教11-梁和刚架的极限荷载

第十一章 梁和刚架的极限荷载

§11—1 一般概念

在前几章，我们讨论了结构的内力计算问题。但不论用什么方法以及对哪种结构，我们都假定结构是弹性的。也就是说，在使结构产生变形的荷载全部卸除以后，结构仍将恢复原来的形状。此外，我们还假定，材料服从虎克定律，即应力和应变成正比。两者合在一起即称为线性弹性。由材料力学我们知道，塑性材料（或称延性材料，如钢材）、或是脆性材料（如铸铁）的物体，在应力未达到比例极限以前，都近似符合上述情况。以此为根据的上述计算，通常即称为弹性分析。利用弹性分析的结果，我们就可以进行设计，以确定结构杆件截面的尺寸；或是已知杆件截面的尺寸而验算最大的应力。

长期以来，人们认识到，弹性分析具有一定的缺点。例如，对于塑性材料的结构，尤其是超静定的结构，在最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时并不破坏，也就是说，并没有耗尽全部承载能力。但弹性分析就无法考虑材料超过屈服极限以后结构的这一部分承载力，因此表明按弹性设计是不够经济的。

塑性分析方法就是为了改进弹性分析的缺点而提出并发展起来的。按照塑性分析解决结构的强度问题时，需要计算结构的极限荷载，也就是结构开始破坏瞬时的荷载值，或者说塑性变形将开始无限制地增长时的荷载值。 在塑性分析中，为了计算的简化，对于所用材料，常采用如图11—1所示的应力一应变（σ－ε）关系。σs屈服极限，εs为屈服应变。应力σ和应变ε在屈服极限σs之前成正比（材料处于弹性阶段），到达屈服极限后，材料进入塑性阶段。如对

图11－1

结构继续加载，应变将无限制地增加，而应力不变仍为σs。若在到达B点后，对结构卸载，应力和应变将同时成比例地减少，在σ－ε图上可以用直线BC表示（BC||OA）。此时，材料的性质又恢复为弹性的，服从上述应力－应变关系的材料，我们称为理想弹塑性材料。在本章中我们还假定材料拉，压时的应力－应变关系相同。

§11－2极限弯矩；塑性铰；破坏机构

为了说明塑性分析中几个基本概念，我们考虑一理想弹塑性材料的矩形截面梁，承受纯弯曲作用图11－2所示假设弯矩作用在对称平面内。随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹

性阶段过渡到塑性阶段。实验表明，无论在哪一阶段，都可以认为，原来的平面截面在弯曲以后仍然保持为一平面。

在梁由弹性阶段过渡到塑性阶段时，截面应力和应变以及塑性区的变化过程如图11－3所示。其

中图a表示截面的全部纤维仍在弹性阶段。图b表示最外侧纤维应力到达屈服值，这时的弯矩称为屈服弯矩，用MS表示。图c表示弹塑性阶段，这时外侧部分纤维屈服（图中用阴影线表示的部分），但内部尚在弹性阶段，这一部分通常称为弹性核。图d表示塑性阶段，即除去极小一部分弹性核外，其余全部纤维已屈服，为便于计算，通常将这极小一部分弹性核略去，这样，上下两部分塑性区就连结在一起，也就是说，整个截面应力都达到屈服值。相应的弯矩值称为截面的极限弯矩，并以MJ表示。这时，截面的纵向纤维在极限弯矩值保持不变的情况下将无限制地伸长或缩短。因此，在该截面所在的一小段内，梁将产生转动。这一截面称为塑性铰。塑性铰和普通铰的区别在于：普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受弯矩（极限弯矩），但在荷载减小后，由于弯矩也随之减小，塑性铰即消失，也就是，截面即不再有塑性铰的性质。此外，普通铰为双向铰，它的两侧可以沿两个方向发生相对转动，而塑性铰则为单向铰，它的两侧只能发生与极限弯矩指向一致的单向相对转动。

图11－2

图 11－5 图11－3 设有一简支梁AB如图11－4中的实线所示。在集中荷载P的作用下，截面C处的弯

矩MC最大。若荷载P逐渐增大，MC最终将达到极限弯矩值，这时截面C即形成一个塑性铰。由于简支梁两端原有两个铰，在截面C处又形成一个塑性铰后，该梁即变成一个几何可变体系。

