指数函数多项式展开及其应用

学号：0907410028

本科毕业论文（设计）

( 2013届)

指数函数的多项式展开及其应用

院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 许月 指导教师 齐继兵 职 称 讲师 等 级

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摘 要

指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.

关键词：指数函数 初等函数 多项式 泰勒展开

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I

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ABSTRACT

Exponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties and its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on the exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential function with different images of the polynomial approximation function, and the error analysis and comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as well as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’s important role in solving practical problems[10].

Key words: exponential function elementary function polynomial Taylor expansion

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II

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目 录

摘 要 ...................................................... I ABSTRACT ................................................... II 1 引言 ...................................................... 1 2 指数函数的多项式展开 ....................................... 1

2.1 函数多项式展开的概念 ......................................1 2.2 泰勒展开式的证明 ..........................................1 2.3 指数函数多项式逼近图 ......................................2 2.4 自然指数函数展开式的多重分割法 ............................6

3 指数函数多项式展开的应用 ................................... 8

3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程 ......................8 3.2 利用指数函数展开法求极限 .................................11 3.3 利用指数函数展开式进行近似计算 ...........................12 3.4 利用泰勒公式证明不等式 ...................................13

4 结束语 ................................................... 14 参考文献 ................................................... 14

III

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1 引言

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x为元的一元n次多项式的一般形式可以写成anxn?an?1xn?1???a1x?a0这里n是确定的自然数，an?0”[1].

2 指数函数的多项式展开

多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.

2.1 函数多项式展开的概念

定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数f?x?，假设它在一点x0存在直到n阶的导数，且多项式Tn?x?由这些导数构成，即

Tn?x??f?x0??f'?x0?1! 装 订 线

?x?x0??f''?x0?2!?x?x0????2f?n??x0?n!?x?x0?n

该式称为函数f?x?在该点处的泰勒公式. 指数函数在点x0处的泰勒展开式为

f''?x0?f???x0?2nna?f?x??f?x0??f?x0??x?x0???x?x0?????x?x0????Tn?x??o?x?x0?2!n!

x'n??这里o?x?x0?称为佩亚诺型余项.

?n?2.2 泰勒展开式的证明

泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.

定理[2] 若函数f?x?在点x0存在直至n阶导数，则有f?x??Tn?x??o?x?x0?，即

n??f''?x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f?x0??x?x0??x?x???x?x?ox?x???0?0?0?2!n!'n?? 1

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以及S1?0??1,S2?0??S3?0????Sm?0??0 广义双曲函数的性质

1、m?2时，广义双曲函数组S1?x?,S2?x?,?,Sm?x?构成的m阶循环行列式

S1?x?Dm?x??Sm?x??S2?x?S2?x????Sm?x??S1?x??1

S1?x??Sm?1?x?S3?x??2、m?2时，广义双曲函数的和较恒等式

S1?x?y??S1?x?S S2?x?y???y??Sm?x?S?2y????S?2x?Sm?y?

S??1S?x?2S?y??3?Sm?x? S?S?y??2??x11yy ?? Sm?x?y??Sm??x1?S?y?m?1S??x2?S???y??1?SS?mx?

2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数

nmxmx2mnx??????1??? 定义2 形如T1?x??1?m!?2m?!?nm?![6]

nmxxm?1x2m?1?1nxT2?x?????????1???

1!?m?1?!?2m?1?!?nm?1?! ??

xm?1x2m?1x3m?1x??nTm?x?????????1???

n?1m?1!???m?1?!?2m?1?!?3m?1?!????n?1m?1其中x?R,m?3均为广义三角函数.

定义2'[6] 广义三角函数组T1?x?,T2?x?,?,Tm?x?满足下列常微分方程组

dT1?x?dt?Tm?x?,dT2?x?dt?T1?x?,?,dTm?x?dt?Tm?1?x?

