世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(五十七) 选修4-1 1

圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(五十七)

相似三角形的判定及有关性质

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则tan2=(

)

2

【解析】选A.设半径为R,则AD R,BD 由射影定理得:CD2=AD·BD,

则CD

从而 , 3 2

13

32

R,, 2

故tan2 .

2.在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=(

)

A.4∶10∶25 B.4∶9∶25 C.2∶3∶5 D.2∶5∶25

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【解析】选A.由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为2∶5,故S△DEF∶S△ABF=4∶25. 而△BED与△BEA有同底BE,高之比为2∶5, 故S△BED∶S△BEA=2∶5,

即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5,

由比例的性质可得:S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.故选A.

3.如图,在正方形ABCD中,E是AB中点,F是AD上一点,且AF=AD,EG⊥CF于G,则下列式子中不成立的是(

)

1

4

A.EF·EC=EG·FC B.EC2=CG·GF C.AE2+AF2=FG·FC D.EG2=GF·GC 【解析】选B.由题意,正方形ABCD中, E是AB中点,F是AD上一点, 且AF=AD,所以△AEF∽△BCE, 所以∠AEF=∠BCE,所以∠FEC=90°.

因为EG⊥CF,所以EF·EC=EG·FC,AE2+AF2=EF2=FG·FC,EG2=GF·GC,即A,C,D正确,故选B.

二、填空题(每小题6分,共18分)

4.(2015·韶关模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为1cm2,则平行四边形ABCD的面积为 cm2

.

1

4

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【解析】因为AE∥CD,所以△AEF∽△CDF, 所以AE∶CD=AF∶CF, 因为AE∶EB=1∶2, 所以AE∶AB=AE∶CD=1∶3, 所以AF∶CF=1∶3, 所以AF∶AC=1∶4,

所以△AEF与△ABC的高的比为1∶4, 所以△AEF与△ABC的面积的比为1∶12,

所以△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1∶24. 因为△AEF的面积等于1cm2,

所以平行四边形ABCD的面积等于24cm2. 答案:24

5. (2015·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF=

.

【解析】设AE=x,

因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°. 又AE⊥EB,所以

所以

AE BE在Rt△AEF与Rt△BEC中,

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∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C, 所以△AEF∽△BEC,所以所以AF=4

答案:

AFAE

, BCBE

6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,对角线AC⊥BD于P点,若 AD∶BC=1∶2,则BD∶AC的值是

.

【解析】因为AD∥BC, AD∶BC=1∶2, 所以

PAPD1

. PCPB2

令PA=t,那么PC=2t. 因为∠ABC=90°,AC⊥BD, 所以PB2=PA·PC=2t2, 所以

t,

所以

BD

AC

即BD∶AC 2. t 2t2

答案:

2

三、解答题(每小题16分,共64分)

7.(2015·银川模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE的延长

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线交BC于

F.

(1)求

BF

的值. FC

(2)若△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2,求S1∶S2的值. 【解析】(1)过点D作DG∥BC,并交AF于G点

,

因为E是BD的中点,所以BE=DE. 又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, 所以△BEF≌△DEG,则BF=DG, 所以BF∶FC=DG∶FC.

又因为D是AC的中点,则DG∶FC=1∶2, 则BF∶FC=1∶2,即

BF1

. FC2

(2)若△BEF以BF为底,△BDC以BC为底, 则由(1)知BF∶BC=1∶3,

又由BE∶BD=1∶2可知h1∶h2=1∶2, 其中h1,h2分别为△BEF和△BDC的高,

则

SBEF111

,则S∶∶ 1S2 15.SBDC326

8.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M.

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(1)求证:△EDM∽△FBM. (2)若DB=9,求BM.

【解析】(1)因为E是AB的中点,所以AB=2EB, 因为AB=2CD,所以CD=EB.

又AB∥CD,所以四边形CBED是平行四边形.

DEM BFM,

所以CB∥DE,所以

EDM FBM,

所以△EDM∽△FBM. (2)由(1)知

DMDE , BMBF

因为F是BC的中点,所以DE=2BF, 所以DM=2BM.所以BM=DB=3.

9.如图,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,交BE于点G,交AC的延长线于H,求证:DF2=GF·

HF.

13

【证明】在△AFH与△GFB中, 因为∠H+∠BAC=90°, ∠GBF+∠BAC=90°, 所以∠H=∠GBF.

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因为∠AFH=∠BFG=90°,所以△AFH∽△GFB, 所以

HFAF

, BFGF

所以AF·BF=GF·HF.

因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,所以DF2=AF·BF. 所以DF2=GF·HF.

10.(2015·郑州模拟)如图,在锐角三角形ABC中,D为C在AB上的射影,E为D在BC上的射影,F为DE上一点,且满足

EFAD

, FDDB

(1)证明:CF⊥AE.

(2)若AD=2,CD=3,DB=4,求tan∠BAE的值. 【解析】(1)设CF与AE交于点G,连接DG,如图

.

因为

EFADEDAB

,所以 ,FDDBFDDB

CDDB

又CDE∽DBE,所以 .

DEBE

CDAB

于是有 ,

FDBE

又因为∠CDF=∠ABE,所以△CDF∽△ABE, 所以∠DCG=∠DAG,所以A,D,G,C四点共圆. 从而有∠AGC=∠ADC=90°,所以CF⊥AE. (2)在Rt△CEF中,因为CF⊥AE,

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所以∠ECF=∠AED, 因为CD=3,DB=4,CD⊥AB, 所以BC=5,DE=

又因为

12, 5

EFAD4

,所以EF ,FDDB5

9

由CD2 CECB,知CE ,

5

44

所以tan ECF ,又tan DCB ,

9344

24

所以tan DCF ,

431 2724

故tan BAE .

43

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