Black-Scholes期权定价模型的修正

分类号：索强：

编号：

理学硕｝：学何沦文

ＢＩａｃｋ—ＳｃｈｏＩｅｓ期权定价模型的修正

硕士研究生

指导教师Ｊ二扬郑晓阳教授

应用数学

孙广毅副教授学科、专业学位论文主审人

哈尔滨工程大学２００７年ｊ月

摘要

最近二十多年来．会融衍生证券在全球范围内获得迅猛发展，期权定价问题越柬越引起国内外数学家、金融学家的广泛重视。给期权合理的定价是期权交易的中心问题，因为交易主要是通过比较实际市场价格和期权真正价值进行的。在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛。期权定价问题是会融数学中的核心问题之一。１９７３年美国金融学家Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ在有效市场和股票价格遵循几何Ｂｒｏｗｎ运动，且股票的预期收益率和波动率为常数的假设下，获得了著名的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型。Ｂ—Ｓ模型其实是一种理想的状态，在现实市场中，它的一些假设往往不满足。本文在Ｂ１ａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的基础上，通过改变Ｂ—Ｓ模型的基本假设，给出了几种基本的修ｎｉ模型及定价公式。改进后的模型使得股票价格行为更接近现实市场的运作规律，从而更有现实意义。

本文在这方面的主要工作有：

（１）首先在分析了期权定价理论的发展现状和前景以及相关理论的基础上，介绍Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型及利用鞅理论给期权定价公式一种新的推导方法。

（２）分别在跳跃一扩散模型、随机利率和随机波动率的情况下，推导出了各自新的期权定价公式。关键词：期权定价；鞅；跳跃一扩散模型；随机利率：随机波动率

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｔｈｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ｏｖｅｒｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓｈａｖｅｕｎｄｅｒｇｏｎｅｒａｐｉｄａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｉｎｔｈｅｌａｓｔｔｗｅｎｔｙｙｅａｒｓａｌｌ

ｆｉｎａｎｃｉａｌｅｃｏｎｏｍｉｓｔｓｐａｙｍｏｒｅｔｈｅｗｏｒｌｄ．Ｍａｎｙｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓａｎｄｍｏｌｅａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ．Ｐｒｉｃｉｎｇｏｐｔｉｏｎｓｉｓｔｈｅｆｏｃｕｓｏｆｏｐｔｉｏｎｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，ｂｅｃａｕｓｅｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｃａｒｒｙｏｎｔｈｒｏｕｇｈｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｒｅａｌｍａｒｋｅｔｐｒｉｃｅｓｗｉｔｈｔｈｅｔｒｕｅｏｐｔｉｏｎｖａｌｕｅｓ．Ａｍｏｎｇａｌｌｔｈｅｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｐｒｉｃｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇｉｓｔｈｅｍｏｓｔｅｘｔｅｎｓｉｖｅ．Ｉｎ１９７３，Ａｍｅｒｉｃａｎ

ｐｒｏｐｏｓｅｄｔｈｅｆｉｎａｎｃｉａｌｅｃｏｎｏｍｉｓｔｓ，ＢｌａｃｋａｎｄＳｃｈｏｌｅｓ，ｆａｍｏｕｓＢｌａｃｋ—ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌｏｆｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇｕｎｄｅｒｔｈｅｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎｓｔｈａｔｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓ

ｇｅｏｍｅｔｒｉｃＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍａｒｋｅｔ，ｔｈａｔｔｈｅｓｔｏｃｋｐｒｉｃｅａｂｉｄｅｓｂｙｔｈｅｅｘｐｅｃｔａｎｔｐａｙｏｆｆａｎｄｖｏｌａｔｉｌｉｔｙｏｆｓｔｏｃｋｉｓ

ｉｓｉｎｆａｃｔａｎｄｔｈａｔｃｏｎｓｔａｎｔ．ＴｈｅＢｌａｃｋ ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌａｎｉｄｅａｌｓｔａｔｅ，ｆｏｒｓｏｍｅｏｆｉｔｓ

Ｏｉｌｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎｓｃａｌｌ’ｔｂｅｍｅｔｉｎｔｈｅｒｅａｌｍａｒｋｅｔ．Ｂａｓｅｄｔｈｅｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎｔｏｃｈａｎｇｅ

ｔｈｅＢｌａｃｋ—ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｄｓｏｍｅｉｍｐｒｏｖｅｄｍｏｄｅｌｓａｎｄｐｒｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｓ，ｗｈｉｃｈｗｉｌｌｍａｋｅｓｔｏｃｋｐｒｉｃｅｍｏｌｅｃｌｏｓｅｔｏｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｎｇｒｕｌｅｓｏｆｒｅａｌｍａｒｋｅｔａｎｄｔｈｅｒｅｆｏｒｅｍｏｒｅｐｒａｃｔｉｃａｌｉｎｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ．

Ｗｈａｔｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅａｌｓｗｉｔｈ

ｂａｓｅｄｏｎＩＳａｓｆｏｌｌｏｗｓ：（１）Ｆｉｒｓｔｌｙｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｃｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎａｎｄｆｏｒｅｇｒｏｕｎｄｏｆｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙａｂｏｕｔｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ，ｅｘｐｌａｉｎｔｈｅＢｌａｃｋ—ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌｏｆｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇａｎｄｇｉｖｅａｎｅｗｗａｙｔｏｐｒｉｃｉｎｇｏｐｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａｓｗｉｔｈｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｒｔｉｎｇａｌｅ．

ｔｈｅｉｎｓｔａｎｃｅｔｈａｔｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓ（２）Ｏｎｊｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ，ａｎｄｔｈａｔｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ

ｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅｉｓｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ，ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｏｍｅｎｅｗｏＶｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ；Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ；Ｊｕｍｐ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎｍｏｄｅｌ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｉｎｔｅｒｅｓｔ

ｒａｔｅ；Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ

哈尔滨工程大学

学位论文原创性声明

本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

阼者滏盘捌

日期幽阳ｐ一加字７辩７

哈尔滨Ｉ：稃大学硕七学付论文

第１章绪论

本章主要介绍金融数学的基本知识，首先介绍了金融数学的发展、目Ｉｊｉｆ的研究现状；接着阐述了期权定价理论的发展、历史研究方法、基本思想及现实意义：最后阐述了本文的主要内容和创新点。

１．１金融数学的发展

金融数学是金融学和数学的交叉学科，它通过使用随机分析等数学工具来构造金融市场的金融数学模型，以研究风险资产的定价、风险规避和最优投资消费策略的选择。

金融学从２０世纪５０年代起逐步从经济中分离出来而成为一门独立的学科。金融学的发展历史经历了三个主要的阶段，即定性描述阶段、定量分析阶段和工程化阶段。金融数学的问世，标志着金融学开始摆脱纯粹的描述性的研究和单凭经验操作的状态，进入了工程化和产品化的高级阶段，并带着鲜明的知识经济的印记而展现出无可限量的发展前途。

金融数学作为学科名词出现在２０世纪８０年代末，金融数学家Ｄｕｆｆｉｅ认为，金融数学是不确定的条件下各时期框架中的证券组合选择理论和资产定价理论。套利、最优与均衡是其中３个最重要的概念，这些概念构成金融数学研究的基本经济思想。金融数学是用数学的方法研究金融问题和对会融中数学问题的专门研究。金融数学是金融学、数学、统计学与计算机科学的交叉学科，属于应用科学层次。

１．金融数学的开创性论文是１９００年法国数学家Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ．Ｌ的学位论文《投资理论》，在这篇论文旱，Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ：用布朗运动（ＢｒｏｗｎＭｏｔｉｏｎ），单位时问方差为旷，且没有漂移，其到期日买方预期价格为：

Ｋ：ｓ．中（羔华）一ｘ．中（羔竿）＋仃如（羔竿）ａｑｔｏｑｔ盯、，，（１—１）

其中，Ｓ为股票价格，Ⅳ为执行价格，ｔ为距到期同的时间，矿为买方价格，

哈尔滨下程大学硕＋学付论文

巾（．）为标准『Ｆ态分布的分布函数，伊（ ）为标准正态分布的概率密度函数。

２．会融数学活动经过半个世纪的沉寂之后，伴随着计算机的广泛应用，２０世纪５０年代再度兴起，而且与金融学研究相得益彰、相辅相成，在金融经济学频频荣获诺贝尔经济学奖的同时，也使得金融数学越来越受到金融理论界、实务界和应用数学、计算机数学界的青睐。Ｍａｒｋｏｗｉｌｚ在１９５２年发表“Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ”论文，提出了证券组合选择理论，表示为如下的二次规划：

ｍｉｎｃｒｐ２＝Ｘ７ＶＸ

其中，仃：为组合方差；为ｘ＝（‘，…，ｘｏ）７；Ｅｘ，＝ｌ，Ｖ为ｎｘｎ㈣：Ｉ＝（１，…，１）７；Ｒ为均值；月。为组合均值。１９５９年，Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ建立证券组合选择理论，这是一种以单个投资者选择资产组合行为为主要研究对象的规范经济学理论。１巾Ｘｒｌ＝：１Ｂ）∽ｚ，

３．１９６５年，Ｅ．Ｆａｍａ和Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ提出了有效市场理论。该理论认为，在一个正常发挥功能的资产市场，资产价格的运动过程可以用半鞅过程来描述，债券价值的最佳估计是今天的价格。它给出了资产价格运动的动力学理论框架和金融市场如何根据外界消息来进行调整的机制，开拓了利用统计学方法证实检验信息是如何反映在债券价格中的新途径。

４．１９７０年，Ｂｌａｃｋ与Ｓｃｈｏｌｅｓ创立了期权定价数学模型Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式引起国际上经济理论界、实务界的极大关注，开辟了理论指导金融实践的先河，打破了人的行为无法定量描述的旧观念Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ公式得到金融学家和数学家的共同赞誉。其中著名的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ偏微分方程为

