09 第九编 解析几何（共67页）

第九编 解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为，则?的范围为 . ?+45°

答案 0°＜?＜135°

2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 答案 1

4.已知直线l的倾斜角为?，且0°≤?＜135°，则直线l的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）

5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-答案 -

基础自测

2的直线垂直，则实数a的值为 . 32 3????例1 若?∈?,?，则直线2xcos?+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .

?62??5??答案 ?,??

?6?例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.

解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时，l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;

2分

当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1:y=-a1x-3,l2:y=x-(a+1), 21?a1?a???l1∥l2??21?a，解得a=-1, ??3??(a?1)? 5

分

综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0， 由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0, ?a(a?1)?1?2?0∴l1∥l2?? ?2?a(a?1)?1?6?0? 6

2分

4

分

2??a?a?2?0???a=-1,

2?a(a?1)?6? 5

分

故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直，故a=1不成立. 分

当a≠1时，l1:y=-l2:y=

ax-3, 2 6

8

1x-(a+1), 1?a

12分

2?a?1由???·=-1?a=.

3?2?1?a

14分

方法二 由A1A2+B1B2=0， 得a+2(a-1)=0?a=

14分

2. 3

例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：解 由

y?3的最大值与最小值. x?2y?3的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与x?2曲线段AB上任一

点（x,y)的直线的斜率k, 如图可知：kPA≤k≤kPB,

由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴故

4≤k≤8， 3y?34的最大值为8，最小值为. x?23

1.直线xcos?+3y+2=0的倾斜角的取值范围是 .

????5??答案 ?0,???,??

?6??6?2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l1与l2相交；

当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为 k1=-3?m2，k2=-，

45?m5?3m8，b2=. 45?m它们在y轴上的截距分别为b1=（1）由k1≠k2,得-m≠-7且m≠-1.

3?m2≠-，

45?m∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.

2?3?m?????k1?k2,?45?m（2）由?,得?，m=-7.

?b1?b2,?5?3m?8?5?m?4∴当m=-7时，l1与l2平行. （3）由k1k2=-1, 得-3?m?132?·. ???=-1，m=-43?5?m?∴当m=-

13时，l1与l2垂直. 3y的最大值为 . x3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么

答案

3

一、填空题

1.直线xcos?+y-1=0 (?∈R)的倾斜角的范围是 .

????3?答案 ?0,????,??

?4??4?2.（2009·姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为?1,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为?2,且

?2=?1+90°,则m的值为 . 答案 -2

3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .

??????答案 ?0,???,??

?4??2?4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 . 答案 -2

5.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 . 答案 -

1 36.（2008·浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= . 答案 1+2

7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）

8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 . 答案

1 3二、解答题

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.

解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点. kAP=则-∴-?1?1?1?23=-2，kAQ==， 0?10?22131≥或-≤-2， m2m21≤m≤且m≠0. 32又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点， ∴所求m的取值范围是-

21≤m≤. 32方法二 过P、Q两点的直线方程为 y-1=

2?114(x+1),即y=x+, 2?133代入x+my+m=0, 整理，得x=-由已知-1≤-解得-7m. m?37m≤2, m?321≤m≤. 3210.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得： （1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合. 解 （1）由已知1×3≠m(m-2), 即m2-2m-3≠0, 解得m≠-1且m≠3.

故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交. （2）当1·（m-2）+m·3=0，即m=

1时，l1⊥l2. 2(3)当

1m6=≠,即m=-1时，l1∥l2. m?232m1m6==， m?232m（4）当

即m=3时，l1与l2重合.

11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.

解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB·kBC=0≠-1，

即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC，∴

y?3=0，即y=3. x此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为（3，3）. ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD， kAD=

y?3y，kCD=. xx?3y?3·3=-1. x由于AD⊥AB，∴又AB∥CD，∴

y=3. x?318?x?,??5解上述两式可得?

?y?9,?5?此时AD与BC不平行.

?189?故所求点D的坐标为?,?,

?55??189?综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或?,?.

