍为无穷小. ② 有限个无穷小的积仍为无穷小. ③ 有界函数与无穷小的积仍为无穷小. ④无穷大量的倒数是无穷小量. 9.等价无穷小替换

当时 sinx～x，

, tanx～x，arcsinx～x， arctanx～x，，，

①替换的部分必须是无穷小量

②替换的部分与剩余的部分必须是乘除的关系

10.洛必达法则与未定型: （1）洛必达法则

①必须是“”或“”型不定式.

②求导之后能得到极限，或者可以继续利用洛必达法则 ③求导之后极限不存在且不是无穷大，洛必达法则失效

（2）未定型分为7种: ,,,,,,,

（13年7月浙江考题）

求极限求

解：原式＝

（12年10月全国考题）

求极限.

解：原式＝

（13年4月全国考题）

设极限，则常数a=（ ）

A.-2 B. C. D.2

解：

所以a=2,选D。

（13年1月全国考题）

极限

=_________.

解：原式＝

（12年10月全国考题）

已知极限,则b=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

解：原式＝

得，

，选D.

（12年4月全国考题）

已知，则k=______.

解：

所以

.

（13年4月全国考题）

求极限

解：原式

（13年1月全国考题）

极限__________.

解：原式＝

（12年10月全国考题）

极限

解：

，而

是有界量.

所以

（12年10月全国考题）

极限=_________.

解：原式＝

（12年4月全国考题）

求极限

解：原式＝

（13年7月浙江考题）

极限__________

解：原式＝

二、无穷小与无穷大

1.学会判断一个量是否为无穷小量、无穷大量——求极限 常见的无穷小量：当x→0时，

常见的无穷大量： 2.会比较无穷小的阶——求极限 3.等价无穷小替换

（12年4月全国考题）

当x→0时，下列变量为无穷小量的是（ ）

A. B. C. D.

答案：A

解答：A选项，无穷小量乘以一个有界变量，还是一个无穷小量。

（13年7月浙江考题）

设当x→0时，ax2

与tan

为等价无穷小，则a=______.

解：

所以

（13年1月全国考题）

若x→0时函数f（x）为x2的高阶无穷小量，则=（ ）

A.0 B. C.1 D.∞

答案：A

解答：根据高阶无穷小的定义，答案是A. 三、连续

1.连续：, 左连续：, 2.间断点

第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点 第二类间断点

3.连续函数的四则运算法则 复合函数、反函数的连续性

4.初等函数在定义域之内都是连续的 5.闭区间上连续函数的性质： 连续函数的零点存在性 ①必须是连续函数 ②端点函数值异号

（13年7月浙江考题）

右连续：

x=1是函数的（ ）

A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.第二类间断点

解：

所以，x=1为f（x）的可去间断点，选B

（13年4月全国考题）

设函数,确定常数a的值，使得f（x）在x=0处连续.

解：

所以

（13年1月全国考题）

讨论函数在x=0处的连续性.

解： 所以

在x=0处连续.

第三章 导数与微分 一、导数的定义

1.

2.

（13年4月全国考题）

设函数f（x）满足f（1）=0,（1）=2，则=（ ）

A.0 B.1 C.2 D.不存在 答案：C

解析：

（12年10月全国考题）

设函数f（x）二阶可导，则极限 A.

B.

C.

D.

答案：C

解析：

二、导数的几何意义 为

表示的是曲线

，

在点

处切线的斜率，所以曲线

在点

处的切线方程

当时，法线方程为.

（12年10月全国考题） 已知直线l与x轴平行且与曲线

相切，则切点坐标为________.

，

且 解：

所以切点坐标为（0，-1）.

（12年4月全国考题）

设函数f（x）可导，且

A.1 B.0 C.-1 D.-2

，则曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线斜率为（ ）.

解： 所以

选C.

（12年7月浙江考题）

2

曲线y=x－x在x=1 点处的切线方程是________.