吐＝，∞一嘲一＿．ＩＶ２ｘ２ｑｌ

二（１—３）

其公式解为

出（工，ｆ）＝舯（吐）一Ｃｅ唧。Ｊ中∽）

２（１—４）

哈尔滨Ｔ稗大学硕十学付论文

其中：

ｄ．＝端

ｙｏｒ—ｔ小一叫一（１－５）正：塑：（：型坚！‘∽。，

山（ｘ，ｆ）为期权价格：Ｃ为履约价格；Ｘ为标的物目前的价格：ｒ为瞬『自Ｊ无风险利率；蝴标的物报酬率的方差；ｑ为掣；奶为掣㈣为

ｃ瞥‘掣期权定价理论，实际上是风险定价理论在金融学中的应用。ＢＩａｃｋ．

Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价理论及期权定价公式提出后，Ｍｅｒｔｏｎ又进一步发展了Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ理论，提出了欧式看涨期权与看跌期权的定价公式

；２√丽：ｊ１０－２＋０－２—２舰ｐ（１－１０）

和跳跃一扩散模型

，，吐：嵴尸＝ｓｘｏ（一ｄ２）一ｓｏ（一ｄ１）盯√ｌｌ—ｆＪ

ｒＣ＝ＳＯ（ｄ１）－ＢＸＯ（ｄｚ）（卜７）（１—８）（１－９）一＝ｘ＋Ｓｂ（ｓ，以，Ｅ，ｚ，）ｄｓ＋ｐ（ｓ，置，Ｅ，互）ｄ形ｏｏ一ｒ（１－１１）

ｒ＝ｇ（ｚ）＋Ｆ（ｓ，丘，Ｅ，互）＋户（ｓ，置，Ｉ，ＺＪｄＷ，

哈尔滨Ｔ程大学硕十学侍论文

式中ｆ＝Ｔ－ｔ，∥＝五（１＋ｔ），五是Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权价格，盯２＋彬２／Ｔ为瞬时方差率，盯为股票价格标准差，，一五＾＋ｎｖ／ｔ为无风险利率，ｖ＝，。（１＋ｋ）对于Ｂ—Ｓ公式，通常的解释是它不受任何投资者风险偏好的影响，其中出现的参数：股票当Ｉｊｉ『价格＆期限长度丁一ｆ，无风险利率ｒ与股票价格的标准差盯都与偏好无关，因此称它为风险中性定价公式。而现实状况并不是风险中性的，这就导致了一些不同看法和对Ｂ．Ｓ公式进一步的探讨。然而不论怎样改变条件，它仍然是一个基础和依据，对开发金融产品的定价提供了合理的定价方法。金融数学的发展，促进了一类新的随机微分方程理论一倒向随机微分方程的出现、发展和逐步完善。倒向随机微分方程是相对于经典随机微分方程即正向随机微分方程而言的由法国数学家Ｂｉｓｍｕｔ于１９７３年提出，一般非线性ＢＳＤＥ的基本框架１９９０年由Ｐａｒａｄｏｘ并证明其解的存在唯一性定理。

Ｊｄｙ（，）＝一厂（ｔ，ｙ（ｒ），ｚ（，））出＋ｚ（‘）ｄＷ（，’（１－１２）【ｙ（ｒ）＝Ｙ

５．１９９２年，著名经济学家Ｄｕｆｆｌｅ和Ｅｐｓｔｅｉｎ提出，不确定环境下的效用函数应当由一种新的“随机微分效用”递归解出，获得了如下特殊情况的ＢＳＤＥ

Ｊｄｙ（，）２９（ｙ（ｆ），ｚ（ｆ））础一ｚ（岫形（ｆ’（１－１３）【ｙ（Ｔ）＝０

６．由于控制理论和经济研究的需要，１９９３年，Ａｎｔｏｎｅｌｌｉ提出如下形式的ＢＳＤＥ（称作正．倒向随机微分方程），Ｍａ，Ｊ．，Ｐｒｏｒｅｒ，ｐ．和我国复旦大学教授雍炯敏博士系统研究了ＦＢＳＤＥ．ＢＳＤＥ和ＦＢＳＤＥ在数学中是对随机分析、微分方程的发展，在金融科学中为期权定价，风险管理、证券分析提供全新的数学工具和数学技术。这是金融数学工作者和金融学工作者不得不具备的新工具和新技术。４

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Ｕｔ＝３ｔ斗、｛ｓ婶。≯、ｄＸ。

Ｋ＝Ｅ（一ｃｕ蚓必＋ｒ｜Ｅ卜斛

巧＝Ｙ

ｒ－，。一㈣７．１９９４年，ＭａＰｒｏｔｔｅｒ和Ｙｏｎｇ针冗』硐限维ＦＢＳＤＥ响史一股彤瓦

｛ｌ置＝工＋ｐ（ｓ，以，Ｉ，ｚＪ）凼＋ｐ（ｓ，丘，ｒ，Ｚ，）ｄＷ。ｒ。，（１－１５）

。Ｉｒ＝ｇ（蜀）＋弘（只置，】：，ｚｊ＋Ｆ（以置，，：，乙）ｄ形

至此，有限维倒向随机微分方程的理论研究已趋完善，该理论已被广泛应用到投资决策、期权定价、递归效用、随机微分效用等经济理论和实践中。尤其是倒向随机微分方程理论，对不完备市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题，提供了有力的分析和近似计算方法。

