九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题1

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抛物线与存在性-1

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右

2侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．

（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；

（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

？若存在，请求出所

3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是

2

，过A（0，4）

作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、（2001?哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5、（2001?山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC． （1）求a与c的关系式；

（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）是否存在满足条件tan∠CAB?cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 6、（2001?温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k

（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；

（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

7、（2001?无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，

（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；

（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是

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否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由． 8、（2002?鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B（x2，0）（xl＜x2），且x12+x22=34． （1）求m，x1，x2的值；

（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．

9、（2002?贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

10、（2002?广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；

（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．

11、（2002?内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实数根，且a=b；

（1）试判定，△ABC的形状；

（2）当时求此抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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12、（2002?泸州）已知：抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，

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0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x﹣2（m﹣1）+m﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．

（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

13、（2002?青海）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点． （1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；

（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

S△OCB？若存

14、（2002?山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．

（1）证明：△OAB为等边三角形；

（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15、（2002?武汉）已知抛物线交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）2=12CO+1．

交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），

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（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 16、（2002?无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．

（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式． （2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

17、（2002?乌鲁木齐）已知抛物线y=x﹣x+2． （1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；

（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．

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18、（2003?北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19、（2002?浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点， （1）求这条抛物线的解析式； （2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20、（2002?浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；

（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21、（2002?漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4． （1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；

2

（2）设抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；

（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

22、（2003?长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；

（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；

（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式． 23、（2003?福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D． （1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；

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（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

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24、（2003?哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；

（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由． 25、（2003?汕头）已知抛物线y=﹣x+（m+3）x﹣（m﹣1）． （1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）； （2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；

（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）

2

26、（2003?山西）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．

（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．

（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： ＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．

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＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．

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27、（2003?武汉）已知：二次函数y=x﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 28、（2003?无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC﹣S△OBC=OA?OB） （1）求b的值；

（2）若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 29、（2003?泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F． （1）求这条抛物线和直线的解析式．

（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H． ①试用含有k的代数式表示；

②求证：．

（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由． 8

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30、（2004?长春）已知二次函数y=x﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题： （1）求△ABC的面积；

（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；

（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．

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答案与评分标准

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

2

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）首先建立平面直有坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m0）（m＞0），则有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标； （2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；

②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．

解答：解：（1）如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2， 设A（m0）（m＞0），则有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）； 若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1， m=﹣1与m＞0不合；

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∴C点不过y=x﹣1；

若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2， ∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；

（2）①∵⊙M以AB为直径， ∴M（3，50），

由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点， ∴

，

∴，

2

∴y=ax﹣7ax+10a

（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a） ∴y=a（x﹣）2﹣a；

∴抛物线顶点P（，﹣a）

∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部， ∴＜﹣a＜2，

∴﹣＜a＜﹣．

②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0； ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，

∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中， ∵DF2+DC2=CF2；

222∴3+（2﹣n）=（n+2）， ∴n=， ∴F（2，）

∴当PF∥AB时，P点纵坐标为； ∴﹣a=， ∴a=﹣；

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∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5， 抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5）， 又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；

∴Q在直线y=x﹣1下方．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

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2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右2

侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．

（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；

（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。

专题：综合题；压轴题。

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分析：（1）可根据先求出方程x﹣2x﹣3=0的两根，然后根据M，N的左右位置来确定它们的坐标．

（2）可先用交点式设出抛物线的解析式，由于抛物线过M，N，因此可将抛物线设为y=a（x2﹣2x﹣3），求∠MKN不小于90°时a的取值范围，那么可先求出∠MKN=90°时，a的值．当∠MKN=90°时，可根据射影定理求出OK的长，也就求出了a的值，进而可得出a的取值范围．（要注意的是抛物线开口向下的条件，即a＜0）． （3）当y取最大值时，那么∠NKN必为90°，可根据（2）得出的∠MKN=90°时a的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值，再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标． 解答：解：（1）由题意：x2﹣2x﹣3=0，x=3，x=﹣1

由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（﹣1，0），N（3，0）

（2）抛物线与x轴交于M（﹣1，0），N（1，0）两点，则y=a（x2﹣2x﹣3）

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抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=﹣3a＞0，K（0，﹣3a）． 当∠MKN=90°时，

∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90° ∴∠MKO=∠KNO ∵∠MOK=∠KON=90° ∴△MOK∽△KON ∴MO：KO=KO：ON，∴a2=，a=﹣

≤a＜0；

=

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是﹣

（3）当y取最大值时，a=﹣，因此抛物线的解析式为y=﹣设P点的坐标为（0，h），则有： S△MPN=?MN?|h|=2当h=当h=﹣

时，

=﹣

2

x2+

x+；

，MN=4，因此|h|=x+

x+x2+

，h=±．

：解得x=0或x=2． x+

：解得x=1+或1﹣．

时，﹣=﹣

因此P点的坐标为（0，）、（2，）、（1+，﹣）、（1﹣，﹣）． 点评：本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系以及二次函数的综合应用，（2）中求出∠MKN=90°时a的取值是解题的关键．

3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是

，过A（0，4）

作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）可根据C点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入求解即可．

（2）先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，然后可分两种情况讨论： ①当△BCD∽△BPO，那么；②当△BCD∽△PBO，则有； 根据上述两种情况中不同的对应成比例线段可求出不同的符号条件的P点坐标． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）﹣， 已知抛物线过A点，则有： a（0﹣3）2﹣=4， 解得a=

此抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣

（2）∵B（2，0）；C（3，﹣）；D（3，0） ∴BD=1，CD=，OB=2 ∵要使△BCD∽△OPB ∴只需即：

或或

2

解得：OP=或4

∴P（0，﹣）或（0，﹣4）．

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故：在y轴的负半轴上是否存在点P（0，﹣）或（0，﹣4），使△BCD∽△OPB． 点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．（2）题要根据相似三角形的对应线段的不同分类进行求解，不要漏解． 4、（2001?哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据题意即可得出A、B、C三点的坐标，可通过待定系数法求出抛物线的解析式． （2）本题的关键是求出M点的坐标，可如果设圆M与y轴的另一交点为D，那么可根据相交弦定理求出OD的长，进而可求出M点的纵坐标，同理可求出M的横坐标，得出M的坐标后可用待定系数法求出直线MA的解析式． （3）本题要分情况进行讨论：

①当EF∥CA时，△ABC∽△EBF，可根据两直线平行得出直线EF的斜率与直线AC的相同，然后根据直线EF过M点，即可求出直线EF的解析式，然后联立抛物线即可求出它们的交点P的坐标．

②当∠BFE=∠A时，△ABC∽△FBE，思路同①，可通过构建相似三角形来求E点的坐标以得出直线EF的解析式．可过A作AG⊥BC于G，过M作MH⊥AB于H，那么通过相似三角形AGC和MHE可求出E点的坐标，然后同①的方法进行求解即可． 解答：解：（1）由题意可知：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3） 可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）设y轴于圆M的另一交点为D，根据相交弦定理可得出OD=OA?OB÷OC=1 由此可求得M点的纵坐标为1 同理可求出M点的横坐标为1 ∴M的坐标为（1，1） 设过A、M点的直线解析式为y=kx+b，有 k+b=1，﹣k+b=0 ∴k=，b=

直线解析式为：y=x+

15

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（3）在（1）中的抛物线上存在点P

使△BEF与△ABC相似．

①若△BEF∽△ABC，则EF∥AC ∵直线AC为：y=3x+3

∴设直线EF为：y=3x+b1过m（1，1） ∴直线EF为：y=3x﹣2

2

点P的坐标满足y=3x﹣2，y=﹣x+2x+3 解之x1=﹣+y1=﹣+

，x2=﹣﹣，y2=﹣﹣

，﹣﹣）

所以P1（﹣+，﹣+），P2（﹣﹣②若△BEF∽△ABC，则∠ACB=∠MEH 过点A做AG⊥BC于G，有∠AGC=∠MEH ∴△ACG∽△MEH 其中AC=

，CG=

，AG=2

：

，MH=1 =1：HE ∵AG：CG=MH：HE，即2

∴HE=，E的坐标为（，0） 直线EM解析式为：y=2x﹣1 同理可得：P3（2，3），P4（﹣2，﹣5）

综上所述：P1（﹣+，﹣+），P2（﹣﹣，﹣﹣），P3（2，3），P4（﹣2，﹣5）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

2

5、（2001?山东）已知，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC． （1）求a与c的关系式；