解： 当x=1时，y=0,

所以

.

三、可导与连续的关系 如果函数y=f（x）在点 即：函数y=f（x）在点在

处不可导.

可导，则该函数在点

连续.

间断（不连续），则函数必

连续是在该点可导的必要条件，如果函数y=f（x）在点

四、微分的概念 1.

2.微分与可导等价 3.微分的几何意义 将切线方程

变形，得

（13年4月全国考题） 设函数y=e+2

3x

+2，则微分dy=___________.

解：

（12年4月全国考题） 设函数f（x）可微，则微分

=______.

解：

五、导数的计算 1.基本求导公式 （1）常数函数的导数 （2）幂函数的导数 （3）指数函数的导数

,

（4）对数函数的导数

,

（5）三角函数的导数

,,

,

（6）反三角函数的导数

,

,

2.导数的四则运算法则,

3.复合函数求导法则

由外到里，逐层求导并相乘 4.反函数求导法则

函数f，g互为反函数，那么 （13年1月全国考题） 设函数，求dy.

解：

所以

（13年1月全国考题）

设函数

解：

（12年4月全国考题）

设函数，求导数

解：

（12年7月浙江考题） 设函数

, 求y′.

解：

5.隐函数求导法：

6.对数求导法 （1）当函数可以表示成多个因子的积、商，即 （2）幂指函数

（12年10月全国考题） 设函数

求dy.

，

解：取对数

两边求导得

所以

，.

7.分段函数的导数

分界点处需要分别求左、右导数 （12年1月全国考题）

设函数f（x）=则f（x）在点x=0处（ ）

A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在 D.左、右导数都不存在

解：

所以选C.

（12年4月全国考题）

确定常数a,b的值，使函数在点x=0处可导.

所以b=0.

解：f（0）=b,

所以 a=3,b=0.

8.抽象函数的导数

（12年10月全国考题） 已知函数f（x）可导，且

，求

.

.

解：

9.高阶导数

（1）常见的高阶导数

,

,

.

.

（2）分式函数求高阶导数一般先化为简单分数 （13年7月浙江考题）

设函数,求

解：

，

.

（13年4月全国考题）

设函数y=sin（lnx）+ln（sinx）,求.

解：

.

（13年1月全国考题） 设函数

A.12! B.11! C.10! D.0

答案：D

解析：

，则高阶导数

=

，故=0.

第四章 微分中值定理和导数的应用 一、中值定理

若函数f（x）满足条件：

（1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导，

罗尔定理：（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少有一点

使得

拉格朗日（Lagrange）中值定理：则在（a，b）内至少有一点 （12年1月全国考题）

使得

函数 f （x）=x2+1在区间[1，2]上满足拉格朗日中值公式的中值=（ ）.

A.1 B.

C. D.

【解析】对 f （x）=x2+1在区[1，2]上应用拉格朗日中值定理，则有：

所以，选D.

二、洛必达法则

三、函数单调性的判定

1.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导. （1）若在（a，b）内 （2）若在（a，b）内

，则f（x）在[a，b]上单调增加. ，则f（x）在[a，b]上单调减少.

注意：（1）如果定理中的[a，b]换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立. （2）如果在（a，b）内

2.判定函数f（x）单调性的步骤： （1）确定函数f（x）的定义域. （2）求

，找出

或

不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间.

，且等号仅在个别点处成立，结论仍然成立.

（3）列表，由在各个小区间内的符号确定函数 f（x）的单调性.

3.不等式的证明：（1）做差；（2）求导得到单调性；（3）验证端点的符号. （12年1月全国考题）

2x 证明：当x>0时，e>1+2x.

证明：

（13年4月全国考题）

设函数f（x）在区间[a,b]上可导，且f’（x）<0, f（b）>0,则在[a,b]上f（x）是（ ）

A.恒大于零 B.恒小于零 C.恒等于零 D.有正有负 解：A

四、极值与最值

1.极值的必要条件：设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则函数f（x）在x0处的导数值为零，即f ’（x0）=0.