１．２金融数学的研究现状

虽然Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ提出的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ公式在金融历史上有重大的意义，但是此公式是在一系列的假设的基础上提出的，后来的学者对公式所基于的完备市场进行修正，主要研究成果有：Ｔｈｏｒｐｅ（１９７３）…检验了卖空限制的条件；Ｍｅｒｔｏｎ（１９７３）ｎ，推广了考虑股利和随机利率的模型：ＣｏｘａｎｄＲｏｓｓ（１９７６）ｍ和Ｍｅｒｔｏｎ（１９７６）ｎ，考虑了股票价格公式展开中不具有连续本路径时的期权定价问题；Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌｍ和Ｓｃｈｏｌｅｓ（１９７６）…考虑了资本收益和股利的不同税率效果：Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ（１９７６）ｎ，和Ｂｒｅｎｎａｎ（１９７９）”’引入了具有代表性的投资者效用函数，得到了关于离散时间交易的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ方程的解；Ｌｅｌａｎｄ（１９８５）ｍ考虑了有交易成本的期权定价模型。近２０年来，经济学家们利用现实的数据，寻求更贴近实际市场的期权定价模型，取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论。９０年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场，基础资产的价格存在异常变动的跳跃或者基础资产报

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酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题，以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。

不完善市场主要是指对贷款及卖空股票进行限制，或者存在交易成本，或者市场本身不完备等。不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的会融市场，但这时的期权定价问题就复杂多了。在不完善市场情况下，通常难以得到Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型那种期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。关于不完善市场的期权定价问题，目前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值、均值方差套期保值、超期保值套期保值、有限风险套期保值等方法。在这方面作出过重要贡献的经济学家主要有ＢａｒｒｏｎＪｅｎｓｅｎ（１９９０）ｆｍｌ

ａｎｄＦｏｌｌｍｅｒａｎｄａｎｄＳｃｈｗｅｉｚｅｒ（１９８９，１９９１，１９９３）ＩＩＩＯｕｅｎｅｚ（１９９５）“”等。１３１ＫａｒａｔｚａｓＫｏｕ（１９９６）“…，Ｅ１Ｋａｒｏｕｉａｎｄ

关于标的资产价格变动存在跳跃情况的期权定价问题，近几年来一直被主要研究的对象，在这方面作出重要贡献的金融经济学家主要有：Ａｈｎ（１９９２）“”，Ａｍｉｎ（１９９３）“”．Ｂａｔｅｓ（１９９１，１９９６，２０００）“”１，Ｄａｓ

ａｎｄａｎｄＦｏｒｅｓｉ（１９９６）１２１１ＮａｉｋＬｅｅ（１９９０）２１，Ｋｏｕ（２００２）…１，ＫｏｕａｎｄＷａｎｇ（２００１）［２ｄ］ｏ

关于标的资产报酬率的方差（即标的资产价格波动率的平方）更是近几年柬所研究的热点问题，主要考虑方差不是常数情况下的期权定价问题，在这方面作出重要贡献金融经济学家主要有：Ｈｕｌｌ

ａｎｄａｎｄＷｈｉｔｅ（１９８７）…Ｉ，ＭｅｌｉｎｏＴｕｒｎｂｕｌ（１９９０）“１，ＡｍｉｎａｎｄＮｇ（１９９３）”’，Ｈｅｓｔｏｎ（１９９３）。１。

美式期权定价问题要复杂得多，美式看涨期权定价问题的解析解的求解问题，还没有取得实际性突破，Ｂｒｅｎｎａｎ和Ｓｃｈｗａｒｔｚ等一些人已经描述了这些问题的数值解法。

１．３期权定价理论的概述

本节主要介绍期权定价理论的早期发展、历史研究方法、基本思想及现实意义。

１．３．１期权定价理论的早期发展

（１）ＢａｅｈｅＩｉｅｌ＂公式

期权定价理论的开创性论文是１９００年法国数学家ＢａｅｈｅＩｉｅｒ．Ｌ．的博士６

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１．３．１期权定价理论的早期发展

（１）ＢａｃｈｅＩＩｏｒ公式

期权定价理论的开创性论文是１９００年法国数学家ＢａｃｈｅＩＩｅｒ．Ｌ．的博士学位论文《投资理论》，在这篇论文中，Ｂａｃｈｅ｜．ｅｒ假设股票价格的动态过程为布朗运动，股票收益为正态分布，得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为：