（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）是否存在满足条件tan∠CAB?cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式中，将b消去即可得出a，c的关系式．

（2）本题可先将所给的等式进行适当变形，然后设出A、B的横坐标，用韦达定理求出待定系数的值，即可求出抛物线的解析式．

（3）根据已知的条件可知：∠CAB=∠CBA，此时OA=OB，那么抛物线关于y轴对称，此时对称轴x=0，据此可求出抛物线的解析式． 解答：解：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式可得：

，

解得b=﹣2，a=﹣c．

2

（2）由①知y=ax﹣2x﹣a，设A（x1，0），B（x2，0）． 令y=0，ax2﹣2x﹣a=0；

x1+x2=，x1x2=﹣1，

∴A在x负半轴上，B在x正半轴上 ∴OA=﹣x1，OB=x2

=

=

===

∴4=

2

即a=3， ∴a=±

，

，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣或y=﹣x2﹣2x+（3）∵tan∠CAB?cot∠CBA=1， ∴OA=OB，

由于A、B分别在原点两侧，

因此A、B关于原点对称，即抛物线的对称轴为y轴，

．

∴x==0，显然不成立， 因此不存在这样的抛物线．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识． 6、（2001?温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k

（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；

（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，

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试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，也就是说当y=0时，得出的关于x的二元一次方程只有一个解，即△=0，可据此求出k的值． （2）要分两种情况进行讨论：

①当∠CAO=∠BCO时，那么∠ACB=90°，根据射影定理可得出OC2=OA?OB、OC是C的纵坐标的绝对值，而OA、OB分别是（1）中方程的两个根的绝对值，那么可据此求出k的取值． ②当∠ACO=∠BCO时，此时三角形AOC与BOC全等，那么对称轴就是x=0，据此可求出k的值． 解答：解（1）由题意可知；当y=0时，方程x2﹣（k+1）x+k=0，只有一个解， 即：△=（k+1）2﹣4k=（k﹣1）2=0， ∴k=1，

即：当k=1时，抛物线与x轴只有一个公共点．

（2）分两种情况进行讨论： ①当∠CAO=∠BCO时．

=，

即CO2=AO?BO，

由于CO=k，AO?BO=﹣k， k2=﹣k，k（k+1）=0， ∴k=0，k=﹣1．

当k=0时，C点与B点或A点重合， 因此不合题意舍去． ②当∠ACO=∠BCO时，

∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，

因此△AOC≌△BOC，那么y轴就是抛物线的对称轴，

即=0，k=﹣1． 综上所述，当k=﹣1时，△AOC与△COB相似．

点评：本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系，根据根与系数的关系来求解是本题的基本思路．注意（2）中要分类进行讨论．

7、（2001?无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点

2

的抛物线y=ax+bx+c的顶点为D，

（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；

（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。

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分析：（1）根据直线解析式求出C、E两点坐标，再求出定点D坐标，根据△CDE恰为等边三角形的条件便可求出b的值；

（2）先求出A点坐标，将A点坐标代入抛物线的解析式，求出m值，然后检验便可知道不存在m使得∠AEC=90°． 解答：解：（1）直线y=﹣当y=0时，x=∴C（

x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，

m，当x=0时，y=m，

m，0）E（0，m）

∴CE==2m．

2

由题意抛物线y=ax+bx+c过E点可得：m=c， 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣

，

）， m，2m）， 由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（

∴解得a=﹣

，b=

；

（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+m，

A（x1，0）为抛物线交与x 轴的交点，且使∠AEC=90°， 故A点坐标为A（﹣

m，0），

x2+

x+m，

将A点坐标代入抛物线解析式为y=﹣

2

可得0=﹣（﹣）+（﹣）+m，

解得m=0，不符合题意， 故不存在m使得∠AEC=90°．

点评：本题是二次函数的综合题，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题． 8、（2002?鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣

22

（x2，0）（xl＜x2），且x1+x2=34．

与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B

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（1）求m，x1，x2的值；

（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）本题要根据韦达定理来求解，先表示出x1+x2和x1?x2的值，然后代入x12+x22=34中即可求出m的值，进而可求出x1，x2的值．

（2）如果△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直线BC的斜率为，据此可求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出C点的坐标，然后判断AC是否等于BC或AB是否等于BC即可．