?55?12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程；

??3?1,3?1?，求直线AB的倾斜角?的取值范围. （2）已知实数m∈?????3?解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1, 当m≠-1时，直线AB的方程为y-2=（2）①当m=-1时，?=

1(x+1). m?1?; 2

?3?②当m≠-1时，m+1∈??,0??0,3，

?3????3?1∈（-∞，-3］∪?,???，

?m?1??3???∴k=

??????2??∴?∈?,???,?.

?62??23???2??综合①②知，直线AB的倾斜角?∈?,?.

?63?

§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式

基础自测

①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示

②经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程

xy??1表示 ab1.下列四个命题中真命题的序号是 .

④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 答案 ②

2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为 . 答案 x+y-5=0

3.（2008·全国Ⅱ文）原点到直线x+2y-5=0的距离为 . 答案

5

4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 . 答案 2x+y=0

5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0

例1 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=

2x，即2x-3y=0. 3xy??1， ab若a≠0，则设l的方程为

32∵l过点（3，2），∴??1，

aa∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,

综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3),

令y=0，得x=3-由已知3-

2,令x=0,得y=2-3k, k22=2-3k，解得k=-1或k=, k3∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=

2(x-3), 3即x+y-5=0或2x-3y=0.

（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为?， 则所求直线的倾斜角为2?. ∵tan?=3,∴tan2?=

2tan?1?tan2?=-

3. 4又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-即3x+4y+15=0.

例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 解 方法一 设直线的方程为由已知可得

21??1. abxy??1 (a＞2,b＞1), ab3(x+1), 4（1）∵2∴S△AOB=当且仅当（2）由

2121

ab≥8. ?≤?=1，∴

abab1ab≥4. 2xy211==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为?=1,即x+2y-4=0.

42ab221+=1,得ab-a-2b=0, ab变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB|

=(2?a)2?(1?0)2·(2?0)2?(1?b)2

2=[(2?a)2?1]·[( 1?b)?4]

≥2(a?2)·4( b?1). 当且仅当a-2=1,b-1=2,

即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0.

方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于

1??A?2?,0?、B（0，1-2k）.

k??（1）S△AOB==≥

1?1??2??（1-2k） 2?k?1?1?×?4?(?4k)?(?)? 2?k?1（4+4）=4. 2111,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. k22当且仅当-4k=-

1（2）|PA|·|PB|=()2?1k=

4k24·?4 k2

?4k2?8≥4,

当且仅当

4k2=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.

例3 （14分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

解 方法一 若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9），

截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线l的斜率存在时， 则设直线l的方程为y=k(x-3)+1, 分别与直线l1,l2的方程联立，

4分

?y?k(x?3)?1由?, ?x?y?1?0?3k?21?4k?解得A?,?.

?k?1k?1?

8分

?y?k(x?3)?1?3k?71?9k?由?,解得B?，?,

x?y?6?0k?1k?1???由两点间的距离公式，得

?3k?23k?7??1?4k1?9k?????+??=25， k?1??k?1k?1??k?122解得k=0,即所求直线方程为y=1.

12分 14分

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1. 则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25

方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),

①

②

12分

6分

?x1?x2?5?x1?x2?0联立①②可得?或?,

y?y?0y?y?51212??由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.

14分

例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.

?y?2x?3解 方法一 由?

y?x?1?知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点（1，2），

由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 k?2?2k?11?k22=

2?2?32?(?1)22，

解得k=

1(k=2舍去)， 2∴直线l2的方程为x-2y=0.

方法二 设所求直线上一点P（x,y）,

则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点

x?x0y?y0P2???2,2??在直线l上. ????y0?y?x?x?1??1?x0?y?1?∴?0，变形得?,

y?x?1y?yx?x0??00??1?2?2代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3, 整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=的方程.

解 （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中， 得k=-

3x,求直线l1,l3422，此时，直线方程为y=-x, 55即2x+5y=0.

②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为

yx?=1， 2aa

将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-

1， 2此时，直线方程为x+2y+1=0.

综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. （2）设直线l2的倾斜角为?,则tan?=

45?1, 3353. 4于是tan

?1?cos?==2sin?1?32tan?4?24, ?tan2?=

71?tan2?1?(3)242?所以所求直线l1的方程为y-6=即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=即24x-7y-150=0.

1(x-8), 324(x-8), 72.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程. 解 方法一 设直线l的方程为∴A(a,0),B(0,b),

?ab?24,?a?6,?∴?32解得?