以及初值条件T1?0??1,T2?0??T3?0????Tm?0??0 广义三角函数的性质

1、m?2时，广义三角函数组T1?x?,T2?x?,?,Tm?x?构成的m阶反循环行列式

T1?x?T2?x??-Tm?x??-T2?x?T1?x???-T3?x???T1?x??1

Tm?x?Tm?1?x??2、m?2时，广义三角函数组T1?x?,T2?x?,?,Tm?x?的和角恒等式

T T1?x?y??1??x1?T?y?m?T?x?2T??ym??1T??3x?T??Y??2 ?T??xmTy 7

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T2?x?y??T2?x?T1?y??T?1x?T?2y??Tm?x?T?Y?Tm?y? 3????T?x3 T3?x?y??T3?x?T1?y??T2?x?T2?y??T1?x?T3?y????T4?x?Tm?y?

??

Tm?x?y??Tm?x?T1?y??Tm?1?x?T2?y??Tm?2?x?T3?y????T1?x?Tm?y?

3 指数函数多项式展开的应用

3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程

在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.

给定非线性方程

F?u,ut,ux,uxx,utx,???0， （1） 为了求（1）行波解，令

u?x,t??????，??kx?vt， （2） 这里k,v是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到????对应的常微分方程 Gu,vu,ku,ku,kvu,??0. （3） 根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:

?''2'''??????i??prj??s?ae?iiq?jja?pe?p????aqeq?b?re?r??be????bses? （4）

这里ai,bj是待定常数p,q,s,r均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r和p的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q和s的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM方程[7].

BBM方程有如下的基本形式：

ut+ux-6uux+uxxt=0 （5）

利用变换

u(x,t)=f(q),q=kx+vt

使方程（1）式变为：

(k+v)f'+6kff'-k2vf'''=0. （6）

利用假设条件求出：

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c1e()+? f=， （7） 8rqc2e+?7r+pq''')c3e()+?c3e(+?= ff=， （8）

c4e3rq+?c4e8rq+?r+2pq6r+2pq'其中ck(k=1,2,3,4)，平衡子式得：

7r+p=6r+2p?rp. （9）

同理

?+c5e臌+? f=， （10）

?+c6e-8sq+?'''轾-(7s+q)q?+c7e臌' ff=?+c8e-3sq轾-(s+2q)q?+c7e臌=?+c8e-8sq轾-(6s+2q)q， （11）

通过平衡子式-(7s+q)=-(6s+2q)?sq.

情形1 取r=p=1,s=q=1，从而方程（4）式变为：

a1eq+a0+a-1e-qf(q)=， （12）

b1eq+b0+b-1e-q将（12）式代入方程（6）中，利用Maple计算得到：

（13） C?Cieiq=0，

i=-33这里C=(b-1e+b0+b1e-qq4)，令Ci=0,-3＃i,a-1=3,i R，进而可得

,a0=-b0(k+v+5k2v)6k,

a1=b0(-v-k+k2v)24kb-1b-1(-k-v+k2v)6kb02v=v,b0=b0,b1=,b-1=b-1,

4b-1代入（12）式，可得

b0(-v-k+k2v)24kb-1e-qb0(5k2v+k+v)6k+b-1(-k-v+k2v)6ke-q f1=b02qe+b0+b-1e-q4b-1. （14）

b02=b-1截得b0= 2b-1，从而得到两个孤立波解： (i) 令4b-1k2-k-vkv f2,3=. （15） 6k3轾coshkx+vt 1()臌(ii) 令k=K1i，v=K2i，这里K1，K2为待定常数，i为虚数，从而得到两个周期解：

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K12K2+K1+K2K1K2 f4,5=-. （16）

6K13轾cosKx+Kt 12)臌(1当

a1=a1,b-1=0,a-1=0,a0=a1b0,v=v,b0=b0,b1=b1 b1从而有f6=a1为常数解. b1情形2 取r=p=2，s=q=2，为方便起见令b1=b-1=0，从而方程（4）变为

a2e2q+a1eq+a0+a-1e-q+a-2e-2q f(q)=. （17）

b2e2q+b0+b-2e-2q将（17）式代入方程（6）式中利用Maple计算，有

C?Cieiq=0， （18）

i=-77这里C=(b-2e-2q+b0+b2e2q)，令Ci=0,-7＃ia2=b02(-v-k+4k2v)24kb-2,a-2=47,i R，从而得到

,a0=-b0(k+v+20k2v)6k,

b-2(-k-v+4k2v)6kb02v=v,b0=b0,b-2=,b-2=b-2,a1=0,a-1=0，

4b-2代入（17）式，可得

b-2(4k2-k-v)6ke-2q-b0(20k2+k+v)6k2+b02(4k2-k-v)24kb-2e2q f7=b02qe+b0+b-2e-2q4b-2 （19）

b02=b-2解得b0= 2b-2从而得到两个孤立波解： (iii) 令4b-24k2-k-vkv f8,9=. （20） 轾6kcosh(kx+vt) 1臌(iv) 令k=K1i，v=K2i，这里K1，K2为待定常数，i为虚数，从而得到两个周期解：

K12K2+K1+K2K1K2? f10,11=-. （21） 轾6K1cos(K1x+K2t) 1臌 利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.