解答：解：（1）令y=0，则有：0=mx2﹣2mx+4m﹣∴x1+x2=8，x1?x2=

2

2

2

；

=34

∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=64﹣2×解得m=∴y=

2

x+5

x2﹣

∴x﹣x+5=0， 解得x1=3，x2=5

（2）假设存在符合条件的C点，那么∠CBA=30°， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 则k=tan30°=

，已知B（5，0）

∴y=x﹣

联立抛物线的解析式有：

解得：，

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∴存在符合条件的C点，坐标为（4，﹣）．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用、函数图象交点以及等腰三角形的判定等知识点．

9、（2002?贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题；压轴题。 分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴方程，结合AB的长度即可求出A、B的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式易求得D点坐标，可将四边形DACB的面积分成△DAB和△ABC两部分来求；

（3）此题可通过构建相似三角形求解，过P作PF⊥x轴于F，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，若∠PAC被x轴平分，那么△APF∽△ACE，根据相似三角形所得到的比例线段即可求出P点的坐标． 解答：解：

（1）根据题意，得：OE=4，AE=BE=3 ∴OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0） 设y=a（x﹣1）（x﹣7） ∵x=4，y=﹣

，∴a=

）

所求解析式为y=（x﹣1）（x﹣7）（或y=（2） 连接DA、AC、BC、DB 当x=0时，y=

，∴D（0，

）

∴S四边形DACB=S△DAB+S△ACB== （3）假设存在点P（x，y），使x轴平分∠PAC，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F 则△APF∽△ACE ∴

，即：

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3（）=∴x2﹣11x+10=0，x1=10，x2=1 当x=10时，y=

当x=1时，y=0（不合题意，舍去） ∴P（10，3

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质．

2

10、（2002?广西）已知抛物线y=﹣x+2mx+4． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；

（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。

分析：（1）将二次函数的各系数代入顶点坐标公式（﹣，

）解答；

（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0），根据函数与方程的关系，将+=转化为一元二次方程根与系数的关系解答；

（3）假设P点存在，设出P点坐标的参数表达式，根据勾股定理解出P点坐标，则可证明存在点P． 2

解答：解：（1）根据二次函数的顶点坐标公式，抛物线的顶点坐标为（m，4+m）． （2）设A、B两点坐标为（x1，0）（x2，0）， 因为所以

++

=， =，

22

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配方得

=，

=，根据根与系数的关系，=，则

解得m=0，

则函数解析式为y=﹣x2+4； 则其顶点坐标为（0，4），与x轴交点为（﹣2，0），（2，0）．如图所示

（3） 设P（x，﹣x2+4）， 又因为A（﹣2，0），B（2，0），根据勾股定理（两点间距离公式）

222

（x+2）+（4﹣x）+（x﹣2）2+（4﹣x2）=42， 解得x=±

或x=±2（与A、B重合，不能构成三角形，舍去）．

P点坐标为（±，0）．

点评：此题重点考查了一元二次方程和二次函数之间的关系．通过将二次函数转化为一元二次方程，可以根据根与系数的关系解题，尤其注意（3）为开放性题目，需要进行猜想和证明． 11、（2002?内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC

22

三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x）+2bx+c（1+x）=0有两个相等实数根，且a=b；

（1）试判定，△ABC的形状；

（2）当时求此抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

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专题：综合题。 分析：（1）可将题中给出的方程进行整理，已知了方程有两个相同的实数根，那么方程的△=0，然后联立a=b，即可判断出三角形ABC的形状．

（2）可先根据直线AQ的解析式求出A、Q的坐标，进而可求出线段AQ的长，根据AB、AQ的比例关系式，可求出AB的长，即可得出B点坐标，然后根据已知的A、B、Q的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）可先求出四边形ACBQ的面积，然后根据三角形ABP和四边形ACBQ面积相等，即可得出三角形ABP的面积，AB长为定值，可求出P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标． 解答：解：（1）方程整理得（c﹣a）x2+2bx+（c+a）=0； 由方程有两个相等的实数根 得△=0

即

即△ABC为等腰直角三角形．

（2）在y=﹣x+3中，令x=0，则y=3；令y=0，则x=3； ∴A（3，0），Q（0，3）； 设B点坐标为（x，0）； ∴AB=3﹣x

在Rt△AOQ中，AQ=∵

，

=3

，

∴， 解之得：x=1， ∴B（1，0），

∵抛物线过A、B、Q三点，则有：

，

解得

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（3）假设抛物线上有点P，坐标为（x，y）； ∴S△ABP=×AB×|y|=|y|； S四边形ACBQ=S△ABC+S△ABQ