图 11－4

我们就把这一几何可变体系称为破坏机构，或简称机构。这时，

梁可以发生任意大小的位移（图中虚线表示某一位移状态，黑点表示塑性铰），而荷载不变。这种状态称为极限状态或破坏。如上所述，结构开始破坏的瞬时荷载也就是极限荷载。 截面的极限弯矩MJ可以利用平衡条件求得。以图11－5，a所示的截面为例。图11－5，b表示极限状态的应力分布图。设A1和A2分别代表中性轴以上和以下部分截面面积；A为截面总面积；G1和G2分别为A1和A2的形心；z1和z2分别为两个形心到中性轴的距离。由平衡条件可知，截面法向内力之和应等于零。这样得

A1σs＝A2σs

或 A1＝A 2＝0.5A 即表明在极限状态下中性轴将截面面积分为两个相等部分。极限弯矩

MJ＝A1σs z1＋A2σs z1＝σs（0.5Az1＋0.5Az2）

或 MJ＝σs（S1＋S2） 如令 WS＝S1＋S2 则得

MJ＝σs WS

（11－1） （11－2）

图 11－5

式中S1＝0.5Az1和S2＝0.5Az2分别代表A1和A2对中性轴的静矩。WS称为塑性截面模量。对于矩形截面，设以b和h分别代表截面的宽和高，则

WS?2?bhh12??bh 244因此，矩形截面的极限弯矩

MJ?12bh?s 4 （11－3）

而截面弹性模量

1W?bh2

6所以矩形截面的屈服弯矩

1Ms?bh2?s

6极限弯矩与屈服弯矩之比

MJWS??? MSW称为截面形状系数，其值与截面形状有关。对于矩形截面，由上可知，α=1.5；对于圆形截面α＝1.7；对于工字形截面α≈1.15。

§11—3 单跨超静定梁的极限荷载

对结构进行塑性分析的主要目的，就是要确定它的极限荷载。这时，由于在结构的某些部分形成了塑性铰而使结构成为一破坏机构，变形将继续增大，而荷载值则保持不变。在§11－5我们将要介绍可以直接确定极限荷载的方法。利用这种直接方法，可以不必考虑在荷载逐渐增大到极限值的过程中出现塑性铰的先后次序。为了更好地理解这种直接分析法，我们以下举例说明随着荷载的增大，塑性铰相继形成而使结构最终变为一破坏机构的过程，并说明如何确定极限荷载。

考虑一两端固定的等截面梁AB，承受均布荷载q，如图11－6，a所示。设正负弯矩的极限值都等于MJ。试求极限荷载qJ。

在加载的初始过程，梁处于弹性阶段。弯矩分布如图11－6，b所示，两端弯矩值最大，都等于ql2／12。因而当荷载到达屈服值qs时，两端截面的最外纤维首先屈服。由

qsl2?MS 12得

qS?12MS 2l（a）

而跨中截面C处弯矩为

MCS

qsl2MS ??242（b）

当荷载继续增大，A、B两端弯矩将首先达到极限值MJ。这时，截面A，B即形成塑性铰，梁转化成静定梁。此后若再继续加载，两端弯矩MJ保持不变，两个塑性铰将继续存在，而跨中截面C的弯矩则继续增大。当截面C的弯矩也达到MJ时，截面C也形成塑性铰。这样，梁即成为一破坏机构（图11－6，d），荷载达到极限值qJ，相应的弯矩图如图11—6，c所示。 极限荷载qJ值可以根据梁

在极限状态的平衡条件来计算。为此，有两种作法：一种常称为 “平衡弯矩法”，即根据平衡的要求，写出某个截面处的弯矩所应具有的关系式，藉以计算极限荷载。如在图11－6，c中，虚线ab和抛物线之间的部分即相当于简支梁在qJ作用下的弯矩图。它在跨中的最大竖标等于qJl2／8。根据梁的平衡条件，有 由此得

qJ?16MJ （c） 2lqJl2?MJ?MJ 8

图 11－6

另一种作法，则是利用虚位移原理，写出表征平衡条件的虚功方程，藉以计算极限荷载。如在图11－6，d（梁成为一破坏机构）中，使机构有一虚位移，C移到C’，根据虚位移原理可得

