深入浅出讲解麦克斯韦方程组

深入浅出讲解麦克斯韦方程组

前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由 孙研 发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。以下是正文：

有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势

经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。 一张图表明关系： 积分

力－－－＞能 ｜｜

场＜－－－势 微分

具体需要指出，这里的电场（标为E）和磁场（标为B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3<->1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？ 一个显而易见的答案是“保守力场”conservative force field。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场F（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作F=-?V。这里不说具体细节，你只要知道?是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做算符operator）。

那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了“向量势”vector potential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。

总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。 2. 麦克斯韦方程组

前边说到，麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有积分形式和微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。

这里E表示电场，B表示磁场，ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷，I是电流，V表示一块体积，?V表示它的表面，而S表示一块曲面，?S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度（电荷/体积），J是电流密度（电流/面积），?·和?×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。 先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场E的，两个是关于磁场B的；两个是曲面积分∫da或者散度?·，两个是曲线积分∫dl或者旋度?×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。 3. 电荷->电场，电流->磁场

这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。

我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律Coulomb's Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：

其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。

高中里应该还学过安培定律Ampere's Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做高斯定律Gauss's Law。这四个定律之间有如下关系： 电场磁场

两个微小来源之间的力库仑定律毕奥-萨伐尔定律 单个来源产生的场高斯定律安培定律

数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：

高斯定律（积分、微分形式）：

安培定律（积分、微分形式）：

我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场E（磁场B），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度J）。看，电荷产生电场，电流产生磁场！ 4. 变化磁场->电场，变化磁场->电场

然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是法拉第定律Faraday's Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即： 法拉第定律（积分、微分形式）：

安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：

同样地，等式的左边有电场E（磁场B），而右边有磁场B（电场E）的导数d/dt或偏导?/?t。看，变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！

需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。

小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加

很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上F有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上F有向内收敛的趋势。

旋度curl则指一个向量场旋转的程度。一个向量场F的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作?×F（这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上F有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。

举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。（显然这两个图都是用字符直接画的；大家凑合着看，有空我再搞张好看点的图） 散度不为0、但旋度为0的向量场： ↖ ↑ ↗ ← · → ↙ ↓ ↘

旋度不为0、但散度为0的向量场： ↗ → ↘ ↑ · ↓ ↖ ← ↙

因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。

麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。 高斯定理Gauss's Theorem：一个向量场F在闭合曲面?V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V里的F全部的散度（F的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。

斯托克斯定理Stokes' Theorem：一个向量场F在闭合曲线?S上的环量，等于该曲线环住的曲面S上的F全部的旋度（F的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。

总结如下表： 曲面积分曲线积分 积分形式通量环量 联系高斯定理斯托克斯定理 微分形式散度旋度

8. 麦克斯韦方程组的微分形式

了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。

(1) 高斯定律：电场E的散度，等于在该点的电荷密度ρ（乘上系数1/ε0）； (2) 法拉第定律：电场E的旋度，等于在该点的磁场B的变化率（乘上系数-1）； (3) 高斯磁定律：磁场B的散度，等于0；

(4) 安培麦克斯韦定律：磁场B的旋度，等于在该点的电流密度J（乘上系数μ0），加上在该点的电场E的变化率（乘上系数μ0ε0）。

我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。

想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。 9. 电磁波

我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：

这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是电磁波electromagnetic wave的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。 想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数-1和μ0ε0。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为

然而！μ0和ε0这两个常数是真空的性质（分别叫做真空电容率vacuum permittivity和真空磁导率vacuum permeability），是个定值。换句话说，电磁波传播的速度（光速）也是一个定值！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的c！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是50 m/s，那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s，显然不会仍然是50 m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。 10. 方向性

可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里只有右手定则）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？

答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘u×v是一个向量，指的方向是垂直于u和v的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一

个曲面S也有两个方向（即其微分元素da是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素dl也是向量），因此我们把S的da和?S的dl联系起来，这个联系的规则也叫做“右手定则”。

上面这些情况中，选择“右手”是非常随意的；原则上我也可以全部选择左手，那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然，磁场B会和原来的磁场指的方向完全相反，但是没有关系，因为我们又不能直接看到磁场，所有的定律的手性都变了之后，描述的物理是不变的。但是，选择右手是约定俗成的，也就没必要再纠结为什么了。 11. 梯度、二次导数

我在之前说到保守力场的时候，偷偷塞进来过这样一个式子：F=-?V。这里F是个向量场，V是个标量场。我们看到，这个神奇的倒三角不但可以表示散度（把向量变成标量）和旋度（把向量变成向量），还可以这样把一个标量场变成一个向量场！数学上这个倒三角叫Nabla算符，而?V叫做一个标量场V的梯度。 什么叫做梯度呢？其实相比于散度和旋度，这应该是更加熟悉的概念。梯度gradient就是一个标量场变化的程度。我们可以把一个标量场想象成一个山坡，每一点的梯度是一个向量，指的方向是上坡的方向，大小则是坡的陡峭程度。 总结一下我们见到的三种向量微分吧： 梯度散度旋度

作用在一个标量向量向量场上 表示这个场变化发散旋转的程度 得到一个向量标量向量场 写作?V ?·F?×F

于是从F=-?V这个公式我们看到，保守力场（比如引力场）可以表示为某个标量场（比如引力势能）的梯度。之前说过，保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说，梯度的旋度一定为0。这是可以想象的，梯度指的是上坡的方向，而如果它有旋度，就意味着它们的指向可以形成的一个环，在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯，是不可能的情形。

还有一个类似的定理，是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度，就意味着在某个球上散度都在往球外指，也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论：

1. 任意标量场V的梯度?V都是没有旋度的，也就是?×(?V)=0； 2. 任意向量场F的旋度?×F都是没有散度的，也就是?·(?×F)=0。

我说过，这些“X度”都可以认为是场的一种微分，那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到，有两种二次导数都自动为0，不必我们深究。还有一种二次导数也很有名，也就是梯度的散度，它甚至有了一个专门的花哨的名

字，叫“拉普拉斯算符”Laplacian。在此我不作展开，大家只要知道它挺重要的就行。 12. 电荷守恒

从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单，且颇为有趣，可以让大家看到向量微积分的方便之处，我就简要写一下： 首先我们有安培-麦克斯韦定律：

两边同时取散度：

注意到左边是磁场的旋度的散度，而旋度的散度一定为0，故左边为0。右边交换散度和时间导数，并约掉μ0，得：

使用高斯定律：

代入原式，约掉ε0，得：

这个就是电荷守恒的公式。用语言说，就是电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0。如果这比较抽象，我们可以对两项同时体积积分，再对J那项使用高斯定律变成面积积分，则结论变成：

一块体积V内的电荷的变化率加上通过表面?V的电流一定为0。

举个栗子，如果一块体积内的电荷Q变少了，其变化率为负，根据上述结论，通过表面的电流一定为正，也就是说有电流从这块体积内流出去了。这就是非常明显的电荷守恒了，给出了电荷和电流的关系，这个公式也叫“连续性方程”continuity equation。连续性方程在流体力学里十分重要，甚至在量子力学里的概率也遵守这个方程（电荷->概率，电流->概率流）。 S1. 附录：省略掉的各种公式和定义 库仑定律：

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