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=×2×1+×2×3=4

由S△ABP=S四边形ACBQ，得|y|=4； ∴y=±4；

当y=4时，x2﹣4x+3=4；解得x=2+，x=2﹣；

2

当y=﹣4时，x﹣4x+3=﹣4，△＜0，方程无解．

∴抛物线上存在点P的，其坐标为（2+，4）或（2﹣，4）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识． 12、（2002?泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．

（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。

22

分析：（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x1+x2=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．

（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

2解答：解：（1）由题意得：x1+x2=2（m﹣1），x1x2=m﹣7． ∴x12+x22=（x1+x2）﹣2x1x2=（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10 化简，得m2﹣4m+4=0，m=2．

且当m=2时，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合题意． ∴原方程可写成：x2﹣2x﹣3=0 ∵x1＜x2， ∴x1=﹣1，x2=3； ∴A（﹣1，0），B（3，0）． （2）已知：A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的对称轴为x=1，

因此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则有： ﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；

2

∴y=（x﹣3）（x+1）=x﹣2x﹣3． （3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA?OC+（OC+MN）?ON+NB?MN

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=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．

假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18， 即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18， ∴y0=±9；

当y0=9时，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+

2

当y0=﹣9时，x﹣2x﹣3=﹣9，此方程无实数根． ∴存在符合条件的P点，且坐标为（1﹣

；

，9），（1+，9）．

点评：主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 13、（2002?青海）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点． （1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；

（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

S△OCB？若存

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）分别将A、B的坐标代入两个函数中，联立这四个式子可求得两函数的解析式． （2）可根据抛物线的解析式设出D点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标），然

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后根据题中给出关于面积的等量关系，可求得D点的横坐标，进而可求出D的坐标．

（另一种解法，根据等底三角形面积比等于高的比，可求出D点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得D的坐标．）

解答：解：（1）由题意得：，

解得

所求一次函数、二次函数的解析式分别为：y=﹣x+4；y=﹣2x2+5x． （2）依题意，

有：|OC|?（﹣2x2+5x）=|OC|×2×即x2﹣x+

=0．

，

解得x1=，x2=， 代入y=﹣2x2+5x中 得：y1=，y2=．

满足条件的D存在，坐标为D（，）或（，）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．

14、（2002?山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．

（1）证明：△OAB为等边三角形；

（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。

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分析：（1）根据直线OA的斜率不难得到∠AOB=60°，根据抛物线的对称性可知AB=OA，由此得证．

（2）由于抛物线的开口方向不确定，因此分a＞0和a＜0两种情况求解．以a＜0为例说明： 可设三角形AOB的内心为I，过A作AC⊥OB，则I必在AC上，连接IO，在构建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的长，也就能求出B点和A点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（a＞0时，解法完全相同）．

（3）如果△POB是直角三角形，那么如果过P作x轴的垂线，根据射影定理即可得出P点纵坐标绝对值的平方等于P点横坐标绝对值和P、B两点横坐标差的绝对值的乘积．然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标． 解答：解：（1）作AC⊥OB于点C； ∵点A在直线y=

x上，设A（x，

x）．

在直角三角形OAC中，tan∠AOC===， ∴∠AOC=60°

由抛物线的对称性可知：OA=AB， ∴△AOB为等边三角形．

（2）解：当a＜0时，设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°，在直角三角形IOC中， ∵IC=1，OC=

．

=

，

∴抛物线的对称轴x=﹣∴a=﹣1，b=2

．

∴抛物线的解析式为y=﹣x+2

2

x．

x．

当a＞0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x2+2

（3）易知：抛物线与x轴的两交点为O（0，0），B（﹣，0）． 且顶点A（﹣∴﹣=

，﹣）， ）在直线y=

x上，

（﹣

解得b=2∴B（﹣

，b=0（舍去）． ，0）

x．

抛物线的解析式为y=ax2+2

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假设存在符合条件的点P（m，n）．

过点P做PD⊥OB于D，则根据射影定理有： PD2=OD?BD； 由题意知：y=ax2+2

x，

∴，

解得：，

，

∴存在符合条件的P点，且坐标为：P（，﹣）或（，﹣）．．

点评：本题是二次函数综合题，考查了等边三角形的判定、二次函数解析式的确定、三角形内心等知识点．综合性强，难度较大．

15、（2002?武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），

2交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）=12CO+1． （1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。