邵∽＝ＳＮ（茅）＿删‘丽Ｓ－Ｋ０－ｑｌｏ～ｉ．）＋盯而（等）ｄｑｉ（１－１６）

其中：Ｓ为股票价格，Ｋ为执行价格，Ｔ为期权到期的时间，ｃ＠丁）为欧式买入期权价格＇ｏ收益的瞬时标准差，Ⅳ（．）为标准正态分布的分布函数，ｎ（－）为标准正态分布的概率密度函数。该公式允许有负的证券价格和期权价格，而且没有考虑资金的时间价值。

（２）ＳｐｒｅｎｋＩｅ公式

Ｓｐｒｅｎｋｌｅ（１９６１）假设股票价格的动态过程满足对数正态分布，而且股票价格具有固定平均值和方差，通过在随机游走过程中引入正向漂移，欧式买入期权公式为：

ｃ（Ｓ，ｒ）＝ｅｐｒＳＮ（ｄ１）一（１一彳）—ＫⅣ（如）（１—１７）

鼽４＝赤№坳甲ｌ０＂２刁

以＝西一盯√ｒ∽㈣（１—１９）

Ｐ表示股票价格的平均增长率，４表示风险厌恶程度。该公式中股票价格的平均增长率和对应风险厌恶程度必须估计，影响了其应用。

（３）Ｂｏｎｅｓｓ公式

Ｂｏｎｅｓｓ（１９６４）假定股票收益率为一个固定的对数分布，利用股票的期望收益率，通过将到期股票价格贴现，其欧式买入期权公式为：、

ｃ（Ｓ，，）＝ＳＮ（ｄ，）－Ｋｅ叫Ｎ（ｄ２）

７（卜２０）

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ｄ２＝碣一盯打（１—２２）

该公式与Ｂｌａｃｋ Ｓｃｈｏｌｅｓ公式完全相同，但此处的ｐ是股票的预期收益率而不是无风险收益率。

（４）ＳａｍｕｅｌＳＯｎ公式

Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９６５）注意到由于不同的风险特征，期权和股票的预期收益率一般是不同的。他的欧式买入期权的定价公式为：

ｃ（Ｓ，ｒ）＝Ｓｅ－‘”∞７Ⅳ（一）一Ｋｅ－”Ⅳ（吐）（１－２３）

其中：

ｄＩ＝击卜洳％ｌｔｒ２，刁

以＝ｄｌ—ｔｒＶＴ”ｚａ，（卜２５）

上面的Ｂｏｎｅｓｓ公式是ｐ＝口时的特例。以上所有公式中都有一个或多个任意参数，它们由投资者对风险或对股票收益率的偏好决定。因此影响了公式的应用。当时许多经济学家都试图解决这一问题。

上述期权定价模型的提出推动了期权定价理论的发展，为后来的Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ模型奠定了基础。

１．３．２期权定价理论历史研究方法概论

历史上，期权定价格模型可以分为两类：（一）特定模型，特定模型根据实际观测和曲线拟合程度来确定期权价格，这种模型的缺点在于无法反映经济均衡对期权价格的影响；（二）均衡模型，均衡模型根据市场参与者效应最大化束确定期权价格，这方面最早的研究成果是法国数学家巴士里叶在１９００年完成的。尽管从今天看巴士里叶的观点无论从经济学还是数学都存在着缺陷。但是他首先提出了确定期权价格的均衡理论方法，遗憾的是巴士里叶的研究成果的随后的５０年中一直未被经济学家注意。进入６０年代，期权定价理论研究开始活跃起来，这其中大多数工作都是根据认股权证的思想方法来对期权进行定价。所有这些研究在本质上是一致的，即将期权价格等同于期权期

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望收益的贴现值，期权期望收益依赖于未来股票价格的概率分布．期望收益的贴现值依赖于贴现率，而实际中未来股票价格的概率分布和贴现率是无法确定的。１９６９年Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ和Ｍｅｒｔｏｎ（默顿）在其合作完成的文章中认识到了这一点，他们将期权价格看作是股票价格的函数，并且认为贴现率依赖于投资者所持股票和期权的数量，但是他们唯一没有认识到的是影响贴现率的期权或股票风险都是无法分散的或者说是系统风险。这使得他们最终导出的期权定价公式仍需依赖于特定投资者的效用函数。７０年代以前诞生的期权定价公式所具有的共同不足之处，就是不同程度地依赖于股票未来价格的概率分布和投资者的风险偏好，而风险偏好和概率分布是无法观测或正确估计的，从而限制了这些公式在实际中的应用。期权定价理论的革命性突破是布莱克和斯科尔斯于１９７３年发表于美国《政治经济学杂志》上的一篇名为《期权和企业债务的定价》的文章。

１．３．３期权定价理论的基本思想

（１）金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。交易者即担心错估金融工具的价值，又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。

（２）金融衍生物的价值依附于其标的物，其价格却受制于并反作用于标的物的价格。金融衍生物如期货。远期等用于基本金融工具和会融现货反向交易手法，可规避风险免除交易者的担心。股票期权是股票现货的衍生物，分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。

（３）期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险，但又使他的估值和定价非常复杂和困难。

（４）期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映，而且标的物的价格还反映了市场对未来的预测。刻画标的物的价格运动规律即是研究期权定价的出发点又是关键。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出了一系列的假设条件后，对作为标的物的股票价格运动的规律作了一个基本的假定：即股票价格的运动是连续变化的，遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规律。在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。依据伊藤过程的研究结果，布莱克和斯科尔斯建立起９