MJ???MJ?2??MJ???2或

4MJ????l/20qJ?x?dx

1qJl2? 4

由此得

qJ?16MJ 2l和式（c）相同。

§11－4 比例加载的几个定理

由上节的例题可以看到，当结构只有一种可能的破坏形式时，直接确定其极限荷载并不困难；但若结构可能有很多种破坏形式时，就需要判别哪一种是实际的破坏形式，以便确定极限荷载。为此，我们可以应用以下有关确定极限荷载的几个定理。在介绍这几个定理之前，我们先指出结构在极限状态下所必须满足的几个条件：

（1）机构条件：当荷载达到极限值时，结构上必将有足够数目的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，而使结构变为一破坏机构。

（2）屈服条件：当荷载达到极限值时，结构上各个截面的弯矩都不能超过其极限值，即－MJ≤M≤MJ。

（3）平衡条件：当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任一局部上所有的力都必须维持平衡。

在下述几个定理中，我们假定作用在结构上的所有荷载都按一定的比例增加，即所谓比例加载的情况。

与弹性分析时一样，在进行塑性分析时，我们也假定结构的变形很小，从而可以按照未变形的状态考虑各力之间的平衡。此外，由于弹性变形常远小于塑性变形，对在极限状态下的变形，便可以略去前者，而只考虑塑性变形。在以下的讨论中，我们还略去了对极限弯矩影响较小的剪力和轴力的作用。

现在我们给出确定极限荷载的三个定理： 1．上限定理（或称机动定理，也称极小定理）

这个定理可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载（即同时满足机构条件和平衡条件的荷载，这一荷载称为可破坏荷载）将大于或等于极限荷载。换种方式，这一定理也可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照各种可能的破坏机构，由平衡条件所求得的各可破坏荷载，其最小值就是极限荷载的上限值。

2．下限定理（或称静力定理，也称极大定理）

这个定理可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一静力可能而又安全（即同时满足平衡条件和屈服条件）的弯矩分布所求得的荷载（称为可接受荷载）将小于或等于极限荷载。

换种方式，这一定理也可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照各种静力可能而又安全的弯矩分布所求得的各可接受荷载，其最大值就是极限荷载的下限值。 3.单值定理（或称唯一性定理）

将以上两个定理综合在一起就得到这一定理。它可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既是可破坏荷载，同时又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载。 这一-定理也可表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，同时满足平衡条件，屈服条件和机构条件的荷载也就是极限荷载。

§11－5 确定极限荷载的方法；连续梁的极限荷载

在这一节，我们介绍确定极限荷载的机动法和试算法，并利用连续梁加以说明，而后再分析几个连续梁的例题。

一、机动法（或称机构法）

机动法是以上限定理为依据的。按照上限定理，要确定某一给定结构的极限荷载时，我们首先假定各种可能的破坏机构，而后根据平衡条件（此种情况下，利用虚位移原理比较方便）分别计算相应的荷载。这些荷载都将大于或等于极限荷载，而其中的最小值就是极限荷载的上限值。这样求得的荷载都满足机构条件和平衡条件。

以下我们从图11－7，a所示的两跨等截面连续梁为例来说明这一方法。设两跨的极限弯矩都等于MJ。

假定为比例加载，P1:P2=1.1P:P=1.1:1。P即荷载参数。现在求其极限值PJ。 我们假定4种破坏机构分别如图11—7，b、c、d、e所示。现分别计算相应的荷载。