2

分析：（1）可根据（AO+OB）=12CO+1以及一元二次方程根与系数的关系来求出m的值，进而可确定出抛物线的解析式；

（2）本题的关键是找出∠APB为直角时，P点的位置，根据（1）的抛物线不难得出A，B，C三点的坐标为（﹣1，0）（4，0） （0，﹣2）．如果∠APB为直角，那么点P必为以AB为直径的圆与抛物线的交点．据此可判断出∠APB时，P点横坐标的范围．

解答：解：（1）抛物线y=x﹣mx﹣2m交x轴于A（a，0）和B（b，0）， 所以a+b=3m，a?b=﹣4m，

∵抛物线开口向上，与X轴有两个交点，

∴C点在Y轴下半轴上，所以点C（0，﹣2m），﹣2m＜0，所以m＞0， AO+OB=|a﹣b|，OC=|﹣2m|=2m，

所以（AO+OB）2=（a﹣b）2=（a+b）﹣4ab=9m2+16m， 12OC+1=24m+1，

2

29

江夏区第一初级中学教学资料 ∴9m2+16m=24m+1， 9m2﹣8m﹣1=0，

m=1或m=﹣＜0，舍去， ∴m=1，

即抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；

（2）易知：A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，﹣2）， 连接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°，

设C关于抛物线对称轴的对称点为C′， 那么C′坐标为（3，﹣2），

根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°， 因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，

根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形， 如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角， 当﹣1＜x＜0或3＜x＜4时，∠APB为钝角．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定等知识点．要注意的是（2）中结合圆周角的相关知识来理解问题可使问题简化． 16、（2002?无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．

（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式． （2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）本题可通过构建直角三角形求解，过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长，即可得出AB的长，已知了BE的长度，可用勾股定理求出AE

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的长；

AE长的另一种表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE，然后联立两个AE的表达式即可求出k的值．进而可求出直线的解析式和抛物线的解析式． （2）已知了C点坐标，关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数．可用韦达定理来求解．已知了三角形ABC的外接圆（设圆心为P）截y轴的弦长为5，那么OD=1，根据相交弦定理可求出OA?OB的值，即可得出韦达定理中两根积的值，即可求出二次项系数的值．连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F．

根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，据此可求出AE和AB的长，即可得出A、B横坐标差的绝对值，由此可求出一次项系数的值，即可确定抛物线的解析式． 解答：解：（1）易知：A（，0）， 因此OA=，OB=

，B（﹣

，0），

∴AB=，

过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，在直角三角形ADE中， AE==．

根据直线AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k， 因此AE=

=

，即：

=

解得k=（负值舍去）．

， ∴直线的解析式为y=x﹣4． ∴A（3，0），B（1，0）

设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1）， 由于抛物线过C（0，﹣4）， 则有：a（0﹣3）（0+1）=﹣4，a=，

∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣4．

（2）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx﹣4．

设△ABC的外接圆圆心为P，连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F． ∵圆P截y轴所得弦长为5，且过点A、B及C（0，﹣4）．

2

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∴圆P过点D（0，1∴P点在x轴下方，

∴CF=DF=，PE=OF=4﹣=． ∵∠APE=∠APB=∠ACB， ∴tan∠APE==tan∠ACB=2， ∴AE=2PE=3， ∴AB=2AE=6，

∵OA?OB=OC?OD，即﹣x1x2=4．

∴=4，a=1．

∴抛物线的解析式为y=x2+bx﹣4． ∵AB=6， ∴x1﹣x2=6．

∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2+16=36． ∴b=±2

．

2）

∴存在这样的抛物线y=x±2x﹣4．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，综合考查了一次函数的应用、三角形的外接圆等知识点，综合性强，难度较大．

17、（2002?乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2． （1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；

（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的对称轴方程和顶点坐标． （2）可通过构建相似三角形将