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Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ随机微分方程。这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。按照期权到期时的情况。可以定出这个随机微分方程的终端条件，再倒向解出这个微分方程的初始值的表达式，就得到期权定价公式。

１．３．４期权定价理论的现实意义

现代会融理论伴随着金融市场的发展而不断完善、成熟。金融市场是指债券、外汇、货币、股票、基金、期货和期权等金融证券市场。经济的迅速发展，要求金融市场不断完善，以防范控制和化解金融风险，由此，各种会融衍生证券层出不穷。要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行币确的估值，如何确定金融衍生证券的公平价格就成为它们合理存在和健康发展的关键…。。期权既是一种有效的规避风险工具，又是一种极具魅力的投资手段，它具备受投资者和投机者的青睐。随着人们对期权定价理论的探索和发展，在标准期权的基础上又设计出各种形式的期权。在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛，这是因为：（１）与其他衍生证券相比期权易于定价；（２）许多衍生证券可表现为若干期权合约的组合形式：（３）各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一般衍生证券的定价理论（见Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ（１９７３）ｍ１；Ｍｅｒｔｏｎ（１９７３）ｍ ）。

期权定价理论是现代金融学的重要组成部分，促进了金融市场的繁荣，它与投资组合理论、资本资产定价理论、市场有效性理论及代理问题一起，被认为是现代金融学的五大理论模块。

１．４本论文的主要内容和创新点

本论文是基于用数学的方法来处理期权定价问题。本文首先对金融学理论的体系结构作了大致的介绍，重点介绍Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的建模方法和几类重要的模型，并提出了些改进思想。然后我们将该模型应用于实际分析和会融市场之中。

各章节主要内容如下：

第一章主要阐述了金融数学在国内外的发展现状和应用领域，并重点介绍了期权定价理论。展望了其未来发展趋势，最后阐述了课题选题的现实意１０

哈尔滨］。稃大学硕＋学何论文

义。

第二章重点介绍了期权的定义和期权的分类，主要介绍了期权价格的特征与其价格受那些因素的影响，看涨期权与看跌期权价格的关系。

第三章首先介绍了Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的地位，接着介绍了一些预备的知识，包括重要的概念一鞅的定义、Ｂｒｏｗｎ运动及伊藤公式和Ｇｉｒｓａｎｏｖ定理，为后面的证明做铺垫。重点介绍了Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ的定价模型及其推广。

第四章主要内容是当股票价格不符合布朗运动，是跳跃扩散模型时的期权定价公式。

第五章主要内容是当波动率不是常数时，考虑随机波动率情况下的期权定价公式。

本文的创新点主要有以下几个方面：

ｆ１１应用随机系统理论解决期权定价问题。

（２）Ｎ用鞅理论给期权定价公式一种新的推导方法。

（３１带有随机波动率的交换期权定价模型。

（４）跳跃．扩散模型的引入。

（５）给出在随机利率下的Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式并提出了修改方法。总体来讲，将Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ理论应用于期权定价，不仅具有理论基础，而且建模方法简单，模型的精度较高，因此具有一定的借鉴意义。

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第２章金融学中股票期权的概论

２．１股票期权的定义、分类及性质

２．１．１期权的定义

股票期权自１９７３年首次在芝加哥期权交易所（ＣｈｉｃａｇｏＢｏａｒｄＯｐｔｉｏｎｓＥｘｃｈａｎｇｅ．简称ＣＢＯＥ）内开始交易以来，期权市场的发展就越来越迅猛。现在，期权在世界各地的不同交易所都有交易。银彳亍和其他金融机构同时也进行大量的期权合约的场外交易。期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债务工具、各种商品和期货合约…１。

期权又称选择权，是指其持有者能在规定的期限内按交易双方商定的价格（执行价格）购买或出售一定数量的某种特定商品的权利。期权交易就是对这种选择期权的买卖。只能在到期日执行的期权称为欧式期权，在到期同前均可执行的期权称为美式期权。

如上所述，期权是一种纯粹的权利，不负有相应的义务，这种权利的市场价值便是期权价格。从持有方来看，它是得到这种权利要付出的代价，因此，也称为期权费。而从规避风险的角度看，持有一个多头期权无疑是投入了一个财产保值和增值保险，因此，期权价格又称为期权保险费。它也是期权持有方在期权交易中的最大可能损失额。

在期权交易中，获得选择权的一方通常称为期权购买人，因为他们为获得这种选择权必须向该期权的提供方支付一定的货币。而向交易对方提供这种选择权的一方，通常被称之为期权出售人，因为他们以收取一定货币为前提而提供这种权利的。因此，期权出售人也被称为期权创始人或出具人。２．１．２期权的分类