图 11－7

对于机构1，设有一虚位移如图11—7，b所示。根据虚位移原理，由于这一虚位移，荷载所做的功应等于塑性铰处极限弯矩MJ所做的功。因此得以下的虚功方程

P×aθ＝MJ×θ＋MJ×2θ

故 P＝3 MJ/a>PJ

也就是说，P应大于或等于极限荷载PJ。

其次，考虑机构2（图11－7，c）。类似地，可得

1.1 P×2aθ＝MJ×3θ＋MJ×2θ

MJ?PJ 故 P?2.27a 再考虑机构3（图11－7，d）。在这个机构中，D处塑性铰向上移动。这表明该塑性铰是由负弯矩所产生，也就是D处的MJ应为负，即弯矩为最小。现在我们设荷载以向下为正。取梁轴为x轴，以向右为正；并将集中荷载看作为在梁上分布于很小一段的均布荷载q之和。这样根据已知的关系式

d2M ??q 2dxd2M 可知，因q?0，故?0。这说明：M图曲线为U形状；此外，又因设此处已形

dx2成塑性铰，即弯矩已达到极限值，若如此，则此处弯矩为最大，于是MJ应为正。而这却与假定的破坏形式不相符的，故说明机构3不是可能的破坏机构。同样，机构4也是不可能的。因此，我们今后即不再考虑类似这样的破坏机构。这也表明，对于等截面连续梁（各跨截面可以不等），若各跨荷载的作用方向相同，则每跨的破坏与其它跨的荷载和尺寸无关。而当连续梁的某一跨破坏时（如机构1或机构2）梁即丧失承载能力；因此，在分析连续梁时，可以将各跨即作为一单跨超静定梁而分别计算。

比较由机构1和机构2所得的结果，其中最小值2.27MJ就是极限荷载PJ的上限值。 a 通过上例可将机动法求极限荷载的步骤归纳如下：

（1）确定可能出现塑性铰的各个位置（如集中荷载作用点，杆与杆的接合点，分布荷载作用下剪力为零的点，截面尺寸变化处等）。 （2）选择各种可能的破坏机构。

（3）利用虚位移原理求各相应的荷载，其最小值就是极限荷载的上限值。

二、试算法

试算法是以单值定理为依据的。我们可以检验某个荷载是否同时为一可破坏荷载和可接受荷载，据此来确定极限荷载。

一般说来，与计算可接受荷载相比，求结构的可破坏荷载较为简便。因此，我们可以先用机动法求极限荷载的上限值，然后验算与这一荷载相应的弯矩分布是否满足屈服条件，如果满足，这一荷载也就是极限荷载。

仍以图11－7，a所示的两跨连续梁为例。以上用机动法得出极限荷载的上限值为

2.27MJ，现在绘出与其相应的弯矩图如图11－7，f所示。在截面D，B处已出现塑性铰，a在这两处的弯矩分别为MJ和－MJ。为了验算屈服条件，只需计算截面E的弯矩

ME?MMP?2aMJ1???2.27J?2a?J?0.64MJ?MJ 424a2可见已满足屈服条件，因此，

2.27MJ也就是极限荷载a值，即

PJ?2.27MJ a 下面我们再分析几个例题。

例11－1 求图11－8，a所示三跨连续梁的极限荷载。设各跨的极限弯矩都等于MJ。

[解] 一、用机动法求极限荷载的上限值

图11－8

选择4种可能的破坏机构

分别如图1 1-8，b，c，d，e所示。 1．机构1

由虚位移原理得

2．机构2

3．机构3

4．机构4

比较以上所得结果，可知最小值1.33MJ就是所求极限荷载的上限值。 a二、用试算法求极限荷载

现在检验一下上面根据机构4所得到的上限值1.33MJ是否满足屈服条件。由图11-8，af所示与机构4相应的弯矩图可以看出，AB跨上其它截面弯矩的绝对值都小于MJ；而BC和CD两跨上任一截面弯矩的绝对值，不难证明，在任何情况下（如使MC在零和－MJ之间变化）也都小于MJ。这表明屈服条件也已满足。因此，得极限荷载

PJ?1.33MJ a 例11－2 求图11－9，a所示两跨连续梁的极限荷载。设AB和BC两跨截面不等但各自为等截面，其极限弯矩分别为1.5MJ和MJ。

[解] 需要指出，对于这种相邻两跨截面不等的连续梁，如果在截面改变处形成塑性铰，这个塑性铰必然在极限弯矩较小的截面上。对于本例来说，也就是塑性铰将出现于BC跨的B端。因为若塑性铰出现在AB跨的B端，则极限弯矩将是较大的一个，即1.5MJ，而这时BD跨靠B端一段的弯矩将大于本跨的极限弯矩，显然这是不合理的。