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3.2 利用指数函数展开法求极限

对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].

1?【例3】 求极限limx?0xx??e2!4!x424?x22.

?x220分析：该题为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将e0用其多项式展开式代

替,则可化简被求方程式. 解：由e?x22x22(?)x22?o(x4)得 ?1??22!24x221?于是

xx??e24??x2???2?242xxx??ox4 ?1???1?????2422!21?limx?0xx??e244x24?x22?x2???2?2424xxx?x4??ox1???1???o?x4???12422!8?lim?lim?x?0x?0x4x482

由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求

导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.

xex-1-x-sinx2【例4】 求极限lim.

x?0sinx-xcosx0分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx, ex分别用泰

0勒展开式代替,则可化简被求方程式.

xx2x3x解：e?1?x?sinx?1?x???o?x3??1?x??x?o?x??

22!3!2xx3 ??o?x3?

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?x2x3x332?sinx?xcosx?x??o?x??x?1??o?x????o?x3?

62!??3 于是

x3xe-1-x-2sinx6+o(x3)1lim=3= x→0xsinx-xcosx2+o(x3)3x本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cosx，sinx，ex分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.

3.3 利用指数函数展开式进行近似计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用f(x)麦克劳林

f''(0)2fn(0)nx???x，其误差是余项展开得到函数的近似计算式为f(x)?f(0)?f(0)x?2!n!'Rn(x).必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x不能远离x0，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.

[8]

【例5】 求?e?xdx的近似值,精确到10?5.

012分析：因为e?x的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求

2?e01?x2dx的近似值.

?x22nx4nx?1?x????(?1)??，逐项积分得 2!n!2121解：将e?x2进行泰勒展开得e1?x22n1xx4n?0edx??01dx??0xdx??02!dx???(?1)?0n！dx??

11111?1??????(?1)n???

32!5n！2n?11111111 ?1?????????

3104221613299360756001上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项Rn(x)的估计式知

|R7|?1?0.000015 75600所以

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111111?x2edx?1???????0.746836 ?03104221613299360对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求

1不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用ex的10次泰勒多项式求e的近似值，并估计误差.

分析：为求e得近似值先求f(x)=ex得10次泰勒展开式，求e得近似值即求f(1)得近似值，利用f(x)的麦克劳林展开得到f(x)的近似计算式，然后取x=1求出f(1)的近似值，即e的近似值.

解：在ex的泰勒公式中取x?1,n?10,则有

e?1?1?111?????2.718281801? 2!3!10!由于e的精确度值e?2.718281801?，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计

e?11 d?(x)11!x?1?3?6.8?108 11!求解e为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.

3.4 利用泰勒公式证明不等式

关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9].

11【例7】当x?0时，证明ex?1?x?x2?x3.

2611证明：取f?x??ex?1?x?x2?x3，x0?0，则

26f?0??0,f'?0??0,f''?0??0,f'''?x??ex?1

带入泰勒公式，其中n?3，得

e?x?13f?x??0?0?0?x，其中0???1

3!故

11当x?0时，ex?1?x?x2?x3

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4 结束语

通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.

经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.

这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.

最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.

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参考文献

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[3] 欧阳明松，徐连民.基于MATLAB的实验数据拟合[J].南昌工程学院学报，2010,08:24-28. [4] 张和平,王凯．Taylor多项式逼近函数的计算机模拟[J].高等数学研究,2011,07:113-115. [5] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（一）—广义双曲函数[J]．海南大学学报自然科学

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[6] 耿济．自然指数函数展开式的多重分割法（二）—广义三角函数[J]．海南大学学报自然科学

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[M].Cambridge: University Press, 1989.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6v1x.html