和

进行适当转换，分别过A、P、B作x轴的垂线，设垂足为A′、P′、B′；那么和就可转换成P、A的横坐标比以及P、B的横坐标比．由于A、B、P均为函数的交点，因此可联立相关函数，根据韦达定理进行求解．

（3）可根据直线y=kx的解析式，用A、B的横坐标表示出各自的纵坐标，然后根据韦达定理和两点的纵坐标和为4求出k的值，由于两函数有两个不同的交点，因此两函数联立的方程△＞0，可得出一个k的取值范围，然后根据这个范围判定k的值是否符合要求即可． 解答：解：（1）抛物线y=x﹣x+2=（x﹣1）+， 所以抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，） 2

2

（2）由，

2

得x﹣2（k+1）x+4=0． 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则 x1+x2=2（k+1），x1x2=4；

由得x=（k＞0）．

，

即P点的横坐标xP=；

作AA′⊥x轴于A′，PP′⊥x轴于P′，BB′⊥x轴于B′，于是： +

=

+

=

=

=

?

=2．

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（3）不存在． 因为A（x1，y1）、B（x2、y2）在直线y=kx上，由题意，得 y1+y2=kx1+kx2=k（x1+x2）=k?2（k+1）=4； 所以k2+k﹣2=0．

解得k=1，k=﹣2（舍去）

当k=1时，方程x2﹣2（k+1）x+4=0可化为x2﹣4x+4=0有两个相等的实数根，不同题意舍去 故适合条件的k值不存在．

点评：本题主要考查了函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、函数图象交点等知识． 18、（2003?北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x=﹣2，由此可求出B点的坐标． （2）可将A点坐标代入抛物线的解析式中，求出a与t的关系式，然后将抛物线中的t用a替换掉，根据这个抛物线的解析式可表示出C点的坐标，然后根据梯形的面积求出a的值，即可得出抛物线的解析式．

（3）可根据E点横坐标与纵坐标的比例关系以及所处的象限设出E点的坐标，然后将它代入抛物线的解析式中即可求出E点的坐标．要使PA+EP最小，根据轴对称图象的性质和两点间线段最短可知：如果去A关于抛物线对称轴的对称点B，连接BE，那么BE与抛物线对称轴的交点就是P点的位置，可先求出直线BE的解析式然后联立抛物线的对称轴方程即可求出P的坐标． 解答：解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2， ∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），

∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）． （2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） ∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0

∴t=3a

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∴y=ax2+4ax+3a ∴D（0，3a）

∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上， ∵C（﹣4，3a） ∴AB=2，CD=4

∵梯形ABCD的面积为9 ∴（AB+CD）?OD=9

∴（2+4）|3a|=912（AB+CD）?OD=9

∴a±1

∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4ax﹣3． （3）设点E坐标为（x0，y0）， 依题意，x0＜0，y0＜0，且∴y0=﹣x0

∴y0=x02+4x0+3 ①设点E在抛物线y=x+4x+3上，

2

解方程组

得， ∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧

∴点E坐标为（，）．

设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小． ∵AE长为定值，

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∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小

∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0）

∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点 设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n

∴，

解得

∴直线BE的解析式为y=﹣x+ ∴把x=﹣2代入上式，得y= ∴点P坐标为（﹣2，）

2

②设点E在抛物线y=﹣x﹣4x﹣3上 ∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3，

解方程组

消去y0，得∴△＜0

∴此方程无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图象面积的求法等知识点．综合性强，难度较大． 19、（2002?浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点， （1）求这条抛物线的解析式；

（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式． （2）由于点A在x轴上，若∠AOP=45°，那么P点必在第二或第三象限的角平分线上，即P点的横、纵坐标的绝对值相同，可据此设出点P的坐标，然后代入抛物线的解析式中进行求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），B（1，0）， ∴可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣1）， 把点C（0，2）代入上式得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．

（2）存在．设P点坐标为（m，n）， ∵∠AOP=45°，A（﹣2，0）， ∴m＜0，且n=m或n=﹣m， 当m=﹣m2﹣m+2；

解得m1=﹣1+（舍去），m2=﹣1﹣当﹣m=﹣m2﹣m+2； 解得m1=

（舍去），m2=﹣

；

，

∴存在符合题意的点P，其坐标为P（﹣1﹣，﹣1﹣）或P（﹣）．

点评：此题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法以及函数图象上点的坐标意义等知识，属于基础知识，难度不大． 20、（2002?浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；