（一）从交易者的买卖行为划分，期权可以分为买入期权（又称看涨期权（Ｃａｌｌ２

哈尔滨Ｔ程大学硕＋学｛市论文

Ｏｐｔｉｏｎ））和卖出期权（又称看跌期权（ＰｕｔＯｐｔｉｏｎ））

（二）按照合约所规定的履约时间不同，期权可以分为欧式期权和美式期权

（二）按照期权标的物性质不同，期权可以分为两大类，即商品期权和会融期权

（四）新型期权（ＥｘｏｔｉｃＯｐｔｉｏｎ）

１复合期权：基于期权的期权。复合期权主要有四种类型：基于某个看涨期权的看涨期权、基于某个看涨期权的看跌期权、基于某个看跌期权的看涨期权、基于某个看跌期权的看跌期权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。

以看涨期权的看涨期权为例说明复合期权，这种期权以看涨期权作为标的资产。设瓦＜Ｔ，ｑｏ，ｇ∈Ｒ，考虑一个看涨期权，其执行价格为ｇ，到期时刻为Ｔ，它在时刻瓦的价格为鬈（ＴＯ；Ｔ，ｇ）。现在以这个看涨期权作为标的资产，考虑执行价格为ｑｏ，到期时刻为Ｔｏ的看涨期权。于是在时刻Ｔｏ，该期权的价值为

ｙ（瓦）＝［譬（瓦；ｒ，ｑ）－ｑｏ］＋（２－Ｄ

２，任选期权：该期权的持有者有权在将来某个时刻ｒｏ＜Ｔ做出该期权是看涨期权或者是看跌期权的决定。所以，如果到期时刻为ｒ，执行价格为９的看涨或看跌期权在Ｔｏ时刻的价格分别为Ｆ（瓦；ｒ，ｇ）和鬈（ＴＯ；Ｔ，ｑ），则任选期权在Ｔｏ时刻的价值为

Ｖ（Ｔｏ）＝ｍａｘ｛Ｙ：（Ｔｏ；Ｔ，ｇ），巧（瓦；ｒ，ｇ）｝（２－２）

３．障碍期权：一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权是这样一种期权，即当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。有如下两种：

（ｉ）下跌出局看涨期权：它在到期时刻Ｔ的价值为：

ｙ（丁）＝（Ｐ（丁）一ｇ）＋ｋ巾ｐｄ‘２—３’

（ｉｉ）看涨出局看跌期权：它在到期时刻Ｔ的价值为：

ｙ（ｒ）２（ｇ一尸（ｒ））＋ｋ忡ｄ（２－４）

敲入期权是这样一种期权，即当只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。有如下两种：

（ｉ）下跌入局看跌期权：它在到期时刻ｒ的价值为：

矿（ｒ）２（ｇ－Ｐ（７’））＋ｋ巾叫‘２—５’

（ｉｉ）上涨入局看涨期权：它在到期时刻丁的价值为：

矿（７１）＝（尸（ｒ）一ｇ）＋ｋ帕｝‘２吲

４．回望期权：它的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最大或最小价格。欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的资产达到的最低价格的那个量。即：

矿（丁）。ｌ尸（丁）一，Ｅ【ｍ。ｉ川ｎＰ（ｆ）Ｊ‘２—７’

欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过最后标的资产价格的那个量。即：

矿（７１）２”ｍ１０’ａ秽ｘＰ（）一，（丁）ｊ（２－８）

５．亚式期权：它的价值与期权有效期内某一段时间的标的资产的平均价格有关。因此，亚式看涨期权在到期时刻７’的价值为：

哪，－（南∽加刁协∞

亚式看跌期权在到期时刻Ｔ的价值为：

咿）＝卜志弘）西］蠢㈣

６．领子期权：期权的持有者希望在标的资产的市价低于ＫＩ时，有权以ＫＩ的价格出售；在标的资产的市价高于Ｋ：时，有权以Ｋ：的价格购买。即

哈尔滨ｒｒ＝稃大学硕十学位论文

Ｉ

ＩＫｌ，ｐ（ｒ）＜ＫｌＫ２，ｐ（ｒ）＞Ｋ２Ｖ（Ｔ）＝ｍｉｎ｛ｍｘ｛尸（ｒ），Ｋ。），岛｝＝Ｉｐ（ｒ），Ｋ，≤Ｐ（ｒ）≤Ｋ：（２－１１）

７．篮子期权：这种期权以某些资产的市价组合作为标的资产，所以，相应的看涨篮子期权在到期时刻丁的价值为：

厂ｋ、＋

矿（ｒ）＝Ｉ乏＾Ｐ（７１）一日Ｉ＼』＝●／

ｋ（２—１２）

其中，丑≥ｏ，∑Ａ＝１，而看跌篮子期权在到期时刻ｒ的价值为：

ｌｌＩ

ｙ（丁）＝（ｇ一妻丑Ｐ（ｒ）］＋

２．１．３期权的性质ｃｚ—ｚｓ，

设Ｆ（Ｓ，ｒ，ｒ，Ⅳ），ｆ（８，ｔ，Ｔ，Ｘ），Ｇ（Ｓ，ｔ，Ｔ，ｘ），ｇ（Ｓ，ｔ，Ｔ，Ｘ）分别表示在Ｔ时刻到期，执行价格为Ｘ≥０的美式或欧式买入期权以及美式或欧式卖出期权在ｔ时刻的价值，Ｓ为ｔ时刻股票的价格，以下我们总假定股票和期权的交易在没有任何税收和交易成本的完全市场上进行。

