初中奥数讲义_实数的概念及性质附答案

实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．

有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数数，不能写成分数

q的形式，这里p、q是互质的整数，且p?0． pq的形式；无理数是无限不循环小p2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解

【例1】若a、b满足3a?5b3=7，则S＝2a?3b的取值范围是 ．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 运用a、b的非负性，建立关于S的不等式组．

注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个( )

A．小于0的有理数 B．大于0的有理数 C．小于0的无理数 D．大于0的无理数

(武汉市选拔赛试题)

思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式． 【例3】已知a 、b是有理数，且(?13311319)a?(?)b?2?13?0，求a、b的值． 2412420思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组． 【例4】(1) 已知a、b为有理数，x，y分别表示5?7的整数部分和小数部分，且满足axy+by＝1，求a+b的值． (南昌市竞赛题)

(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)

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