2.第一充分条件（一阶导数变号法）

设函数f（x）在点x0的某一邻域（x0－δ，x0+δ）内连续，在去心邻域（x0－δ，x0）∪（x0 ，x0+δ）内可导.

（1）若当x∈（x0－δ，x0）时， （2）若当x∈（x0－δ，x0）时，

；当x∈（x0，x0+δ）时， ,则x0是函数f（x）的极大值点. ；当x∈（x0，x0+δ）时， ,则x0是函数f（x）的极小值点.

（3）若当x∈（x0－δ，x0）∪（x0，x0+δ）时， f’ （x）不变号，则x0不是函数f（x）的极值点. 3.判别函数极值的一般步骤如下： （1）确定函数 f （x）的定义域；

（2）求f’ （x），找出定义域内f’ （x）=0或 f’ （x）不存在的点，这些点将定义域分成若干区间. （3）列表，由f’ （x）在上述点两侧的符号，确定其是否为极值点，是极大值点还是极小值点. （4）求出极值.

4.第二充分条件（二阶导数非零法） 设函数f（x）在点x0处有二阶导数，且

，则函数f（x）在x0处取得极大值. ，则函数f（x）在x0处取得极小值.

（1）若 （2）若

5.求连续函数f（x）在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下：

（1）求出f（x）在（a,b）内f’ （x）=0 和f’ （x）不存在的点，记为x1，x2?，xn. （2）计算函数值f（a），f（x1），f（x2）,?,f（xn），f（b）.

（3）函数值f（a），f（x1），f（x2），?，f（xn），f（b）中的最大者为最大值，最小者为最小值. （12年10月全国考题）

求函数的单调区间与极值.

【解析】根据题意，函数的定义域为x∈（0,+∞），又

（12年4月全国考题）

求函数的极值.

2

【解析】f ′（x）= x－4x+3=（x－3）（x－1） 令f ′（x）=0，得x=3,x=1

x<1,f ′（x）>0; 13, f ′（x）>0

所以极大值为f（1）=2，极小值为

.

（12年10月全国考题）

2

函数 f （x）=ln（1+x）在区间[－1,2]上的最小值为 .

【解析】f （x）= ln（1+x2）求导得

令f ′（x）=0,解得x=0，结合区间端点显然最小值 f（0）=0.

（12年4月全国考题）

函数 f （x）=x－arctanx在区间[－1,1]上的最大值是 .

【解析】

在闭区间[－1,1]上f ’（x）≥0,则函数f（x）是增函

数，

则最大值是端点处的函数值：

（12年1月全国考题）

函数f（x）= x－2cos x在区间[0,]上的最小值是________.

【解析】： f（x）=x－2cos x x∈ [0,

]

f ’（x）=1+2sinx>0 f（0）=0－2= － 2

五、凹凸性与拐点

1.凹凸性的判断：设函数f（x）在区间（a,b）内具有二阶导数.

（1）若当x∈（a,b）时 （2）若当x∈（a,b）时

，则曲线y=f（x）在（a,b）内是凹的. ，则曲线y=f（x）在（a,b）内是凸的.

2.拐点的必要条件：若函数f（x）在x0的某个邻域U（x0）内具有二阶导数，且（x0,f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，则

.

3.拐点的第一充分条件（二阶导数变号法） 设函数f（x）在x0的某个邻域内具有二阶导数，且 若 若

.

在x0的左、右两侧异号，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点； 在x0的左、右两侧同号，则（x0，f（x0））不是曲线y=f（x）的拐点.

4.判别曲线的凹凸性与拐点的一般步骤如下： （1）确定函数的定义域.

（2）求，并找出和不存在的点，这些点将定义域分为若干个小区间.

（3）列表，由在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点.

5.拐点的第二充分条件（三阶导数非零法）： 设函数f（x）在点x0的某邻域内三阶可导,

,而

,则点（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐

点.