一、用机动法求极限荷载的上限值 几种可能的破坏机构分别如图11－9，c、d，e所示。 1．机构1 由虚位移原理得

故 PJ?2.5MJ a 2．机构2

图 11－9

3．机构3

比较以上结果，可知其中最小值1.83MJ就是极限荷载的上限值。 a二、试算法求极限荷载

我们验算P?1.83MJ是否满足屈服条件。此时的弯矩图大致如图11－9，b，在梁的aD、B处已出现塑性铰；AB跨中各截面弯矩的绝对值不会大于1.5MJ。再计算截面F的弯矩

可见屈服条件也巳满足。故

PJ?1.83MJ a例11-3 求图11-10，a所示两跨连续梁极限荷载。设两跨的极限弯矩都等于MJ。

[解] 我们预先不知道BC跨内最大弯矩（出现第二个塑性铰）的位置，因此，设塑性铰距B支座的距离为x（参见图11－10，a）。 设可能的破坏机构如图11－10，b所示。由虚位移原理得

ql?x?

图11－10

为了确定塑性铰的位置，应使q为最小，因而由

故

1?l???MJ???? 2l?x??

dq?0，可得 dx

x?(2?2)l

2)l?l，不必考虑。将x?(2?2)l代入上式，得极限荷载的上限值

另一个解x?(2?

与所求荷载相应的梁的弯矩图如图11－10，c所示，由此M图可以看出，屈服条件也是满足的，因此，以上所得q?11.65MJ也就是极限荷载值。 l2 §11－6 用矩阵位移法计算刚架的极限荷载

在第十章我们曾用矩阵位移法求刚架的位移和内力。同样，我们也可以用它计算刚架的极限荷载。在以下的讨论中，除本章中以前的各项假定外，尚采用下面的假定： 1．所有荷载按比例增加，且全为结点荷载；如有非结点荷载，则将它们作用处的截面作为结点处理。

2.结构上某处形成塑性铰后，假设塑性区在该处退化为一个截面，而其余部分仍为弹性区。

现在将矩阵位移法计算刚架极限荷载的原理概述如下：

（1）因假定所有荷载系按比例增加，亦即比例加载，故可先设荷载参数P=1，然后用矩阵位移法求出各控制截面（结点）的弯矩，从而即可判明出现第一个塑性铰的位置，并可求出相应的荷载参数P1。计算过程中所组成的整体刚度矩阵设为K1。

（2）根据前一步骤求出的塑性铰（这时刚架中增加了一个铰结点）修改整体刚度矩阵，设修改后的整体刚度矩阵为K2。再令荷载参数P=1，算出各控制截面的弯矩。根据这些弯矩值以及各控制截面的极限弯矩与第一个塑性铰出现时弯矩的差值，可以判明出现第二个塑性铰的位置并求出相应的荷载参数增量△P2。此时荷载参数P2＝P1＋△P2。

（3）根据刚架中已出现了两个塑性铰的情况，再修改整体刚度矩阵，设为K3。仍令荷载参数P=1，求各控制截面的弯矩。仿照（2）中作法，判明第三个塑性铰出现的位置，并求出相应的荷载参数P3。

（4）重复以上作法，直至（假设为第n步）整体刚度矩阵变为奇异矩阵为止。此时刚架成为破坏机构，相应的荷载参数Pn-1即为所要求的极限荷载。

为了进一步比较详细地说明用矩阵位移法求刚架极限荷载的过程，以下给出一个例题；

图 11－11

但为节省篇幅，只列出计算步骤而略去数字演算

例11-4 求图11－11，a所示刚架的极限荷载 [解] （a）第一阶段（图11－11）

先设荷载参数P=l，用矩阵位移法求出各控制截面1、2、3、4、5的弯矩如图11－11，b所示。设结构的整体刚度矩阵为K1。

再用各控制截面的M1。值除相应截面的极限弯矩，其中最小值就是这第一阶段终了时的荷载参数P1，亦即

将图11－11，b中的M1乘以1.61MJ/a即得与P1＝1.61MJ/a相应的弯矩M1如图11-11，c所示。可以看出，这时在右柱上端截面4处出现了第一个塑性铰。 （b）第二阶段（图11－12）