（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）根据C点坐标，可确定m的值，从而得到抛物线的解析式，令函数解析式的y=0，即可求得A、B的坐标．

（2）根据函数图象可知，显然∠PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三点为顶点的三角形与△

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AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即∠PAQ≠∠CAO，所以只考虑∠PAQ=∠ACO的情况，过A作∠PAQ=∠ACQ，交抛物线于点P，然后分两种情况：

①∠PQA=∠COA=90°，此时PQ⊥x轴，可设出点Q的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点P的坐标，进而根据相似三角形的比例线段求出点Q、P的坐标；

②∠APQ=∠COA=90°，设出点Q的坐标，然后表示出PA的长，根据相似三角形的比例线段即可求出此时点Q的坐标．

2

解答：解：（1）根据题意，把点C（0，3）代入y=﹣x+2x+m， 解得m=3，

2

即二次根式的解析式为y=﹣x+2x+3， 即﹣x2+2x+3=0， 解得x1=﹣1，x2=3，

∴点A，点B的坐标分别是（﹣1，0），（3，0）．

（2）假设存在符合题意的点P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO； ∵若PAQ=∠CAO，则点P与点C重合， 点Q与点O重合，

∴△PAQ≌△CAO，不合题意；

∵若∠PAQ=∠COA=90°，显然P不在抛物线上， 过A作AP，使∠PAO=∠ACO且与抛物线交于点P， ①若过点P作PQ1⊥x轴交x轴于Q1点， 设Q1（x1，0），P（x1，y1），

∵∠CQ1A=∠AOC，则△PQ1A∽△AOC， ∴即

，

， 解得x1=，代入抛物线的解析式中， 得y1=

，

∴Q1（，P（，存在△PQ1A∽△AOC； ②由①所得点P作PQ2⊥AP交x轴于Q2， 设Q2（x2，0）；

∵∠APQ2∠COA，则△Q2PA∽△AOC，

∴∴Q2（

，=，．

，0），存在△PQ2A∽△AOC；

，Q2（

，0），P

综上所述，存在符合条件的相似三角形，且Q、P的坐标为：Q1（

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（．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识．（3）题中，应根据相似三角形的不同对应顶点分类讨论，这是此题的难点． 21、（2002?漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4． （1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；

2

（2）设抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；

（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）已知了方程的两根，用韦达定理即可求出b、c的值．

（2）已知了D点的坐标即可求出OD的长，也就能求出AD、BD的长，然后根据AD?BD=10可得出m的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其与y轴的交点． （3）如果PC=DP，那么P点必在线段CD的垂直平分线上，设这条垂直平分线为l，那么P点必为直线l与抛物线的交点，由此可求出P点的坐标． 解答：解：（1）一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4； ∴m+4=b，4m=﹣c， ∴b=m+4，c=﹣4m．

（2）由（1）知抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴两个交点的坐标为（m，0）（4，0）； ∵AD?BD=10， ∴?∵0＜m＜4，

=10

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∴m=1

2

∴y=﹣x+5x﹣4． 令x=0， ∴y=﹣4

∴C（0，﹣4）．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4，点C的坐标（0，﹣4）． （3）要使得PC=PD，P点必在CD的垂直平分线l上； ∴直线l是y=﹣3

由，

解得，

∴抛物线上存在P点，使得PC=PD，且P点坐标为（，﹣3）或（，﹣3）． 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．

22、（2003?长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；

（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；

（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．

考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据抛物线对称轴和顶点的公式即可得出本题的结论． （2）根据（1）得出的顶点坐标（k，

k），可得出无论k取什么值，横坐标和纵坐标的比例

关系是不变的，因此抛物线的顶点在正比例函数的图象上，且斜率为．

（3）不难得出OA：OB正好是两圆的半径比，因此可通过求两圆半径的比例关系来求OA，OB的比例关系，如图，过O1作O2B的垂线，那么O2H就是两圆的半径差，O1O2是两圆的半径和，可根据∠O2O1H的度数求出两圆的半径的比例关系，即可得出OA，OB的比例关系．

（4）由于直线L1截的线段都相等，因此它必与（2）中求出的正比例的解析式平行，即斜率相等，要求直线L1的解析式，需知道抛物线与y轴的交点坐标即b的值．为了简便，可设直线L1

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