（12年4月全国考题）

54

曲线y=3x－5x+4x－1的拐点是______.

32

【解析】y〞=60x3－60x2，令y〞=60x－60x=0，则x=0或x=1,由拐点的判定方法可知，在x=1

两侧y〞异号，将x=1代回到原函数中得到y=1，所以拐点是（1,1）.

（12年10月全国考题）

设函数 f（x）在区间I上二阶可导，且，判断曲线在区间I上的凹凸性.

【解析】根据题意可得：

所以y在区间I上是凹函数.

（12年1月全国考题）

确定常数a,b的值，使得点（1,）为曲线

的拐点.

解：

由题意知：

所以当

时,原式成立.

解得：

六、渐近线

1.水平渐近线：

2.铅直渐近线：考虑间断点， （12年10月全国考题） 曲线

的铅直渐近线为________.

，

或

【解析】因为

.

所以x=﹣1是曲线

（12年4月全国考题）

的铅直渐近线.

曲线 A.1 B.2

的渐近线的条数为 （ ）

C.3 D.4

【解析】水平渐近线：

则水平渐近线是 y=0；

铅直渐近线：

铅直渐近线是 x=1.

七、导数在经济学中的应用

1.边际函数：边际成本、边际收益、边际利润

2.弹性：

需求弹性、供给弹性 （12年10月全国考题）

某产品产量为q时总成本

【解析】边际成本的表达式

时的边际成本为________.

所以，q=100时的边际成本为1. （12年4月全国考题）

设某商品的需求函数为Q（p）=12－0.5p（其中p为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益.

【解析】（1）

（2）R（p）=Q（p）·p=12p－0.5p2 R′（p）=12－p，R′（p）=0，p=12 所以最大收益为R（12）=144×0.5=72.

（07年4月考题）

设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为，则需求价格弹性是________.

解：

（12年1月全国考题）

设某商品的需求函数为Q=16－4p，则价格p=3时的需求弹性为____. 解答：

第五章 一元函数积分学 一、不定积分

1.原函数：F '（x）=f（x）,则称F（x）是f（x）在I上的一个原函数. 2.不定积分：∫ f（x）dx=F（x）+C（C为任意常数）. 求不定积分与求导互为逆运算：

3.不定积分的计算

（1）公式法：主要是用基本积分公式表中的公式直接计算简单函数的不定积分，基本积分公式是我们计算不定积分的基础，大家必须熟记、熟用这些公式。 基本积分公式有： 1）

2）（a≠-1）

3） 4） 5）

6）

7） 8） 9）

10）

11）

（2）利用不定积分的基本性质： 1）设k是不为零的常数，则

=k2）

2）

（3）换元积分法

第一换元法（凑微分法）：

若

，则在用第一换元积分法求不定积分时，以下的凑微分情形经常遇到：

（2） （3）

（4） （5） （6） （7） （8）

（9）

（10）

第二换元积分法

一般遇到根式就用第二换元积分法. （4）分部积分法

1）积分优先级：指三幂对反

2）有些不定积分要经过两次分部积分，且两次要将同一类函数放到微分号内.

（13年1月全国考题）

若，则f（x）=______.

解析：根据题意

（13年1月全国考题）

求不定积分

解析：

（12年10月全国考题） 若

A.F（sin x）sin x+C B.f（sin x）sin x+C C.F（sin x）+C D.f（sin x）+C

解析:

所以，选C.

（12年10月全国考题） 计算不定积分

解析:

（12年7月全国考题）

若，则不定积分＝_______.

解析：

=F（arcsinx）+C.

（12年7月全国考题）

求不定积分

解析:

（12年1月全国考题） 求不定积分

解析：

原式=

（11年10月全国考题） 设函数 f（x）=sinx,则

2

______.

答案： sinx +C

2

（11年10月全国考题）

求不定积分.

