河北省唐山市2015届高三年级第一次模拟考试 - 数学理（数学理）

河北省唐山市

2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

数学（理）试题

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项） 1．已知全集

2． A．—2i B．-4i

3．已知抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是

C．2i

D．4i

4．命题

函数的图像过点（2，0），则 A． p 假 q 真 C． p 假 q 假

B． p 真 q 假 D． p 真 q 5．执行右边的程序框图，则输出的A是

，

6．在直角梯形ABCD中，AB//CD，

7．已知

8．展开式中的常数项为 A．-8 9．函数

B．-12

的值域为

C．-20

D．20

10．F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为

A，交另一条渐近线于点B，若则C的离心率是

11．直线分别与曲线

交于A，B，则|AB|的最小值为

12．某几何体的三视图如图所示，则该几体的表面积为

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．已知

14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方

程为由以上信息，得到下表中 c 的值为 ．

15．在半径为 5的球面上有不同的四点A，B，C，D，若则平面BCD 被球所截得图形的面积为 ． 16．已知

的取值范围为 。

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）

18．（本小题满分 12 分）

小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机 发放红包，每次发放 1 个． （1）若小王发放 5 元的红包 2 个，求甲恰得 1 个的概率；

（2）若小王发放 3 个红包，其中 5 元的 2 个，10 元的 1 个．记乙所得红包的总钱数X为，

求X的分布列和期望． 19．（本小题满分 12 分）

如图，在斜三棱柱中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，

（I）求证：

（II）若求二项角C—AB1—A1的余弦值。

20．（本小题满分 12 分）

已知圆

，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为．

（I）求曲线的方程；

（II）直线 AB交圆O于 C，D 两点，当B为 CD 的中点时，求直线AB的方程．

21．（本小题满分 12 分）

已知函数 （I） （II）

的取值范围；

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，圆周角的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于

点F。

（I）求证：BC//DE；

（II）若D，E，C，F四点共圆，且

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知椭圆

（I）写出椭圆C的参数方程与直线l的普通方程；

（II）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的

坐标。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数

（I）当a=1时，解不等式

（II）若的最小值为1，求a的值。

唐山市2014—2015学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案 一、选择题：

A卷：CABAB BDCAC B卷：CABCC BDCAB 二、填空题：

（13）5； 三、解答题： （17）解：

（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，a1＝1．

当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得 an＝qan－1，

又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，

－

故an＝qn1． …6分

1－anq1－a3q1－a6q2(1－a9q)

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，

1－q1－q1－q1－q

化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．

（14）6；

（15）16π；

（16）[4，12]．

DC DA

故a2，a8，a5成等差数列．

（18）解：

…12分

（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A，P(A)＝C12×

1 2 4

×＝． 339

…4分

（Ⅱ）X的所有可能值为0，5，10，15，20．

2 2 2 8 1 2 28

P(X＝0)＝ ()×＝， P(X＝5)＝C1××()＝， 2

33273327 1 2 2 2 2 1 6 1 2 2 4

P(X＝10)＝()×＋()×＝， P(X＝15)＝C1×()×＝， 2

3333273327 1 31

P(X＝20)＝()＝． …10分

327

X的分布列：

X 0 5 10 15 20 88641P 27272727278864120E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝． …12分

27272727273

z A A1 （19）解：

（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则

△ACC1和△B1CC1皆为正三角形． 取CC1中点O，连OA，OB1，则 y O CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则 C1 C CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． …4分

B x B1 （Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系， 则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)， …6分 设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为 →＝(3，0，－3)，→ABAC＝(0，－1，－3)，

1

??3×x1＋0×y1－3×z1＝0，所以?取m＝(1，－3，1)．

??0×x1－1×y1－3×z1＝0，

…8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为 →＝(3，0，－3)，AA→＝ (0，2，0)， AB

1

1

?3×x2＋0×y2－3×z2＝0，所以?取n＝(1，0，1)．

?0×x1＋2×y1＋0×z1＝0，

m·n210

则cos?m，n?＝＝＝，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

|m||n|55×2

10

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为－．

5

…10分

…12分

（20）解：

（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则 |OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A?， 连A?B，故|A?B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4． 所以点B的轨迹是以A?，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

y B M A? O N A x

其中，a＝2，c＝3，b＝1，则

x22

曲线Γ的方程为＋y＝1． …5分

4

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD， 则→OB⊥→AB．设B(x，y)， 则x0(x0－ …7分 2

x0222又＋y0＝1 解得x0＝，y0＝±． 4332

则kOB＝±，kAB＝2， …10分

2

则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即 2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0． …12分

00

2

3)＋y0＝0．

y D B O A x C （21）解：

（Ⅰ）令p(x)＝f?(x)＝ex－x－1，p?(x)＝ex－1，

在(－1，0)内，p?(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p?(x) ＞0，p(x)单增． 所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f?(x)≥0，

所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0． …4分

2 －

（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h?(x)＝－ex－a，

x＋1

2 1 2 －

令q(x)＝－ex－a，q?(x)＝x－．

e(x＋1)2x＋1

由（Ⅰ）得q?(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减． …6分 （1）当a＝1时，q(0)＝h?(0)＝0且h(0)＝0．

在(－1，0)上h?(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减， 所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立． …7分 （2）当a＞1时，h?(0)＜0，

1－a 2 2 －

x∈(－1，0)时，h?(x)＝－ex－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．

x＋1x＋1a＋1

1－a即x∈(，0)时h?(x)＜0，h(x)单调递减，

a＋1

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分 （3）当0＜a＜1时，h?(0)＞0，

1－a 2 2 －

x∈(0，＋∞)时，h?(x)＝－ex－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．

x＋1x＋1a＋1

1－a

即x∈(0， )时h?(x)＞0，h(x)单调递增，

a＋1

又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分 综上，a的取值为1． …12分 （22）解：

（Ⅰ）证明：因为 ∠EDC＝∠DAC， ∠DAC＝∠DAB， ∠DAB＝∠DCB，

所以∠EDC＝∠DCB， 所以BC∥DE． …4分 （Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以

∠CFA＝∠CED，由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以 ∠CFA＝∠ACF．设∠DAC＝∠DAB＝x， 因为⌒AC＝⌒BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，

所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，

E D F A B

C π

在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x＝，

7

2π

所以∠BAC＝2x＝． …10分

7（23）解：

?x＝2cosθ，

（Ⅰ）C：?（θ为参数），l：x－3y＋9＝0．

?y＝3sinθ

…4分

（Ⅱ）设P(2cosθ，3sinθ),

则|AP|＝(2cosθ－1)2＋(3sinθ)2＝2－cosθ，

|2cosθ－3sinθ＋9|2cosθ－3sinθ＋9

P到直线l的距离d＝＝．

22

3 4 由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝，cosθ＝－．

55

8 33 故P(－，)． …10分

55

（24）解：

??－x＋2，－1≤x≤ 1 ；2 （Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝? 1

?3x， x≥?2

且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}；

…4分

a a a a

（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|

2222

a a

当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．

22

a

所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0．

2

－3x， x≤－1；

…10分

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