现给出期权的基本性质：

（１），（．）≥ｏ，Ｇ（．）≥ｏ，，（．）≥ｏ，ｇ（ ）≥ｏ

（２）ｒ（ｓ，ｔ，ｚｘ）＝，＠‘ｚｘ）＝聊饿（ｓ－ｘｏ）

Ｇ（ｓｔｚⅣ）＝ｇ（ｓ‘ｚⅣ）＝肌甜（ｓ—ｘＤ）

（３）Ｆ（Ｓ，ｔ，Ｔ，Ｘ）≥Ｓ－ｘ，Ｇ＠‘ｚｘ）≥Ｓ—Ｘ（４）对疋＞正

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，●；疋）≥，‘，；瓦）且Ｇ‘；疋）≥Ｇ（ ；正）

（５），（）≥／（－沮６（０－＞ｇ（．）

（６）对ⅣＩ＞Ｘ２，

Ｆ（－；Ｘ．）≤，‘；ｘ：阿‘；ｘ．）≤厂（；ｘ：）

Ｇ‘；ｘ．）ｓＧ（．Ｘ：沮ｇ‘；ｘ．）≤ｇ‘；Ⅳ：）

（７）ｓ＝Ｆ（Ｓ，ｔ；Ｔ，ｘ）２Ｆ（Ｓ，ｔ；Ｔ，Ｘ）

（８）Ｉ（ｏ，．）＝Ｆ（０，； ）＝０

２．２期权价格

２．２．１期权价格的特征

在这～节中，我们看一下期权价格的一些简单的性质。考虑时问区间

【０，７’】上的四种期权：欧式看涨和看跌期权，美式看涨和看跌期权，记它们的

鬈（ ）：欧式看涨期权的价格过程

价格过程分别为巧（ ）：欧式看跌期权的价格过程

巧（ ）：美式看涨期权的价格过程

巧（ ）：美式看跌期权的价格过程

定义２．２．１如在一个市场中，人们可以身无分文入市，通过资产的买卖（允许卖空和借贷），使得能够最终保证不欠债，且有正概率的机会，获得赢利，此时，我们称该市场存在套利机会。假如市场中不存在套利机会，则称市场无套利。为了叙述方便起见，本节中的期权（欧式、美式、看涨、看跌）均以某种股票作为标的资产，期限均为ｌｏ，Ｔｌ，敲定价格均为ｑ＞ｏ。同时，总假定市场无套利ｌｏ，州上的无风险利率（或银行存款利率）为常数，＞０（连续复１６

０）４１－２（】’７，ｏ【∈，

哈尔滨丁程大学硕十学ｆｉ）：论文

利），股票在任何时刻ｆ∈【０，７’】的价格Ｐ（，）＞０，另外，作为市场的某种所谓的“完备性”，我们还假设在给定的时刻ｔ∈【ｏ，７１）预测任何将来时刻５∈（ｆ，丁】，股票的价格有可能到达任何一个正的价位。特别，对任何时刻，ｅ［ｏ，丁）而言。，“Ｐ（Ｔ）＞目”和“Ｐ（Ｔ）＜ｑ”均是具有正概率的事件。

命题２２．１对于【０，丁】上具有相同执行价格ｇ的欧式和美式期权来讲，下面的关系是成立的：

｛ｏ！翟；黑Ｉ＜鬈（，）≤鬈（ｆ），…１

证明：假如ｒ（，）≤０则投资者可以在时间ｆ买入一份欧式看涨期权，同时还会获得“倒贴”款子一军（ｆ）≥０。在到期时刻Ｔ，他可以获利【尸（ｆ）一ｇｒ。由于事件尸（，）＞ｑ发生的概率是正的，因此，该投资者保证可以不亏本，同时还有ｊＦ概率获得赢利的机会。这就意味着市场有套利，与假设矛盾，所以，鬈（，）＞０。同理可证，瑶（ｆ）＞ｏ。另一方面，假如Ｕ（Ｏ＞Ｐ（，），则投机者可以在ｆ时刻卖空一份欧式看涨期权，获得现金巧（ｆ）；同时买入一份美式看涨期权，支出现会Ｐ（ｆ）；再将余款Ｕ（ｔ）－翠（，）＞ｏ存入银行（利率为ｒ＞０），中途不执行美式看涨期权。到时刻Ｔ，可以将持有的美式看涨期权冲低欧式看涨期权的空头，而获无风险收［譬（ｆ）一毕（，）］ｅ盯训＞０，这又与市场无套利矛盾，因此，Ｆ（，）ｓＰ（ｒ）。同理可证，巧（，）≤巧（ｆ），证毕。

２．２．２期权价格的决定因素

有六种因素影响股票期权的价格：１．股票的现价Ｓ

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