解析：

二、微分方程

1.可分离变量的微分方程：g（y）dy=f（x）dx （1）分母为零的解要单独验证 （2）常数的处理技巧 2.一阶线性微分方程

（1）齐次方程：y’+P（x）y=0

通解：

（2）非齐次方程：y’+P（x）y=Q（x） 通解：

（11年10月全国考题）

求微分方程 y＇=xycosx的通解.

解析：

通解为：lny=xsinx+cosx+C，或y=0.

（12年1月全国考题） 微分方程

的通解是_________.

解析：

，

（12年4月全国考题） 微分方程

的阶数是______.

解析：y〞是二阶，显然微分方程的阶数是2阶.

（12年7月全国考题）

微分方程ydx=cosxdy，满足初始条件

2

的特解为_______.

解析：方程变形为：

两边积分得：lny=tanx＋C 继而： 所以特解为

代入初始条件得：C＝2 .

（13年1月全国考题） 微分方程

的通解为__________.

解析：由

（12年10月全国考题）

求微分方程满足初始条件

其中，

的特解.

解析：整理原微分方程可得： 根据公式可得，通解：

三、定积分

1.定积分是一个数值。

定积分的几何意义：曲边梯形的面积 2.定积分的基本性质 性质1

性质2 （k为常数）. 性质3 （积分区间的可加性）

性质4 （比较定理）设在区间[a,b]上有f（x）≤g（x），则

推论1 设在区间[a,b]上有f（x）≥0，则

推论2

性质5（估值定理）设函数f（x）在[a,b]上有最大值M和最小值m，则

性质6（积分中值定理）设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点ξ

3.变上限积分：

（1）f（x）在[a,b]上可积，则是[a,b]上的连续函数. （2）微积分基本定理：设函数f（x）在[a,b]上连续， 则

在[a,b]上可导，且导数为

即Φ（x）是f（x）在[a,b]上的一个原函数. （3）变上限积分的求导公式： 4.定积分的计算

（1）微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）

设函数f（x）在[a,b]上连续，F（x）是f（x）在[a,b]上的一个原函数，则

（2）换元积分法：

1）f（x）在[a,b]上连续

2）φ（t）单调，且具有连续导数φ′（t） 3）φ（α）＝a，φ（β）＝b，

（3）分部积分法：

ξ≤b），使得 （a≤ （4）奇偶性：设f（x）是[-a,a]上的连续函数，则：

（13年1月全国考题） 定积分

__________.

解析：因为被积函数

为奇函数，且积分区间关于原点对称，故

（13年1月全国考题） 设函数f（x）连续， A.x f （x）B.a f（x） C.-x f（x）D.-a f （x）

（ ）

解析：

（13年1月全国考题）

设函数， 计算定积分

解析：

（13年1月全国考题）

计算定积分

解析：

（12年10月全国考题）

设函数=_________.

解析：根据变限积分求导公式得：

（12年10月全国考题） 设函数 f（x）可导，且

证明：由

故

故

又f（0）=0，所以c=0， 所以

（12年7月全国考题）

设函数，则导数_____.

解析:首先计算函数的导数：

将

代入上式得：.

（12年7月全国考题）

设函数

解析：

计算定积分

（12年4月全国考题）

下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是 （ ）

A.

B.

C.

D.

解析：在积分区间[-1,1]上只有D项的被积函数

是连续的，另外三项的被积函数在积

分区间上都不连续，所以只有D项可以直接使用牛顿-莱布尼茨公式计算. （12年4月全国考题）

导数=______.

解析：

（12年1月全国考题） 已知函数f（x）连续，若

=

，则=_________.

解析：

（12年1月全国考题）

计算定积分I=

解析：

（11年10月全国考题）

定积分___________.

解析：

（11年10月全国考题）

求极限

解析：

（11年10月全国考题）

计算定积分.

