含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，求实数m的

取值范围。

解：设F(x)?x2?2mx?2?m，则当x?[?1,??)时，F(x)?0恒成立 当??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1时，F(x)?0显然成立； 当??0时，如图，F(x)?0恒成立的充要条件为：

?????0?F(?1)?0解得?3?m??2。 ?????2m2??1综上可得实数m的取值范围为[?3,1)。

yx -1 O 二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）f(x)?a恒成立?a?f(x)min 2）f(x)?a恒成立?a?f(x)max

例3．已知f(x)?7x2?28x?a,g(x)?2x3?4x2?40x，当x?[?3,3]时，

f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

解：设F(x)?f(x)?g(x)??2x3?3x2?12x?c， 则由题可知F(x)?0对任意x?[?3,3]恒成立 令F'(x)??6x2?6x?12?0，得x??1或x?2

而F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a, ∴F(x)max?45?a?0

∴a?45即实数a的取值范围为[45,??)。

x2?2x?a,x?[1,??)，若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，例4．函数f(x)?x求实数a的取值范围。

解：若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，

x2?2x?a?0恒成立， 即对x?[1,??)，f(x)?x考虑到不等式的分母x?[1,??)，只需x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x2?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得

a??3

注：本题还可将f(x)变形为f(x)?x?a?2，讨论其单调性从而求出f(x)最小x值。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 2）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max 实际上，上题就可利用此法解决。

略解：x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立，只要a??x2?2x在x?[1,??)时恒成立。而易求得二次函数h(x)??x2?2x在[1,??)上的最大值为?3，所以

a??3。

例5．已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。

2解： 将问题转化为a?4x?x对x?(0,4]恒成立。

x令g(x)?4x?x2，则a?g(x)min x由g(x)?4x?x2?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故xg(x)min?g(4)?0

∴a?0即a的取值范围为(??,0)。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。

解：令f(a)?(x?2)a?x2?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立（a?[?1,1]）。

当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。

?f(1)?0当x?2时，应有?解之得x?1或x?3。

?f(?1)?0故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。

注：一般地，一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充

f(?)?0。 要条件为???f(?)?0五、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。 例7．设f(x)??x2?4x , g(x)?成立,求实数a的取值范围.

分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象如图所示，

f(x)的图象是半圆(x?2)2?y2?4(y?0) g(x)的图象是平行的直4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)3y -2 -4 -4 O x 线系4x?3y?3?3a?0。要使f(x)?g(x)恒成立，则圆心(?2,0)到直线4x?3y?3?3a?0的距离满足 d?a??5或a??8?3?3a5?2解得

5（舍去) 3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

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