在这一阶段的计算中，截面4即可当作铰结点并据以修改整体刚度矩阵，设为K2。再令荷载参数P=1，算出各控制截面的弯矩M2如图11－12，a所示。

将各控制截面的极限弯矩与相应的弯矩M1（图11－11，c）的差值除以相应的M2，其中最小值即为第二阶段的荷载参数增量

图 11－1 2

将图11－12，a中的厨2乘以△P2即得弯矩增量△M2如图11－12，b所示。然后将△M2与图11－11，c中相应的M1叠加即得如图11－12，c所示的M2。荷载参数的累加值为

图11－13

这时，在截面5处又出现一个塑性铰（图11－12，c）。 （c）第三阶段（图11－13）

因为截面5处又形成一个塑性铰，据此可再修改整体刚度矩阵，设为K3。仍令P=1并算出各控制截面的弯矩M3（图11－13，a）。

将各控制截面的极限弯矩与相应的弯矩M2（图11－12，c）的差值除以相应的M3，其中最小值即为第三阶段的荷载参数增量

图11－14

用△P3乘M3 （图11－13，a）得弯矩增量△M3（图11-13，b），再与相应的M2（图11－12，c）叠加则得M3如图11－14，c所示。荷载参数的累加值为

这时，在截面1处又形成一个塑性铰。 （d）第四阶段（图11－14）

由于截面1又形成塑性铰，因此须再修改整体刚度矩阵，设为K4。仍令P＝1，算出各控制截面的弯矩M4（图11-14，a）。

将各控制截面极限弯矩与相应的弯矩M3（图11-13，c）的差值除以相应的M4，其中最小值即为第四阶段的荷载参数增量

△P4乘M4（图11－14，a）得弯矩增量△M4（图11-14，b）。然后与M3（图11-13，c）叠加则得M4（图11－14，c）荷载参数累加为

在截面3又形成一个塑性铰（图11－14，c）。 （e） 第五阶段

如图11－14，c所示，刚架在截面3处又形成一个塑性铰，再修改的整体刚度矩阵为一奇异矩阵，说明刚架己变为机构，因此

P?2.29MJ a即为所求的极限荷载。

通过以上计算可以看出，整体刚度矩阵须逐步修改，所以这一方法又称为变刚度法。又因为极限荷载是由各阶段的荷载参数增量累加而得，故称为增量法。需要指出的是，在加载过程中，我们假设塑性铰一旦形成即不再受反向变形而恢复其弹性作用。如果结构的实际变形情况并非如此，则以上算法需要修改。

这时，在截面1处又形成一个塑性铰。 （d）第四阶段（图11－14）

由于截面1又形成塑性铰，因此须再修改整体刚度矩阵，设为K4。仍令P＝1，算出各控制截面的弯矩M4（图11-14，a）。

将各控制截面极限弯矩与相应的弯矩M3（图11-13，c）的差值除以相应的M4，其中最小值即为第四阶段的荷载参数增量

△P4乘M4（图11－14，a）得弯矩增量△M4（图11-14，b）。然后与M3（图11-13，c）叠加则得M4（图11－14，c）荷载参数累加为

在截面3又形成一个塑性铰（图11－14，c）。 （e） 第五阶段

如图11－14，c所示，刚架在截面3处又形成一个塑性铰，再修改的整体刚度矩阵为一奇异矩阵，说明刚架己变为机构，因此

P?2.29MJ a即为所求的极限荷载。

通过以上计算可以看出，整体刚度矩阵须逐步修改，所以这一方法又称为变刚度法。又因为极限荷载是由各阶段的荷载参数增量累加而得，故称为增量法。需要指出的是，在加载过程中，我们假设塑性铰一旦形成即不再受反向变形而恢复其弹性作用。如果结构的实际变形情况并非如此，则以上算法需要修改。

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