??1.b?4.?ab??xy??1（a＞0,b＞0）, ab∴所求的直线方程为即2x+3y-12=0.

xy?=1, 64方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-2, k令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.

22??∴?3??(2-3k)=24.解得k=-.

3k??∴所求直线方程为y-2=-即2x+3y-12=0.

3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:

75. 102(x-3). 3①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的2∶5.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.

1;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2解 (1)l2即为2x-y-

1=0, 2∴l1与l2的距离d=

121a?(?)222?(?1)2?75, 10a?∴

5=

7517,∴a?=, 1022∵a＞0,∴a=3.

(2)假设存在这样的P点.

设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，

且

C?35=

12C?512，即C=

1311或C=， 26∴2x0-y0+

1311=0或2x0-y0+=0； 26若P点满足条件③，由点到直线的距离公式即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；

2x0?y0?35=

25×

x0?y0?12，

由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意. 13??0?2x0?y0?联立方程?， 2?x0?2y0?4?0??x0??3,?解得?1 (舍去).

?y0?2,?1?11?x0???2x?y0??0,?9由?0解得? 637?x0?2y0?4?0,?y??0?18??137?∴假设成立，P?,?即为同时满足三个条件的点.

?918?4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

?x?2y?5?0,解 方法一 由?

?3x?2y?7?0.?x??1,得?

y?2.?∴反射点M的坐标为（-1,2）.

又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点

P′(x0,y0)，由PP′⊥l

可知,kPP′=-

y02=. 3x0?5?x0?5y0?而PP′的中点Q的坐标为??2,2??,

??x?5yQ点在l上，∴3·0-2·0+7=0.

22?y0217?x0??,?x?5??3,???13由?0得?

323?(x?5)?y?7?0.?y??.000??13??2根据直线的两点式方程可得l的方程为 29x-2y+33=0.

方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y), 则y0?yx0?x??2, 3?x?x0y?y0又PP′的中点Q??2,2?∴3×

???在l上， ?x?x0y?y0-2×+7=0,

22?y0?y2?x?x??3?由?0

x?x?3?0?(y?y0)?7?0?2?可得P点的坐标为 x0=

?5x?12y?4212x?5y?28，y0=，

1313代入方程x-2y+5=0中， 化简得29x-2y+33=0,

即为所求反射光线所在的直线方程.

一、填空题

1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为 . 答案 2

2.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是 . 答案 x+3y-15=0

3.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是 . 答案 -

2 34.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 .

答案 x+2y-3=0

5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 . 答案 2x+y-6=0

6.点（1，cos?）到直线xsin?+ycos?-1=0的距离是答案 30°或150°

1(0°≤?≤180°)，那么?= . 4???7.设l1的倾斜角为?，?∈?0,?，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转?角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕

?2?P沿逆时针方向旋转答案 2x-y+8=0

8.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 . 答案 (1,+∞) 二、解答题

9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为

?-?角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为 . 21. 64-3，3k+4， k解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-由已知，得（3k+4）（解得k1=-4+3）=±6， k28或k2=-. 33直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.

∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P到Q的长度.

解 （1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1. ∴QQ′所在直线方程为y-1=1·（x-1） 即x-y=0.

1x+b,它在x轴上的截距是-6b, 6?x?y?1?0,由?

x?y?0,??11?解得l与QQ′的交点M的坐标为??,??.

?22?又∵M为QQ′的中点， ?1?x'1????22由此得?.

'1?y1????2?2'??x??2,解之得?∴Q′（-2，-2）.

'??y??2.设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线. 则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射线方程为 y?2x?2，即5x-4y+2=0. ?3?22?2(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ′|. ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| =(3?2)2?(2?2)2=41, 即这条光线从P到Q的长度是41.

11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.

解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.

?2x?y?2?0由?得正方形的中心坐标P（-1，0），

x?y?1?0?由点P到两直线l,l1的距离相等， 则

?1?51?322??1?c1?322,

得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴

?3?a3?122=

?1?51?322，得a=9或a=-3,

∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.