解析：

令

四、反常积分

1.反常积分的类型：

2.反常积分 当p≤1时，发散；

的敛散性：

当p>1时， 收敛，其值为 （12年7月全国考题） 如果无穷极限反常积分 A.p＜-1 B.-1≤p＜0 C.0＜p≤1 D.p＞1

收敛，则p的取值范围（ ）。

解析：积分收敛的条件是：q>1，因此本题应该是：p<﹣1。选A.

（12年4月全国考题）

计算无穷限反常积分

解析：

（12年1月全国考题）

无穷限反常积分=_________.

答案：

（11年10月全国考题）

下列无穷限反常积分发散的是（ ）

解析：

所以选B

五、定积分的应用 1.平面图形的面积

收敛：

（1）

（2）

（3）

（4）

注意：要恰当地选择积分变量.一般选择的变量要使图形尽量不要分块，且被积函数较容易求出原函数. 2.旋转体的体积

（12年4月全国考题）

设曲线与直线y=4x, x=2及x轴围成的区域为D，

如图所示.

（1）求D的面积A.

（2）求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.

解析：

（1）

（2）

（12年10月全国考题） 过点（1,2）作抛物线 （1）求D的面积A；

的切线，设该切线与抛物线及y轴所围的平面区域为D.

（2）求D绕x轴一周的旋转体体积Vx.

解析：（1）对y求导：可得： 且切线的斜率 根据定积分的定义：

故切线方程为

（2）根据旋转体体积公式：

3.由边际函数求总函数

已知一个总函数（如总成本函数、总收益函数等），利用微分或求导运算就可以求出其边际函数（边际成本、边际收益等）.反过来，如果已知边际函数，要确定其总函数就要利用积分运算.

当固定成本为C0，边际成本为C’（Q）,边际收益为R’（Q），且产销平衡,即产量、需求量与销量均为Q时：

总成本函数为 总收益函数为

总利润函数为

（11年10月全国考题）

设某厂每周生产某产品x吨时的边际成本为 （1）求总成本函数C（x）；

（元/吨），固定成本为100元.

（2）已知产品的价格P与需求量x的关系为 （3）每周生产多少吨产品时可获得最大利润？ 解析：

, 求总利润函数L（x）;

（1） （2）

（3）

第六章 多元函数微积分 一、基本概念 1.求定义域

2.二重极限： ，P（x,y）以任何方式趋于点时.

3.连续：二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数，二元连续函数的复合函数也是连续函数.因此二元初等函数在其定义区域内总是连续的. （12年10月全国考题） 函数

的定义域为__________.

答案：

二、偏导数与全微分 1.定义

（1）一阶偏导数

的导数. 求函数

就是关于x的一元函数

在

点的导数，

就是关于y的一元函数

在

点

对某个自变量的偏导数时，只要把另外的自变量看成常数，用一元函数求导法则即可求得.

（2）二阶偏导数

一般的，有 （3）全微分

（4）可微、偏导与连续的关系

2.偏导数的计算

（1）复合函数的求导法则（链式法则）

（2）隐函数的求导法则

F（x,y,z）=0 所确定的二元隐函数z=z（x,y）,

（12年10月全国考题） 函数z=f（x,y）在点（

）处偏导数存在，则该函数在点处必

A.有定义 B.极限存在 C.连续 D.可微

答案：A 解析：偏导存在只能得出z=f（x,y）在点（

）处有定义.

（13年1月全国考题）

设函数=__________.

解析：

（12年10月全国考题）

设函数=_________.

解析：

，将x=1,y=0代入求解，

（12年7月全国考题）

设函数z＝cos（xy），则二阶偏导数 解析:

_______.

（12年7月全国考题）

设 解析:

是由方程，所确定的隐函数，求偏导数

（12年4月全国考题）

设函数

解析:

则

（12年4月全国考题） 设函数

，其中f 是可微函数.

证明：

解析：

左式

=右式.

（12年1月全国考题） 设函数

，则全微分dz=________.

答案：解析：

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