解 方法一 设点A（x，y）在l1上，

?x?xB?3??2由题意知?，∴点B（6-x，-y），

y?yB??0??2?2x?y?2?0解方程组?，

?(6?x)?(?y)?3?011?x???3得?，∴k=

16?y??3?16?03?8. 11?33∴所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),

3k?2?x?A??y?k(x?3)?k?2则?,解得?,

4k?2x?y?2?0?y?A?k?2?3k?3?

xB???y?k(x?3)?k?1

由?,解得?.

?6kx?y?3?0??y?B?k?1?∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA+yB=0，即

4k?6k+=0， k?2k?1∴k2-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，xA=1,xB=-3, 此时

xA?xB1?3??3,∴k=0舍去， 22∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0.

§9.3 圆的方程

基础自测

2 31.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 . 答案 -2＜a＜

2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是 .

1??答案 ???,?

4??3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 . 答案 （x-1）2+(y-1)2=4

4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x-2)2+(y+1)2=9

5.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二

例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 . 答案 x2+y2-4x=0

例2 （14分）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.

解 方法一 将x=3-2y, 代入方程x2+y2+x-6y+m=0, 得5y2-20y+12+m=0.

4分

设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： y1+y2=4,y1y2= 分

而x1=3-2y1,x2=3-2y2. ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. 6分

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.

8

12?m. 5

5?1?∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为??,3?，半径r=.

2?2?

14分

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， ∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2.

1??∴O1M的方程为:y-3=2?x??,

2??即：y=2x+4.

?y?2x?4由方程组?.

x?2y?3?0?解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.

6分

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2. 在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.

1?(?6)2?4m?1?2

??1∴?. ?+（3-2）+5=

4?2?2∴m=3.∴半径为

14分

5?1?,圆心为??,3?. 2?2?

方法三 设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+?(x+2y-3)=0. 由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上. ∴m-3?=0，即m=3?.

3分

∴圆的方程可化为

x2+y2+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0 即x2+(1+?)x+y2+2(?-3)y=0. 分

6

?1??2(3??)?∴圆心M??,?，

22??分

又圆在PQ上. ∴-

7

1??+2（3-?）-3=0，∴?=1，∴m=3. 2

12分

5?1?∴圆心为??,3?，半径为.

2?2?

14分

（1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值.

例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.

解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

2?0?b2?3，解得b=-2±6.

所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.

（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.

又圆心到原点的距离为(2?0)2?(0?0)2=2， 所以x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43， x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.

1.（2008· 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=1

2.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. （1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立，解得交点为（3，1），

又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部， ∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2r2?CM2 =225?[(3?1)2?(1?2)2]=45. 此时，kl=-

1kCM,从而kl=-

1=2. 2?11?3∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.

（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x-2y的最大值和最小值； （3）求

y?2的最大值和最小值. x?1解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 d=

3?(?2)?4?0?1232?42=

6. 5∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 d+r=

61161+1=，最小值为d-r=-1=. 5555（2）设t=x-2y,

则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点. ∴

?2?t1?222≤1.∴-5-2≤t≤5-2，

∴tmax=5-2，tmin=-2-5. （3）设k=

y?2， x?1则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点， ∴?3k?2k2?1≤1.∴

3?33?3≤k≤, 44∴kmax=

3?33?3，kmin=. 44

一、填空题

1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 . 答案

2

2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是 . 答案 -

1＜a＜1 53.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是 . 答案 3+2

4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x2+y2-x±2y+

1=0 411?的最小值是 . ab5.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则答案 4

6.从原点O向圆：x2+y2-6x+答案 ?

27=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 . 422

7.（2008·四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）+（y-1）=2，则C上各点到l距离的最小值为 .

答案 2

28.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 3?25?答案 （x+2)+?y??=

2?4?2

二、解答题

9.根据下列条件求圆的方程：

（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

x2?y2=(x?1)2?(y?1)2，即x+y-1=0.

?x?y?1?0解方程组?,得圆心C的坐标为（4，-3）.

2x?3y?1?0?又圆的半径r=|OC|=5,

所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25. （2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 将P、Q点的坐标分别代入①得：

①

?4D?2E?F??20 ?

D?3E?F?10② ?令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④ ③由已知|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程④的两根， 所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48

⑤

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6up2.html